Delaunay 三角剖分在水輪機特性曲線處理中的應用?

2013-05-04 06:44:50雷恒，張兵

機械工程與自動化 2013年3期

雷恒，張兵

（1.黃河水利職業技術學院水利系，河南開封 475003；2.小流域水利河南省高校工程技術研究中心，河南開封 475003）

0 引言

在應用計算機輔助設計技術進行水輪機的選型設計、經濟運行和過渡過程數字仿真等工作時，常采用大量離散數據點表示水輪機特性曲線。而水輪機特性曲線數據是由轉輪模型試驗獲得的，這些特性曲線均是一系列大量的離散數據點，即以單位流量Q11和單位轉速n11作為坐標系的一系列等值平面曲線數據點［1］。實質上是用二維的圖形表述三維的信息，表達不直觀。本文針對不規則離散的水輪機特性數據，利用MATLAB強大的數據處理功能［2］，通過三次樣條插值和Delaunay三角剖分求取水輪機特性曲線。

1 水輪機特性離散數據采集

水輪機流量特性為Q11＝f（α，n11）（α為水輪機導葉開度），實際上是水輪機模型綜合特性在三維坐標系（Q11，n11，α）中的三維曲面投影到（n11，Q11）平面上的一系列等高線。在MATLAB程序中，首先要為X、Y、Z三個變量進行賦值，再把在Excel表格中處理好的數據列復制、粘貼到MATLAB的變量值表中，這樣能夠把大量的列項量數值快速地復制給MATLAB中的變量。為了表示各采樣點的地理位置，需要繪制采樣點的分布圖，如圖1所示。

2 數據插值和等值線的繪制［3］

水輪機特性采樣點多，呈不規則分布，其生成的等值線或等值面（如圖2所示）需要進行數據插值和數據網格化。常用的插值算法有線性插值、最近鄰插值、三次多項式插值和樣條插值4種。其中線性插值和最近鄰插值結果所構成的曲面不平滑，精度較低；三次多項式插值結果所構成的曲面較平滑；樣條插值結果所構成的曲面最平滑，精度高。

在任意插值計算區間［a，b］的每一個子區間［xk，xk＋1］上，三次樣條函數為：

其中：x為水輪機的單位轉速；hk為相鄰水輪機單位轉速的差值，記為hk＝xk＋1－xk；mk為三次樣條插值函數的二階導數；Ak、Bk為積分常數sk（xk＋1）。y為水輪機的單位流量；mk可通過下面方程組解出：

三次樣條插值的計算步驟如下：首先確定端點條件，然后構成相應的方程式組（2），求出mk（k＝1，2，3，…，n），最后根據式（1）求得各子區間［xk，xk＋1］上的三次樣條插值函數。

圖1 水輪機流量特性曲線離散數據樣本分布

圖2 等值線圖

3 插值三維網格曲面繪制和Delaunay三角網

通過MATLAB可以實現三維網格曲面圖形的繪制［4］。插值數據生成的三維網格見圖3，生成的三維表面圖見圖4。

圖3 插值數據形成的三維網格圖

不規則三角網可減少規則格網方法帶來的數據冗余，同時計算效率也較高。如何把一個散點集合剖分成不均勻的三角形網格，這就是散點集的三角剖分問題。不規則三角網模型是根據區域有限個點集將區域劃分為相連的三角面網格，區域中任意點落在三角面的頂點、邊上或三角形內。在實際中，運用最多的三角剖分是Delaunay三角剖分［5］。

要滿足Delaunay三角剖分必須符合兩個重要的準則：一是最大－最小化角特性，即在散點集可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分所形成的三角形最小角最大；二是空圓特性，即Delaunay三角網是唯一的（任意4點不能共圓），在Delaunay三角網中，任一三角形的外接圓范圍內不會有其他點存在。