一道不等式題目解法的課堂實錄

李德安

摘 要：高三數學二輪復習應是有針對性的復習，而不應被形形色色的教輔資料所左右，為此筆者組織了全班學生自己出題、編題；高三數學課堂的解題教學，應以學生為中心，從學生的思路中生成解法，而不應是教師一個人的解題天下，本文就是一篇以學生為解題主體的課堂實錄.

關鍵詞：高三數學；解題教學；課堂實錄

[?] 課例背景

在新課程背景下，為了更好地調動全體學生學習的積極性，提升高三復習的有效性與針對性，開展好學生的研究性學習及提高學生的探究實踐能力，在完成高三一輪復習前，筆者給任教的曲靖一中2013屆1班的全體學生布置了一個學習任務：全班54名學生自由組合成11個學習小組，每組5名學生（其中一個組有4個人），各組推舉出小組長，按照高中數學的章節知識，將高中數學分成集合與函數、導數的應用、三角函數、平面向量、數列……共11個單元，每個學習小組負責一個單元的復習工作，收集5-6道具有代表性的題目，最后匯集在一起，成為本班二輪復習的專用資料，收集試題的時間約一個月.接下來在課間、自習等時間各組在小組長帶領下，認真做題、研題、選題、編題，于2013年1月20日各單元試題匯集出爐，然后筆者復印給學生人手一份（不含答案）. 進入3月份，到了二輪復習時，以此資料為復習資料.

[?] 課例過程

在三角函數單元中，第3題題目如下：解不等式+>0.

教師：本節課我們一起研究《三角函數》單元中第3題的解法. 唉，在三角函數單元中，怎么會出現一道解不等式的題目呢？

眾生：應該通過三角代換，轉化到三角函數來解答.

教師：不錯的想法，如何進行三角代換呢？

教師：請同學們認真檢查他的解法，有沒有什么漏洞呢？

學生6：對于不等式x+1>x2兩邊同時平方時，還要保證x+1>0，解出該不等式的解集，再與上述過程解出的x>-取交集，才是最后不等式的解集.

教師：說得太對了，學生5雖然也考慮到要使不等式x+1>x2成立，必須有x+1>0，從而可以同時平方，但不加上限制條件x+1>0，就不能保證x+1是正數了，平方后的不等式與原不等式就不是同解不等式了，所以在解不等式時一定要保證同解變形，本題雖然最后結果是對的，但卻存在漏洞.

本節課學生從三角代換、解不等式的角度給出了這道題目的解法. 在解的過程中，有的地方還不夠嚴謹、嚴密，好在我們的學生可以共同地加以完善. 在高三二輪復習中，我們要進一步規范自己的學習習慣，這不僅是復習中的要求，更是我們整個人生中的要求. 時間很快，本節課即將結束，但對于問題的探究還沒有結束，課下學生在這節課的基礎上，繼續思考還可以從其他方面解決該問題嗎？

第二天上課，筆者繼續追問“這道題目經過探究，還有其他解法嗎？”

學生7：對于上節課生5談到的通過分類討論解不等式，其實還可以變形到不同的形式解不等式，不等式變形到x>x2-1時，也可以如下解答：

這時，學生8有些激動，手早已舉得高高的.

學生8：對于學生7變形到第2、第3種情況時，我們還可以從形的角度看出解集.

令y1=，y2=x-，函數y1圖象是雙曲線y-x2=1（y1>0）的上支，函數y2是奇函數，且在（-∞，0），（0，+∞）都是增函數. 當x=±1時，y2=0，它們的圖象如圖1所示.

大家熱烈地鼓掌，可掌聲后，很多學生還有疑問：若當x>0時，函數y2的圖象并不在y1圖象的下方的話，就不對了.

學生8（瞇笑著說）：我們在解方程y1=y2時，只有兩個解x1與x2，再沒有其他解了，說明當x>0時y2與y1不會有交點，又當00，所以當x>0時，y2的圖象一定在y1圖象的下方.

學生們的掌聲更熱烈了，筆者也很激動.

教師：解法巧，解釋妙，真是巧妙啊！

又有五、六名學生舉手示意，還可以從漸近線的角度進行解釋，雙曲線y-x2=1的漸近線方程是y=±x，當x>0時，y1>x，而y2=x-0時，y1與y2的圖象分居在直線y=x的兩側，當x→+∞時，y2=x-→y=x，說明y=x是函數y2圖象的一條漸近線，同時，y=x也是函數y1圖象的一條漸近線，所以，直線y=x是函數y1與y2的“分漸近線”（前幾節課剛剛講過2012福建高考中的一條有關分漸近線的題目），筆者驚喜地發現，又有一名學生手舉得高高的.

