一種改進的圖像盲復原算法

李青青 李建建

摘 要：圖像盲復原是在點擴散函數未知的情況下從退化觀測圖像中恢復出原圖像的高頻細節。本文給出了一種交替進行Lucy-Richardson恢復和全變差正則化的盲圖像恢復算法。算法將圖像盲恢復問題分解成圖像恢復和模型辨識兩個關聯的子問題。在模型辨識階段，采用全變差正則化估計系統的點擴散函數；在圖像恢復階段，使用Lucy-Richardson算法和奇異值分解相結合的方法恢復圖像。實驗結果證明，該方法能更好的抑制噪聲、提高圖像的分辨率。

關鍵詞：Lucy-Richardson；圖像盲復原；奇異值分解；全變差正則化

圖像在獲取過程中，不可避免地會受到成像體制、噪聲及場景的影響，從而導致目標細節丟失，圖像分辨率下降。為了增加退化圖像的可理解性和目標的可識別性，眾多研究人員采用不同的處理技巧和估計準則提出了不同的復原方法。由于引起圖像退化的因素眾多且性質不同，故每種復原方法都有其特殊的應用場合，其典型代表為Lucy-Richardson（LR）算法[1，2]。LR算法假定圖像服從泊松分布，采用最大似然法進行退化圖像的迭代復原。當噪聲較小時，該算法具有良好的恢復效果，通過多次迭代可收斂至穩定解。其二，基于正則化理論的復原方法。正則化方法根據圖像的先驗信息，通過添加正則項或“懲罰”項，將圖像復原這一病態問題轉化為良態問題，從而求解出一個有意義的、穩定的近似解。其典型代表為Chan[3]等提出的全變差正則化方法。該算法具有計算復雜度低，恢復效果好的特點，并且從理論上證明了圖像是逐片光滑時，全變差正則化比二次正則化能更好地恢復圖像邊緣[5]。然而，無論是LR算法還是全變差正則化算法都未充分考慮系統的點擴散函數（或模糊卷積矩陣）和噪聲對復原結果的影響。例如當噪聲較大時，LR算法的復原結果會出現一些明顯“斑點”。這些“斑點”噪聲表明LR算法存在放大噪聲的缺陷。文獻[4]針對高斯模糊類型噪聲，對LR算法進行改進，通過迭代不斷修正點擴散函數（Point Spread Function，PSF），對重建后的圖像進行邊緣檢測，通過形態學膨脹和零填充方法掌握其邊緣信息，有效地去除了邊緣環現象。文獻[5]提出了一種交替使用小波去噪和全變差正則化的盲圖像恢復算法，其可被稱之為交替去噪正則化盲復原方法。該方法將圖像復原問題分解為圖像去噪和圖像恢復兩個問題，可以交替采用圖像去噪和圖像恢復算法求解。模型辨識階段，使用全變差正則化算法估計點擴散函數；圖像恢復階段，使用小波去噪和全變差正則化相結合的算法恢復圖像。經實驗證明，該方法能有效估計系統的PSF，提高圖像的分辨率。然而，該算法亦可改進。

本文聯合使用LR算法、全變差正則化和奇異值分解[6]，提出了一種盲圖像恢復的迭代算法。算法交替求解兩個問題： 模型辨識階段使用全變差正則化；圖像恢復階段使用LR算法和基于SVD的圖像去噪算法。仿真結果表明，本文提出的算法具有較強的去噪復原能力。

1 本文算法

1.1 圖像降質模型

設成像系統具有線性和空移不變性，且噪聲為加性噪聲，則成像系統降晰的數學模型可簡單表示為：

其中u（x，y）為原始圖像，f（x，y）降晰后的圖像，h（x，y）為系統的PSF，反映了系統對圖像的影響，一般不能精確已知，n（x，y）為噪聲。式（1）也可寫成矩陣形式即：

其中，f，u，n分別代表退化圖像、原圖像和觀測噪聲，且均為一個行堆疊形成的MN×1列向量，H為PSF形成的MN×MN階的塊循環矩陣即模糊卷積矩陣。

1.2 圖像恢復

LR算法是一種典型的迭代復原算法，最終收斂于泊松統計模型的最大似然解[7]。根據貝葉斯理論，它假定觀測圖像、PSF、和原始圖像服從某個概率統計模型，通過迭代獲得u（x，y）的最大似然估計，即

