多元線性回歸理論在數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償中的應(yīng)用

田國(guó)富，胡 軍，郭玉學(xué)

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110870）

0 引言

影響機(jī)床加工精度的主要原因就是機(jī)床各部件的熱變形而引起的誤差，尤其是在精密加工中，機(jī)床熱變形所引起的加工誤差一般會(huì)占到工件加工誤差總和的40%～70%［1］，所以對(duì)機(jī)床熱變形誤差的預(yù)防和補(bǔ)償就成為提高機(jī)床加工精度的重要手段。

機(jī)床的熱誤差補(bǔ)償就是在機(jī)床合適的位置布置適當(dāng)?shù)臏囟葴y(cè)量點(diǎn)，從而建立熱誤差補(bǔ)償模型；通過(guò)建立較好的模型和測(cè)量的實(shí)時(shí)溫度值來(lái)有效地預(yù)測(cè)熱誤差的大小，并將預(yù)測(cè)值傳送到CNC數(shù)控系統(tǒng)中，從而實(shí)現(xiàn)熱誤差的實(shí)時(shí)補(bǔ)償。在進(jìn)行熱誤差補(bǔ)償?shù)倪^(guò)程中需主要解決兩個(gè)方面的問(wèn)題：①溫度測(cè)點(diǎn)的合理選擇；②合適的熱誤差補(bǔ)償模型的建立。多元線性回歸方法所建立的補(bǔ)償模型是多個(gè)輸入、單個(gè)輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系的模型，它不僅能把握住數(shù)據(jù)群體的主要特征，得到變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，利用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)此關(guān)系進(jìn)行分析，以判別其有效性，還可以利用關(guān)系式，由一個(gè)或多個(gè)變量值去預(yù)測(cè)和控制另一個(gè)因變量的取值，從而知道這種預(yù)測(cè)和控制達(dá)到的程度，并進(jìn)行因素分析［2，3］。所以，在研究數(shù)控機(jī)床熱誤差建模時(shí)運(yùn)用多元線性回歸理論，具備較好的擬合性能、補(bǔ)償能力和更短的建模時(shí)間等優(yōu)勢(shì)，另外建模的手段對(duì)溫度傳感器的布置具有更好的魯棒性［4］。

1 多元線性回歸理論模型

1.1 多元線性回歸理論的建模方法

利用多元線性回歸理論建模，是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法建立多個(gè)輸入、單個(gè)輸出的關(guān)系模型，該理論針對(duì)加工機(jī)床熱變形的具體情況，通過(guò)實(shí)驗(yàn)、計(jì)算得到一組表達(dá)多個(gè)測(cè)量點(diǎn)溫升輸入、單個(gè)方向上位移變化輸出的線性關(guān)系。由于實(shí)驗(yàn)時(shí)所運(yùn)用的數(shù)控機(jī)床的熱變形是在X、Y、Z三個(gè)不同方向上的，所以必須在每個(gè)方向上分別獨(dú)立地求得一組關(guān)系式，最后將各個(gè)方向的關(guān)系擬合在一起，便可以得到多個(gè)輸入、多個(gè)輸出的模型。

假如模型中的因變量y與m 個(gè)自變量x1，x2，x3，…，xm存在線性的內(nèi)在聯(lián)系，且通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到n組數(shù)據(jù)：（xt1，xt2，…，xtm；yt），t＝1，2，…，n，那么這批數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)形式：

可以得到的多元線性回歸模型為：

矩陣中的β0，β1，β1…，βm是m＋1個(gè)待估計(jì)的參數(shù)，x1，x2，x3…，xm是m 個(gè)可以被測(cè)量或者能夠被控制的變量，而ε1，ε2…，εn是n個(gè)相互獨(dú)立且服從于同一正態(tài)分布N（0，σ）的隨機(jī)變量，則利用最小二乘法去估計(jì)參數(shù)β。設(shè)b0，b1…，bm分別是參數(shù)β0，β1，β2…，βm的最小二乘估計(jì)，則回歸方程為：

且由參考文獻(xiàn)［5，6］可知，可決定系數(shù)：

其中：yt＝μ0＋β1xt1＋β2xt2＋ … ＋βmxtm，y＾t＝u0＋

b1x1＋b2x2＋…＋bmxm，μ0、u0均為待定系數(shù)。

1.2 建立誤差補(bǔ)償模型

因?yàn)閿?shù)控機(jī)床的溫度場(chǎng)是連續(xù)的，也是隨著時(shí)間的變化而時(shí)刻變化的，所以必須要測(cè)量有限個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的溫度，隨后將測(cè)得的溫度離散化，并利用一定數(shù)量的溫度傳感器測(cè)量得到T1，T2，…，Tn。由于數(shù)控機(jī)床的熱變形情況較為復(fù)雜，因此利用多元線性回歸理論，通過(guò)多個(gè)關(guān)鍵的溫度測(cè)點(diǎn)的線性組合來(lái)表示熱變形與溫度之間存在的內(nèi)在關(guān)系：

其中：β0i、βji均為各測(cè)溫點(diǎn)誤差擬合系數(shù)；△Ti為各測(cè)點(diǎn)的溫升；i＝1，2，…，n，為測(cè)量點(diǎn)數(shù)；j＝1，2，…，k，為測(cè)量次數(shù)。

