高職高數一元函數極限的求法綜述

黃阿娜

摘要：極限是微積分的理論基礎。研究函數的性質實質上是研究各種類型的極限，如連續，導數，定積分，級數等等。由此可見極限的重要性。由于極限的計算方法很多而繁雜，所以本文根據自己的教學實踐，力求對高職高等數學課程里計算一元函數極限的方法進行一個基本的總結。

關鍵詞：連續性四則運算重要極限無窮小量無窮大量

型型

極限是高等數學中的一個重要的基本概念，是研究微積分學的重要工具。微積分中的許多重要概念都是用極限來表述的，一些重要的性質和法則也是通過極限方法推得的。因此，掌握極限的思想與方法是學好微積分學的基礎，也是學好工科類學科知識前提條件。這樣才能更好地工學結合，使得學生在今后的工作中受益。

求函數極限時，要根據函數的特性選擇求函數極限的適當方法。

1 求一元函數極限的基本方法

1.1 利用連續性求極限

①設f（x）在x=a連續，按定義則有：fx=fa。

因此對連續函數求極限就是用代入法求函數值。

②一切初等函數在它的定義域上連續。因此，若fx是初等函數，a屬于它的定義域，則fx=fa。

③設gx=A，若補充定義g（a）=A，則gx在 x=a連續。若又有y=f（u）在u=A連續，則由復合函數的連續性得f（g（x））=f（gx）=f（A）。

1.2 利用四則運算法則

設fx=A，gx=B，則

[fx±gx]=A±B，[fx·gx]=A·B，

=（B≠0），fx=AB（A>0）

1.3 利用重要極限

常用的兩個重要極限公式是：

=1

1+=e

1.4 利用無窮小、無窮大的性質

①無窮小與有界函數之積仍為無窮小。

②無窮小與無窮大的倒數關系。

2 求一元函數未定型極限的方法

2.1 型極限的求法

①因式分解或通分。

②分子，分母同除以一個代數式。

③根式有理化。

④變量替換。

⑤等價無窮小代換。

求函數極限，如能恰當采用等價無窮小代換，可以起到變難為易，化繁為簡的作用。等價無窮小代換：設α～α′，β～β′，且lim存在，則lim=lim（其中α，β，α′，β′均為無窮?。?/p>

應用等價無窮小應注意的地方：只能用分子，分母整個部分去代換，或是把函數化成積的形式施行無窮小代換。在和，差式中，就不能代換。因為無窮小的和或是差是比原先更高階的無窮小。

⑥利用羅必達法則

定理（型，x→a+0）

若 （1）函數f（x）和g（x）在（a，a+δ）上有定義 （δ>0），并且

fx=0，gx=0

（2）f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）上存在，g′（x）≠0，并且

=A（包括A=∞的情形）

則==A

2.2 型的解法

定理 （，x→a+0）

若（1） 函數函數f（x）和g（x）在（a，a+δ）上有定義 （δ>0），并且

fx=∞，gx=∞

（2）f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）都可導，g′（x）≠0，并且

=A（包括A=∞的情形）

則==A

極限是數學分析中最基本，重要的概念之一；極限在實際應用中有很廣泛的應用，因此掌握求極限的方法十分重要。

總之，求極限的方法很多，函數的類型也很多，但求極限總的指導思想是根據函數特征選擇適當求法，在熟練掌握各種極限求法的基礎上，按照極限求法的思考順序來考慮，就可準確地找到適當的求法，使問題得到圓滿的解決。

參考文獻：

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[2]陳傳璋，歐陽光中等.數學分析 （第二版）復旦大學數學系.北京高等出版社，1983.

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