馬爾可夫鏈在移動(dòng)通信中的應(yīng)用

張軍霞　石倩

一、隨機(jī)過(guò)程發(fā)展簡(jiǎn)述

在當(dāng)今社會(huì)的廣闊天地里，人們可以看到一種叫作隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型：一些看似毫無(wú)規(guī)律的偶然現(xiàn)象經(jīng)過(guò)隨機(jī)理論的研究發(fā)現(xiàn)竟然有章可尋，從銀河亮度的起伏到星系空間的物質(zhì)分布、從分子的布朗運(yùn)動(dòng)到原子的蛻變過(guò)程，從化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)到電話(huà)通訊理論、從謠言的傳播到傳染病的流行、從市場(chǎng)預(yù)測(cè)到密碼破譯，隨機(jī)過(guò)程理論及其應(yīng)用幾乎無(wú)所不在。

馬爾可夫經(jīng)多次觀察試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程中第n次轉(zhuǎn)換獲得的狀態(tài)常決定于前一次（第n-1次）試驗(yàn)的結(jié)果。目前，馬爾可夫鏈理論與方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)和公用事業(yè)中。

二、馬爾可夫過(guò)程發(fā)展

2.1 馬爾可夫過(guò)程簡(jiǎn)介

馬爾科夫過(guò)程（MarKov Process）是一個(gè)典型的隨機(jī)過(guò)程。設(shè)X（t）是一隨機(jī)過(guò)程，當(dāng)過(guò)程在時(shí)刻t0所處的狀態(tài)為已知時(shí)，時(shí)刻t（t>t0）所處的狀態(tài)與過(guò)程在t0時(shí)刻之前的狀態(tài)無(wú)關(guān)，這個(gè)特性成為無(wú)后效性。無(wú)后效的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為馬爾科夫過(guò)程。

2.2 馬爾可夫鏈的定義

[定義] 設(shè)有隨機(jī)過(guò)程 { Xn，n∈T }， 若對(duì)于任意的整數(shù)n∈T 和任意的 i0，i1，…，in+1∈I，其中：

T={0，1，2…}為離散的時(shí)間集合，

I ={i0，i1，…，in+1 }為Xn 所有可能取值的全體組成的狀態(tài)變量

P{Xn+1=in+1|X0=i0，X1=i1，Xn=in}

P{Xn+1=in+1|Xn=in}

若條件概率滿(mǎn)足

則稱(chēng) { Xn，n∈T } 為馬爾可夫鏈，簡(jiǎn)稱(chēng)馬氏鏈。

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)所知，Markov鏈的統(tǒng)計(jì)特性完全由條件概率P{Xn+1=in+1|Xn=in}決定，所以確定條件概率及如何利用是Markov鏈重點(diǎn)解決的問(wèn)題。

2.3 馬爾可夫鏈的算法

2.3.1 轉(zhuǎn)移概率

·馬爾可夫鏈 { Xn，n∈T }在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移概率為P{Xn+1=in+1|Xn=in}，i，j∈I所以pij（n）與時(shí)刻n有關(guān)

·當(dāng)轉(zhuǎn)移概率pij（n）與時(shí)刻n無(wú)關(guān)時(shí)，則稱(chēng)馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的，并記為pij（n）為pij

·設(shè)P為一步轉(zhuǎn)移概率pij組成的矩陣，稱(chēng)為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=p

p

…

p …

p

p

…

p …

… … … … …

該矩陣滿(mǎn)足：

（1）pij≥0，i，j∈I

（2）pij=1，i∈I

2.3.2 n步轉(zhuǎn)移概率

·[定義]稱(chēng)條件概率

·p=P{Xm+n=j|Xm=i}，（i，j∈I，m≥0，n≥1）為馬爾可夫鏈 { Xn，n∈T }的n步轉(zhuǎn)移概率，并稱(chēng)P=

p

為馬爾可夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率。

·同樣有

（1）pij≥0，i，j∈I

（2）pij=1，i∈I

特別的

p=0 i≠j

1 i=j

2.3.3 推論1—C-K方程

·[定義]設(shè) { Xn，n∈T }為馬爾可夫鏈，則對(duì)于任意整數(shù)n≥0，0≤l

p=pp稱(chēng)為C-K方程

2.3.4 推論2

p=… pp…p

2.3.5 推論3

P=P·P

2.3.6 推論4

P=P

三、馬爾可夫過(guò)程在移動(dòng)通信中的應(yīng)用

馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程的發(fā)展史說(shuō)明了理論與實(shí)際之間的密切關(guān)系，其研究方向的提出是有其實(shí)際背景的。當(dāng)這個(gè)方向被深入研究后，可指導(dǎo)實(shí)踐，進(jìn)一步擴(kuò)大和深化應(yīng)用范圍。以移動(dòng)網(wǎng)為例，對(duì)馬爾可夫過(guò)程進(jìn)行應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用如下：

