概率統計在解決實際問題中的應用

郭林濤

摘 要：概率統計是研究自然界中隨機現象統計規律的數學方法。隨著科學技術的發展，概率統計知識越來越受到人們的重視，它被廣泛應用到工農業生產、國民經濟以及我們日常生活中。本文主要圍繞貝努里概型，正態分布，數學期望的有關知識，探討概率統計在解決實際問題中的應用。

關鍵詞：貝努里概型 正態分布 數學期望

中圖分類號：O21 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）03（c）-0249-01

概率統計作為一門數學分支，它與我們的生活有著千絲萬縷的聯系。人們通過觀察隨機現象研究其統計規律把握事物本質，從而將概率統計思想用于實踐指導我們行動。下面是有關概率統計知識的實際應用問題。

1 貝努里概型在保險業中的應用

在現實生活中我們經常會接觸到社會保險，出于對自身利益的考慮，有些人可能會問：保險公司和投保人誰是最大受益者呢？如果你了解概率統計知識，不防自己算一下。

例：假設有2500個同一年齡和同一社會階層的人參加了某一保險公司的人壽保險。在1月1日這一天，每個參加保險的人支付120元保險費給公司，那么其死亡時，家屬就可以從公司里領取20000元保險金。設在一年里每個人死亡的概率為0.002，問：“保險公司虧本”的概率是多少？

分析：假設“一個人在一年內死亡與否”為一次試驗，則有2500人參加了這一保險，于是以上問題就轉化為一個2500重的貝努里概型，同時，若將每人在一年內死亡的概率假定為P=0.002。設參加保險的人每年的死亡記錄為X，則：

設“保險公司虧本”為事件A，x為死亡人數，則公司應支出20000x（元），而公司的總收入為2500×120（元）。我們知道，如果公司的支出大于其總收入，即則公司虧本。

現在解這一不等式，不難得出x>15

于是

由此得出保險公司“受益匪淺”，基本上不會虧本。

2 正態分布在選擇出行路線上的應用

正態分布有著極其廣泛的實際背景，它普遍存在于數學、物理、醫學及工程等領域，所以實際問題中很多隨機變量的概率分布都服從正態分布。比如物理學中測量同一物體的隨機誤差；醫學中紅細胞數、血紅蛋白量等；教育統計中，學生的智力水平，包括學習能力，實際動手能力等；在生產條件一定的情況下，產品的強力、口徑、長度等指標都近似地呈正態分布。下面是正態分布在選擇出行路線上的一個具體應用。

例：某人從北京某地乘車前往北京站搭車，可供選擇的路線有兩條：（1）乘坐市內公交車。優點：路程較短；缺點：交通擁擠，所需時間（單位：分）服從正態分布。（2）乘坐地鐵。優點：交通阻塞少；缺點：路線較長，所需時間服從正態分布。

問題：若可用時間為68分鐘，應選擇哪條路線？若可用時間為62分鐘，應選擇哪條路線？

為了能及時趕到車站，按原計劃出行，此人運用正態分布知識提前作了以下分析：

如果實際問題滿足給定的標準正態分布，設，通過標準正態分布表，已知可求，同樣已知可求；但如果問題是非標準正態分布（如上例），則通過∶N（1，0），可把非標準正態分布轉化為標準正態分布。這里將走第一條路線及時趕的時間設為分鐘，走第二條路線及時趕到的時間設為分鐘。

（1）68分鐘內第一條路線及時趕到的概率為：

；

第二條路線及時趕到的概率為：

所以應走第二條路線。

（2）62分鐘內第一條路線及時趕到的概率為：

第二條路線及時趕到概率為：

所以應走第一條路線。

生活無形中會涉及到很多概率統計知識，如果我們留心身邊的數學知識，會驚奇的發現在這平凡的生活中數學發揮著多么大的作用。

3 數學期望在求解最大利潤問題中的應用

數學期望是研究隨機變量總體取值的平均水平的一個重要的數字特征。實際問題中尤其是經濟決策中，數學期望為決策者獲取最大利潤提供了重要的理論依據。下面就是一個應用期望進行經濟決策的的問題。

例：某人投資100萬元，期限為一年，可供選擇的投資方案有兩種：一是購買股票；二是存入銀行獲取利息。如果買股票，經濟形勢好可獲利40萬元，形勢中等可獲利10萬元，形勢不好損失20萬元。如果存入銀行，假設利率為7.6%，可得利息76000元。已知經濟形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%，試問哪一種投資方案可使投資者的收益較大？

分析：從問題的已知條件可知，當經濟形勢好和中等時，購買股票是收益較大；但如果經濟形勢不好，那么采取存銀行的方案收益較大。由于我們無法預料經濟形勢，因此需要比較兩種投資方案獲利的期望大小。

先來計算購買股票的獲利期望E1=40×0.3+10×0.5+（-20）×0.2=13（萬元）

再計算存入銀行的獲利期望是E2=7.6（萬元）

因為E1>E2，所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應采用購買股票的方案。

可見對于帶有一定的隨機性的風險投資，正確運用數學期望這一隨機變量的總體特征來預計收益或決策投資是比較客觀的。

4 結語

作為數學的一個非常重要的分支—— 概率與數理統計，在知識產業化的今天也正在或將要發揮它應有的作用，而且在很多領域已經取得了突破性的發展。因此，將概率統計知識應用于學習、工作及日常生活中，能夠幫助我們獲得可靠性的結論。

參考文獻

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