找準思維的落腳點

林勝飛

【案例背景】

平形四邊形的面積是人教版《數(shù)學》五年級上冊多邊形的面積單元的內容，以長方形的面積計算為基礎，在學生初步認識平行四邊形后進行學習的。

在試教的過程中我們發(fā)現(xiàn)課堂中我們的目標直指平行四邊形的面積計算公式，可以說為了這個 “公式”而不擇任何“手段”，尤其是在學生得出等底等高的平行四邊形和長方形面積一樣時，我們都拋出了這樣幾個問題：①平行四邊形的底、高與長方形的長、寬有什么關系？②轉化前后兩圖形之間什么沒有變化？以下是幾個教學片斷。

【過程展示】

（一）回顧原型，大膽猜測

1.出示一個長方形模型。

師：這是一個長方形，對于長方形你都了解它什么？

生1：四條邊，四個角。

生2：四個都是直角

生3：我們能計算出它的周長：周長=（長+寬）×2

生4：我們還能計算出它的面積：面積=長×寬

生：可以先量出它的長和寬，然后長×寬就可以算出它的面積。

師：不錯，我們可以利用長方形的面積計算公式去計算，如果告訴你長方形的長為5厘米，寬為4厘米，那面積就應該為多少？（板書：5×4=20平方厘米）

2.想象：如果輕輕向右下壓長方形，會變成一個什么圖形？（模型演示）

生：會變成一個平行四邊形。

師：那關于平行四邊形你又了解它的哪些知識呢？

生1：平行四邊形也有四條邊，四個角，而且對邊相等。

生2：平行四邊形有底邊和底邊所對應的高。

生3：長方形是一種特殊的平行四邊形。

師：說的真好，看來大家對平行四邊的了解真多。這節(jié)課我們就繼續(xù)來認識平行四邊形。

3.猜測：長方形可以通過計算得到它的面積，那平行四邊形也可以通過計算得到它的面積嗎？

出示：

師：如果這個平行四邊形的兩條鄰邊分別為5厘米和4厘米，5厘米的底對應的高為3厘米，你認為面積應該為多少？你是怎么想的？（教師引導學生得出其算式的計算方法）

生1：（5+4）×2=18（平方厘米）（求周長）

生2：5×4=20（平方厘米）（相鄰兩邊相乘）

生3：5×3=15（平方厘米）（底×高）

師：怎么有這么多的答案？但我們知道平行四邊形的面積和長方形的一樣也是唯一的。那到底誰說得對呢？還需要我們進一步的驗證。

（二）動手操作，滲透轉化

師：你認為可以用什么辦法驗證？

生1：可以用我們以前學過的數(shù)方格的方法。

生2：可以把它變成一個長方形再計算。

……

1.數(shù)方格的方法

（1）師：方法很多，那我們選擇兩種我們平時較常用的方法去試試。先來看看用數(shù)方格的方法。

出示要求：

①數(shù)一數(shù)，同桌合作數(shù)一數(shù)紙片上一共有幾個方格；

②想一想，你們是怎么數(shù)的，你們有什么發(fā)現(xiàn)，寫下來；

③將紙片放在桌子右上角，準備匯報。

（2）學生匯報：

生：我們數(shù)了數(shù)發(fā)現(xiàn)一共是15個格子，我們是這樣數(shù)的，首先數(shù)滿格的，共有10個。然后數(shù)不是滿格的，我們發(fā)現(xiàn)左邊的格子和右邊的格子湊起來剛好是一個滿格，這里總共有5個滿格。所以平形四邊形的面積應該用底×高來計算。

