基于分形迭代的圖像表達與構(gòu)造方法

祝傳剛

摘 要：分形幾何可以準確地描述自然界里的復(fù)雜圖形，該文總結(jié)了分形圖像理論并利用計算機實現(xiàn)了圖像的仿真表達，提出了利用分形迭代參數(shù)表征圖像的方法，為目標匹配提供了新的思路。

關(guān)鍵詞：分形圖像 迭代函數(shù)系統(tǒng) 仿真

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）02（c）-00-02

幾何學(xué)是研究物體形狀及其結(jié)構(gòu)關(guān)系的一門自然學(xué)科，歐幾里德幾何學(xué)將物體簡化為簡單的點、線、面，并通過解析幾何對點、線、面進行公式化表述。大自然中廣泛存在的花草、山脈，河流、閃電、星系等客觀物體，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜多樣，變化無窮，利用傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)無法描述這些不規(guī)則物體或圖形，只得將這些自然形態(tài)的圖形標上“病態(tài)”標簽而加以排除，因此，傳統(tǒng)歐幾里得幾何理論做不到“放之四海而皆準”。1967年，美國的《科學(xué)》雜志上發(fā)表了一篇題為《英國的海岸線究竟有多長？》的論文。這篇論文對海岸線的本質(zhì)作了獨特的分析：當你用一把固定長度的直尺來測量時，對海岸線上兩點間的小于尺子尺寸的曲線，只能用直線來近似，因此，測得的長度是不精確的。如果你用更小的尺子來刻畫這些細小之處，就會發(fā)現(xiàn)，這些細小之處同樣也是無數(shù)的曲線近似而成的，隨著你不停地縮短你的尺子，你發(fā)現(xiàn)的細小曲線就越多，你測得的曲線長度也就越大，如果尺子小到無限，測得的長度也是無限。海岸線的長度是多少取決于尺子的長短。

Mandelbrot指出：當采用不同尺度的尺子去測量海岸線長度時結(jié)果會不一樣，很顯然，歐幾里得幾何的長度概念在處理海岸線的長度時遇到了困難，1975年，Mandebrot提出用“Fractal”（分形）一詞來描述這種自然形態(tài)，分形的理論就此萌芽并迅速發(fā)展起來，曼德布羅特也自然而然地成為了分形理論的奠基人。曼德布羅特對分形的定義：”A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way.” 經(jīng)過發(fā)展，分形幾何理論體系逐步得以確立。從分形研究的發(fā)展進程來看，許多概念諸如自仿射分形、自反演分形、遞歸分形、多重分形、胖分形等逐漸建立起來，標志著分形理論不斷走向繁榮[1]。

在自然科學(xué)中，具備分形特征的例子比比皆是，利用分形幾何理論可以實現(xiàn)對分形對象的準確描述，并可以利用計算機模擬出具備分形特征的物體或圖象，迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）就是描述分形對象的有力工具[2]。

1 迭代函數(shù)系統(tǒng)的分形理論

定義1：度量空間與定義在其上的一有限個的壓縮映射族

組成一迭代函數(shù)系，記為IFS。

，若的壓縮比為，則

稱為IFS的壓縮比。

定理1 設(shè)是完備度量空間上的IFS，壓縮比為c的變換定義為：，

則為上的壓縮比為c的壓縮映射，即，則存在不變集，滿足

且，

定理1 中的不變集稱為該IFS的吸引子。

定理2 設(shè)為完備度量空間上的壓縮比為，則帶凝聚的雙曲IFS，變換定義為：

則是完備度量空間上帶有壓縮比為C的壓縮映射，即，且存在唯一的不動點

，則

2 迭代函數(shù)系統(tǒng)仿真

仿射變換是實現(xiàn)分形計算的重要方法，維歐幾里得空間中的仿射變換具有下面的形式：，其中是上的線性變換，而b是中的一個矢量。仿射變換可以使平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮以及反射的組合[3]。

二維仿射變換為：，

其中，a，b，c，d，e，f為仿射變換矩陣元素，謝爾賓斯基三角形的仿射變換矩陣如表1所示，計算模擬結(jié)果如圖1所示。

圖1 謝爾賓斯基三角形的計算模擬結(jié)果（迭代次數(shù)分別為1，3，9次）

橛子樹的仿射變換矩陣如表2所示，計算模擬結(jié)果如圖2所示。

圖2 橛子樹的計算模擬結(jié)果（迭代次數(shù)分別為9次，18次，90次）

從模擬結(jié)果可以看出，在自仿射變換相關(guān)參數(shù)設(shè)定合理的情況下，計算模擬程序很好地模擬了謝爾賓斯基三角形和橛子樹的形狀，對其他分形圖像的模擬也取得了很好的結(jié)果。

3 結(jié)語

模擬結(jié)果表明，具備分形特征的圖像可以由少數(shù)幾個合理的參數(shù)進行表征，而自然界的圖像雖然不具備嚴格的自相似性，但都具備統(tǒng)計學(xué)自相似性或局部自相似性，因此，可以通過自仿射變換實現(xiàn)自然界實際圖像的壓縮。從軍事角度考慮，這些看似復(fù)雜的圖像，其信息量并不大，可以利用迭代系數(shù)對圖像目標進行自動識別，由于參數(shù)決定了圖像的細節(jié)，因此基于參數(shù)的圖像目標識別方法為目標自動識別提供了一條新途徑。

參考文獻

[1] 曹磊，韋惠.分形幾何的圖像壓縮研究[J].模式識別與人工智能，1994（2）.

[2] 張梁斌，周必水.自適應(yīng)遺傳算法與分形圖像壓縮結(jié)合的新方法[J].計算機應(yīng)用研究，2006（7）：249-252.

[3] 李丹，張梁斌.基于Jacquin分形法圖像編碼的matlab仿真實現(xiàn)[J].萬里學(xué)院學(xué)報，2011（5）：80-84.