淺談高中數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)

魏夏萍

我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家曹才翰教授在其《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論》中指出：“思維能力的核心是概括能力。”概括在智力活動(dòng)中的作用非常重要。沒(méi)有概括就沒(méi)有概念，沒(méi)有概念就無(wú)法進(jìn)行邏輯思維。以下筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)概括能力的重要性及一般途徑談點(diǎn)淺見(jiàn)，望同仁指正。

一、數(shù)學(xué)概括能力的實(shí)質(zhì)、構(gòu)成因素及培養(yǎng)數(shù)學(xué)概括能力的重要性

曹才翰教授給出了概括的兩種意義：“其一，指在思想上把具有相同本質(zhì)特性的事物聯(lián)系起來(lái)；其二，是把被研究對(duì)象的本質(zhì)特性推廣為范圍更廣的包含這個(gè)對(duì)象的本質(zhì)特性。”數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)活動(dòng)中表現(xiàn)出來(lái)的概括能力，即是概括數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)量關(guān)系和空間形式的能力，它是一種特殊的概括能力。因?yàn)椋菏紫龋@種概括是概括基礎(chǔ)上的再概括，比如數(shù)學(xué)中的研究對(duì)象：數(shù)、點(diǎn)、線、面等概念本身都是現(xiàn)實(shí)中概括出來(lái)的，而數(shù)學(xué)概括是對(duì)這些經(jīng)過(guò)概括得到的對(duì)象的再概括：其次，數(shù)學(xué)概括進(jìn)行得迅速，并且結(jié)果也很簡(jiǎn)潔。邵光華先生在其《數(shù)學(xué)思維能力結(jié)構(gòu)的定量分析》一文中指出了數(shù)學(xué)概括能力主要由形成數(shù)學(xué)概念的概括能力、形成數(shù)學(xué)通則通法的概括能力和遷移概括能力三種能力因素構(gòu)成，且后兩種能力起主導(dǎo)作用，決定著總體概括水平。

1. 數(shù)學(xué)概括能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要條件。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要進(jìn)行抽象和概括，只有通過(guò)逐步地從具體到抽象的概括，才能使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。現(xiàn)代教學(xué)論要求我們，不僅要學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)論形式，而且還要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，而這兩方面的學(xué)習(xí)都依靠對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)、關(guān)系以及各種經(jīng)驗(yàn)的概括。教學(xué)實(shí)踐告訴我們，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)直接受他們抽象概括能力的制約，如果學(xué)生的抽象能力（尤其是概括）差，既不能抓住事物的本質(zhì)屬性，就不能正確地獲得知識(shí)，這充分說(shuō)明了數(shù)學(xué)概括能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所必需的能力。

2. 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一。

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確規(guī)定：“……以逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。”從遷移的角度來(lái)看，實(shí)際上是培養(yǎng)學(xué)生的正遷移能力。正遷移能力強(qiáng)，說(shuō)明學(xué)生適應(yīng)新學(xué)習(xí)情境或分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力強(qiáng)，心理學(xué)家賈德認(rèn)為：概括是產(chǎn)生學(xué)習(xí)遷移的關(guān)鍵，學(xué)習(xí)者只有對(duì)他的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了概括，獲得了一般原理，才能實(shí)現(xiàn)從一個(gè)學(xué)習(xí)情景到另一個(gè)學(xué)習(xí)情景的遷移，才能“舉一反三”“聞一而知十”。概括的層次越高，遷移的半徑越大。

二、概括的兩種形式及培養(yǎng)數(shù)學(xué)概括能力的一般途徑

概括有兩種形式，即初級(jí)形式的經(jīng)驗(yàn)的概括（感性概括）和高級(jí)形式的科學(xué)概括（理性概括）。前者是一種低級(jí)的概括形式，它是根據(jù)食物的外部特征，對(duì)不同事物進(jìn)行比較，舍棄他們互不相同的特征，對(duì)他們的共同特征加以概括。而后者是通過(guò)對(duì)感性認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)加工改造，揭示事物一般的、本質(zhì)的特征與聯(lián)系的過(guò)程。學(xué)生知識(shí)的獲得以及能力的培養(yǎng)過(guò)程僅有感性的概括是不夠的，還要（主要）促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行理性概括，為此，教師在教學(xué)中應(yīng)善于創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)，從而不斷提高學(xué)生的概括水平。

1. 精心設(shè)計(jì)概念教學(xué)。

精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程的教學(xué)，讓學(xué)生親自經(jīng)歷由具體到抽象，概括事物本質(zhì)屬性的過(guò)程，以培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)概念的概括能力。數(shù)學(xué)概念形成的整個(gè)過(guò)程大致為：對(duì)一類事物的各種刺激模式進(jìn)行辨析；通過(guò)比較，對(duì)事物的外部特征進(jìn)行概括，分化出各種刺激模式的屬性，并通過(guò)類化，把從具體刺激模式中分化出來(lái)的屬性進(jìn)行比較，找出共同屬性；通過(guò)抽象，提供共同本質(zhì)屬性的假設(shè)，并在特定情境中加以檢驗(yàn)，以確認(rèn)本質(zhì)屬性。把本質(zhì)屬性從具體刺激模式中抽象出來(lái)推廣到同一類事物，概括形成概念，給出定義并用習(xí)慣的形式符號(hào)表示新概念。

2. 搞好解題教學(xué)。

引導(dǎo)學(xué)生概括解題規(guī)律，以培養(yǎng)學(xué)生形成通則通法的概括能力，且用規(guī)律解決問(wèn)題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生遷移概括能力。有些習(xí)題屬于某類問(wèn)題的一個(gè)特例，它具體反映了同類問(wèn)題的客觀規(guī)律，具有從特殊向一般開(kāi)拓的功能，這類習(xí)題的教學(xué)應(yīng)從習(xí)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括，得出一般規(guī)律，再用于指導(dǎo)同類或與之有關(guān)問(wèn)題的解答，以發(fā)揮其潛在功能。

3. 重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)概念、理論的相互聯(lián)系和本質(zhì)所在，是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，貫穿于數(shù)學(xué)內(nèi)容的始終，教師應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)中重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和所使用的方法有本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，若能把基本數(shù)學(xué)思想和方法學(xué)好了，在其指導(dǎo)下駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)，就能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)概括能力。

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)