師：你們的發(fā)現(xiàn)真了不起，通過數(shù)格子的方法驗證我們剛才的想法，平行四邊形的面積能用底×高來計算。

2.轉化成長方形的方法

（1）師：那兩個鄰邊相乘得到的為什么不是平行四邊形的面積呢？我們來用第二個方法驗證下。

出示要求：

①操作要求：利用剪刀，筆，尺子等工具，將一個平行四邊形紙片通過剪、拼，變成一個長方形；

②想一想：你是怎么剪、拼的？觀察拼成的長方形和原來的平行四邊形，你發(fā)現(xiàn)什么？寫下來；

③將工具整理好放在桌子右上角，準備匯報。

（2）學生匯報：

生1：我沿著高剪下一個小三角形，拼到右邊就變成一個長方形了，我發(fā)現(xiàn)拼成的長方形的面積和原來平行四邊形的面積相等。

生2：我發(fā)現(xiàn)拼成的長方形的長等于原來平行四邊形的底，長方形的寬等于原來平行四邊形的高。

（3）教師利用課件演示平行四邊形轉化成長方形的過程，并通過線的閃動突出長、寬和底、高的對應關系。

（4）師：通過上面的實驗，你們認為平行四邊形的面積應該怎樣計算？理由是什么？

生：我認為平行四邊形的面積應該等于底×高。因為拼成的長方形的面積等于長×寬，而拼成的長方形的長等于原來平行四邊形的底，長方形的寬等于原來平行四邊形的高。由此可以推出上面的計算公式。

師：說得非常好！（平行四邊形的面積=底×高）

（三）強化轉化，構建新知

1. 師：剛才通過研究，有同學發(fā)現(xiàn)了這個平行四邊形（小紙片）的面積是底乘以高。那是不是所有的平行四邊形的面積都可以用底乘以高來算？我們來看一下這幾個平行四邊形能不能轉化為我們的熟悉的長方形？（課件展示轉化方法）

2.師：現(xiàn)在我們可以很肯定地說平行四邊形的面積=底×高了，平行四邊形的面積計算公式還可以用字母來表示：S=ah

【教學反思】

思維是很空乏的東西，在課堂中需要很多有效的活動得以支撐，在挖掘平行四邊形的面積計算公式的過程我們深刻的體會到了這一點，我們認為數(shù)學課堂中的數(shù)學思維訓練可以從以下幾個方面落腳。

1.在新舊知識結合處落腳

長方形的面積為長×寬，這是學生已有知識，學生已經(jīng)高度抽象地理解了面積的意義。面積此時在學生心目中已成為一些數(shù)字，而不是平面的大小。這就為平行四邊形的面積這一新知的探究產生了極大地負遷移。如果我們一味的躲避負遷移，效果反而適得其反。在本課例中為充分暴露學生思維，我們嘗試讓他們大膽猜測，采用積極正視負遷移，有效利用負遷移的方法。于是在猜測平行四邊形面積的時候就出現(xiàn)了用求周長的方法、兩鄰邊相稱的方法、底乘高方法等。由于面積是唯一的，這激起了學生探求新知的強烈欲望，為接下來的動手探索埋下了伏筆，同時也有效避免了舊知對新知的負遷移作用。

2.在疑難處落腳

數(shù)方格的方法是探究平行四邊形的最常見方法，在數(shù)方格時由于會產生大小不一的不滿格而使數(shù)方格的方法受到學生的質疑。因此，教材中都將不滿格的無論大小都當成半格算，雖然這樣的方法經(jīng)過驗證后也是科學、可行的，但是學生往往都是直觀的看的，不滿半格的也當半格算，學生從內心接受不了。基于這樣的考慮，我們在課堂中沒有強調不滿格的都當成半格算，而是讓學生自己去尋找解決辦法。在課例中我們也可以發(fā)現(xiàn)學生是能夠非常完美地解決這個問題的，通過大小的拼湊，就變成了一個滿格。而在這拼湊的過程中，就是轉化思想的體現(xiàn)，學生的思維得以提升。

3.在動手操作過程中落腳

要重視讓學生在學習過程中，運用多種感官進行感觀認識，再通過自己動手操作，進行積極思維來獲取知識。本課例中讓學生通過工具剪平行四邊形、拼長方形這個活動，使得平行四邊形的面積計算公式這一抽象的知識，因為有了形象的展示，而得到了有效地落實。

4.在對比說理的過程中落腳

由數(shù)方格的方法得到平行四邊形的面積計算公式后，我們由此展開了對比說理的活動。用平行四邊形剪、拼成長方形后對比觀察，明確了底×高為什么可以算出平行四邊形的面積，而鄰邊相乘得不到平行四邊形的面積；在剪、拼活動后，我們又引導學生思考，這只是一個普通的平行四邊形，那是不是所有的平行四邊形都可以轉化為長方形，從而用底×高來計算它的面積呢？由這樣一個平放的特殊平行四邊形到各種位置的一般的平行四邊形，讓學生感受數(shù)學嚴密性。在這樣的對比說理中，思維的深度和廣度得以鍛煉。