1996年ITU制訂了一種語(yǔ)音質(zhì)量的主觀評(píng)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)MOS（Mean Opinion Score）測(cè)試，將用戶(hù)接聽(tīng)和感知語(yǔ)音質(zhì)量的行為進(jìn)行調(diào)研和量化，由不同的調(diào)查用戶(hù)分別對(duì)原始標(biāo)準(zhǔn)語(yǔ)音和經(jīng)過(guò)無(wú)線網(wǎng)傳播后的衰退聲音進(jìn)行主觀感受對(duì)比，評(píng)出MOS分值，實(shí)際網(wǎng)絡(luò)測(cè)試中，一般市區(qū)內(nèi)MOS值達(dá)到3以上的時(shí)候，就表明網(wǎng)絡(luò)質(zhì)量處于較好的水平。現(xiàn)對(duì)某無(wú)線網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行等時(shí)間間隔的觀測(cè)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)級(jí)別為優(yōu)后即以概率1保證維持在優(yōu)，當(dāng)級(jí)別為劣后即以概率1保證維持在劣，在其他級(jí)別分別以概率1/3向上一個(gè)級(jí)別遷移、維持當(dāng)前級(jí)別、向下一個(gè)級(jí)別遷移。設(shè)每個(gè)觀測(cè)間隔為一步轉(zhuǎn)移，可利用馬爾可夫鏈的知識(shí)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析。

根據(jù)上述描述可以求得馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

根據(jù)其一步轉(zhuǎn)移矩陣可得出其二步轉(zhuǎn)移概率矩陣，假設(shè)該無(wú)線網(wǎng)絡(luò)當(dāng)前時(shí)刻的語(yǔ)音級(jí)別為中，可以計(jì)算出經(jīng)過(guò)二步轉(zhuǎn)移后級(jí)別還為中的概率。

二步轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

若該無(wú)線網(wǎng)絡(luò)當(dāng)前時(shí)刻的語(yǔ)音級(jí)別為中，則經(jīng)過(guò)二步轉(zhuǎn)移后級(jí)別還為中的概率是1/3。

計(jì)算任意階轉(zhuǎn)移矩陣，發(fā)現(xiàn)任意階轉(zhuǎn)移矩陣中總有零元存在，所以沒(méi)有平穩(wěn)分布。

四、與馬爾可夫過(guò)程相關(guān)的歷史事件

（1）1997年提出在因果馬爾科夫條件下，可以由網(wǎng)絡(luò)的條件獨(dú)立和條件相關(guān)關(guān)系推斷因果關(guān)系。（2）夸（Qllah）于 1993年采用馬爾科夫漣模型 對(duì)歐洲經(jīng)濟(jì)的發(fā)展作了進(jìn)一步分析，認(rèn)為以前傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)方法對(duì)研究收斂性有時(shí)可能有 誤導(dǎo)作用。（3）1991年Cohen等采用高斯一馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)（GMRF）紋理模型對(duì)織物疵點(diǎn)的檢測(cè)進(jìn)行了研究，從正常紋理中提取模型參數(shù)，再通過(guò)統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)判別疵點(diǎn)。（4）1990年撰寫(xiě)“馬爾科夫鏈預(yù)測(cè)技術(shù)的應(yīng)用”等論文 1992年之后撰寫(xiě)成“現(xiàn)代控制理論在森林資源動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用”和“森林資源動(dòng)態(tài)系統(tǒng)Kalman濾波”等文章。（5）1973年Dudley“和Burt把動(dòng)態(tài)規(guī)劃應(yīng)用于灌溉水庫(kù)的管理上，利用馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率對(duì)遞推動(dòng)態(tài)方程加權(quán)。（6）直到 1971年 Hammersly等提出H C定理 從理論上證明了馬爾科夫性與吉布斯分布等價(jià)性以吉布斯為代表的隨機(jī)場(chǎng)理論才得到空前發(fā)展與運(yùn)用。7（）1948年，Shannon首先證明遍歷齊次馬爾科夫鏈的極限是存在的；1957年，Briemann證明了平穩(wěn)遍歷的馬爾科夫鏈的極限是存在的。（8）1940年克拉默斯（Kramers）將裂變過(guò)程看作復(fù)合核內(nèi)部的各種可能的分裂碎片的無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)行為，但不是完全隨機(jī)行為，而是僅保持對(duì)前一步記憶的馬爾科夫無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)，例如布朗運(yùn)動(dòng)。