因此根據不同的統計模型，會產生不同的估計方法。假定 和un（x，y）分別代表第hn（x，y）次迭代的圖像估計和點擴散函數估計，則第n次圖像估計為

其中∑h（x，y）=1，h（-x，-y）=h（x，y），初始條件為u0（x，y）=f（x，y），其中f（x，y）為系統獲取的降晰圖像。

雖然，通過多次迭代可獲得復原圖像和PSF的估計，但LR算法的計算量大大增加，同時它對噪聲還相當敏感。當迭代次數變大時，復原圖像會變得比退化圖像更加模糊，且由于點擴散函數的不準確性，整個圖像會產生“振蕩”波紋。因此，要獲得良好的恢復效果就必須進行模型辨識和抑制噪聲。故在每次復原后，本文算法對恢復結果進行SVD濾波，并采用其他方法來對成像系統的PSF（或模糊卷積矩陣H）進行辨識，提高LR算法的復原質量。

對于圖像矩陣而言，較大的奇異值及其特征向量對應的是圖像信號，而較小的奇異值及其特征向量表征的是圖像中的噪聲。合理的選取截取準則，將某些較小的奇異值置零，可有效去除噪聲的影響。本文采用文獻[6]中的方法進行SVD去噪。

1.3 模型辨識

文獻[3]在沒有點擴散函數和圖像先驗知識的前提下，利用全變差正則化方法對圖像進行恢復，其代價函數為

其中α1，α2為正則化參數。它們控制著圖像迭代恢復過程中點擴散函數（或模糊卷積矩陣H）和過渡圖像的置信度。▽u和▽H分別表示u和H的梯度。

綜上所述，本文算法的模型框圖如圖1所示：

2 實驗結果及分析

仿真試驗中，全變差正則化的參數參照文獻[3]中的方法來選擇。實驗中選用半徑為9的圓盤狀點擴散函數對標準圖像進行模糊，并添加均值為0，方差為30的高斯白噪聲。最后，分別用本文算法與LR算法、交替去噪正則化盲復原算法對降質圖像進行復原，其結果如圖2所示：

由圖2（c）可知，受噪聲和PSF估計不準確的影響，LR算法對衛星輪廓恢復的能力有限，同時將噪聲的放大使得圖像的分辨率進一步降低，這與前面的論述相印證。由圖2（d）可知，交替去噪正則化盲復原算法的恢復效果明顯優于LR算法。圖像中僅存在少量的噪聲且衛星的輪廓變的更加清晰，但與圖2（e）相比，整個圖像對比度較低。通過分析圖2（e）可知，本文給出的算法能有效抑制噪聲、恢復圖像中丟失的高頻細節、增強圖像的對比度，并最終提升了圖像的分辨率。以上結論亦可從PSNR看出。本文算法的PSNR比交替去噪正則化盲復原算法高出了0.34dB，有了較大提高。

3 結語

圖像盲復原問題一直是一個頗具挑戰性的問題，其目的是在恢復圖像高頻細節的同時平滑噪聲。本文在LR算法的基礎上進行改進，給出了一種融合SVD和全變差正則化的盲圖像恢復算法。在噪聲及系統的PSF未知的情況下，將圖像盲復原問題分為兩個相關子問題即圖像恢復和模型辨識。在模型辨識階段，采用全變差正則化估計系統的PSF；在圖像恢復階段，使用SVD濾波和LR算法相結合的恢復算法。實驗結果表明，本文算法能獲得更好的恢復效果。

[參考文獻]

[1]閏河，閏衛軍，李唯唯.基于Lucy-Richardson算法的圖像復原[J]. 計算機工程，2010，36（15）：204-210.

[2]孔祥龍，李玉同，遠曉輝，等.Lucy-Richardson算法用于針孔圖像的恢復[J].物理學報，2006，（5）：2364-2370.

[3]Chan T F and Wong C K.Total variation blind deconvolution [J].IEEE Trans.on Image Processing，1998，7（3）：370-375.

[4]厲丹，錢建生，蘆楠楠，田雋.高斯模糊噪聲圖像的圖像復原算法的改進[J].計算機應用與軟件，2010，27（10）：14-16.

[5]周祚峰，水鵬朗.交替使用小波去噪和全變差正則化的盲圖像恢復算法[J].電子與信息學報，2008，30（12）：2913-2915.

[6]季維勛，李燕民，李維國.一種新的基于SVD圖像降噪方法的探究[J].科學技術與工程，2010，10（20）：4950-4953.

[7]趙剡，張怡，許東.基于總變分規整化的湍流退化圖像復原RL算法. 中北大學學報（自然科學版）.2007，28（1）：70-72.