學生9：其實，解釋x>0時，函數y1的圖象在函數y2的圖象上方，太簡單了. 當x>0時，>x-?-x> -，不等式左邊為正，右邊為負，所以顯然有-x>-，從而>x-.

眾生嘆氣，有著一種說不出的感覺：大家都沉浸在用了妙招解釋疑點的喜悅中時，卻被學生9用了如此顯而易見的道理解釋得淋漓盡致……

教師：這就是數學的魅力呀！好的見解的背后還有更高、更妙、更絕的見解，所以我們要一直努力，不能僅僅停留在自己掌握的做法上，那么還有其他解法嗎？（這時，又有兩名學生舉手，讓筆者有些出乎意料）

學生10：+>0?+>0?-2+1>0.

令=t，則t-2t2+1>0，解得- -.

普生11：我的做法與生10的做法本質上是一樣的.令t=，得x2=，從而不等式可化為t2-2t2+1>0，下同學生10.

教室里又一次響起了熱烈的掌聲.

教師：學生10通過變形，將視為整體來解不等式，生11直接通過換元的思想，令t=，減少了變形過程中的思維量，直接得到關于t的不等式. 最后，兩位同學都化到了t-2t2+1>0，而這與學生1、學生2、學生3通過三角代換后得到的形式是一致的，正所謂“條條大路通羅馬”，我們從不同的起點，來到了同一個地點. 本節課又是這么快的就要結束了，但我們的同學帶給我們的方法，促使我們思維的發展還沒有結束，我們都應明確一個道理：你有一個蘋果，我有一個蘋果，交換后，每一個人還是各有一個蘋果；你有一種思想，我有一種思想，交換后，每一個人都至少有兩種思想. 下課！

[?] 課例自評

從教育心理學的角度來評價一堂課的話，關鍵是要看學生的深層學習——“體證學習”， 體證學習要關注兩方面，一方面要讓學生看到教師的體證學習，另一方面是學生要感受體證學習. 對于一個問題，尤其是比較難的問題的解答，教師應該盡量站在學生的起點，在學生面前再現教師想問題、解決問題詳細的解題過程，甚至應該包括教師當初誤入歧途的過程. 教師并不一定要在學生面前展現完美，因為學生在解決問題時，并不是一氣呵成的，而是思索中前進，失敗中進步. 因此，課堂上教師將他的體證學習與學生分享是至關重要的.現在很多課堂，課上確實很精彩，課堂銜接自然，沒有什么廢話，整節課一氣呵成，甚至都有點“自動化”了！或者，課堂上很多教師都在拼命地講題，課下又讓學生拼命地做題，完全陷入題海戰術中，與新課程理念是格格不入的，使學生掉入了畸形的發展中，這樣的課很難保證學生的體證學習，很多時候是一種表成學習，或者說看似高效而后勁不足的教學. 學生的體證學習是需要時間作保證的，這里說的時間是指學生自己獨立思考的時間. 課堂教學某種程度上可以說是共鳴的教學，學生應該在教師的引導下，聽其話，領其意，在意的基礎上達到一點共鳴，或者學生在意的基礎上又產生了新意，這樣的學習是更有意義的學習. 課堂上，教師不應該占據學生的“生意”時間，牽著學生的鼻子走，那樣只能導致教師累、學生廢. 本節課的整個過程，力求學生的體證學習，知識的自然生成.

2001年修訂的布魯姆教育目標分類學，從認知過程角度把認知領域的學習由低到高分為記憶、理解、運用、分析、評價、創新六個層次. 反觀當前的課堂教學，學生的學習則主要局限于記憶、理解、運用三個層次，學習過程被大大窄化. 事實上，在學校的課堂教學情境下，課堂目標和標準的強制性、教材內容的相對穩定性、教學評估指標的客觀性，往往使“準確無誤地掌握課程內容”成為師生的共同目標，“引入新知、促進理解、練習鞏固”成為課堂教學的主要環節，記憶和分析成為學生學習的主要過程，而創新的機會變得少見. 本節課試圖不要將學習過程窄化，給足學生的體證學習時間，實踐證明效果也頗好. 我們應還課堂給學生，讓學生大膽地交流（本節課中，涉及詳細解法的，都是由學生在黑板上詳細板演的），看到他們的閃光點，同時也捕捉到不足及時彌補. 教是為了不教，是為了更好地培養學生探究創新的能力. 我們教師有義務塑造好學生的品格，培養他們合作交流、勇于探索的精神，而不僅僅只是為了高考的那一個分數！