2 多元線性回歸理論的實(shí)例應(yīng)用

2.1 數(shù)控機(jī)床熱誤差分析

本文以數(shù)控銑床為例進(jìn)行研究分析。通過(guò)資料和相關(guān)的實(shí)驗(yàn)得知，數(shù)控銑床的熱誤差主要是由主傳動(dòng)軸的軸向熱伸長(zhǎng)，主軸在X、Y、Z方向上的熱漂移，以及主軸繞X、Y軸的熱傾斜而引起的刀具相對(duì)于數(shù)控機(jī)床工作臺(tái)的移動(dòng)而產(chǎn)生的。圖1為數(shù)控銑床的結(jié)構(gòu)筒圖。

2.1.1 測(cè)溫點(diǎn)的選取

要確定溫度傳感器的個(gè)數(shù)和測(cè)量關(guān)鍵點(diǎn)的位置，主要依據(jù)以下三種經(jīng)驗(yàn)理論：①傳感器的個(gè)數(shù)應(yīng)大于機(jī)床內(nèi)部熱源的個(gè)數(shù)；②傳感器應(yīng)盡最大可能地靠近熱源；③想獲得最合適的傳感器數(shù)量和位置，開(kāi)始的實(shí)驗(yàn)應(yīng)盡量多設(shè)置測(cè)溫點(diǎn)，以保證重要信息的完整性。根據(jù)本課題的需要以及外部條件因素的影響，該研究決定用6個(gè)溫度傳感器（即T1、T2、T3、T4、T5、T6）來(lái)進(jìn)行溫度測(cè)量。傳感器的具體位置和功能如圖1所示。

考慮到室溫（環(huán)境溫度）變化對(duì)機(jī)床熱誤差建模的影響，令△Ti為各關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)的溫度值與實(shí)際室溫值T7之間的差。對(duì)主軸箱上的6個(gè)關(guān)鍵測(cè)溫點(diǎn)進(jìn)行模糊聚類(lèi)分析，再根據(jù)各關(guān)鍵測(cè)溫點(diǎn)的溫度變化與機(jī)床位移變化的相關(guān)系數(shù)，從中選出較典型的關(guān)鍵測(cè)溫點(diǎn)1、2和6，將這3個(gè)點(diǎn)進(jìn)行排列組合，并依據(jù)實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的數(shù)據(jù)，按照公式（4）來(lái)計(jì)算各個(gè)組合的復(fù)判定系數(shù)R2p，見(jiàn)表1。

圖1 數(shù)控銑床的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

表1 測(cè)溫點(diǎn)溫升和熱誤差的相關(guān)系數(shù)

從表1可知，當(dāng)測(cè)點(diǎn)1、6組合時(shí)，其復(fù)判定系數(shù)R2p增大明顯；而當(dāng)1、2及2、6相互兩兩組合時(shí)，它們的復(fù)判定系數(shù)R2p變化不大；當(dāng)測(cè)點(diǎn)1、2、6組合時(shí)，它們的復(fù)判定系數(shù)R2p與1、6組合時(shí)相差無(wú)幾，可忽略。依據(jù)線性回歸理論的分析，得出結(jié)論：關(guān)鍵測(cè)溫點(diǎn)2對(duì)機(jī)床熱誤差的影響較小，可忽略不計(jì)，所以選擇機(jī)床主軸的前端箱體溫度T1和主軸的前端軸套溫度T6作為主要測(cè)溫的關(guān)鍵點(diǎn)。

2.1.2 數(shù)控銑床溫度值測(cè)量與記錄

溫度值的測(cè)量間隔和機(jī)床熱誤差的測(cè)量間隔一樣，從機(jī)床開(kāi)機(jī)開(kāi)始每5 min記錄一次，依據(jù)上面測(cè)溫點(diǎn)的選取方法，本課題總共選定兩個(gè)主要的溫度傳感器（T1、T6），每個(gè)傳感器記錄40個(gè)溫度值，溫度傳感器T1、T6的溫度值記錄見(jiàn)表2。表2中，T1為主軸溫度，T6為軸套溫度。

2.1.3 熱誤差值的測(cè)量

由于機(jī)床熱變形引起的工件的加工誤差，最終體現(xiàn)在刀尖的位移上，該位移誤差是隨著溫度變化的。本實(shí)驗(yàn)擬采用激光干涉儀對(duì)其加工過(guò)程中X、Y、Z三軸的熱誤差分別進(jìn)行實(shí)時(shí)在線測(cè)量。

表2 溫度傳感器測(cè)量數(shù)據(jù) ℃

由于此數(shù)控機(jī)床在Z軸方向的進(jìn)給量不大，而其絲杠的精度相對(duì)較高，經(jīng)過(guò)實(shí)際的測(cè)量后發(fā)現(xiàn)在Z軸軸向產(chǎn)生的熱誤差變化范圍很小（－4μm～＋6μm），所以在Z軸方向上產(chǎn)生的熱誤差值暫且忽略不計(jì)。為了完整地表現(xiàn)機(jī)床從冷機(jī)狀態(tài)基本達(dá)到熱平衡狀態(tài)的情況，選擇40組測(cè)量數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)間為200 min，測(cè)量間隔為5 min。X、Y軸方向的熱誤差測(cè)量值見(jiàn)表3。

表3 X、Y軸向熱誤差測(cè)量值 μm

2.1.4 建立熱誤差模型

整理實(shí)驗(yàn)測(cè)得的1、6關(guān)鍵測(cè)點(diǎn)溫度值以及X、Y方向的熱誤差，并運(yùn)用線性回歸分析理論即公式（5），可得到以下的補(bǔ)償公式：

2.2 數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償

建立的熱誤差補(bǔ)償系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

其具體實(shí)施步驟為：①在數(shù)控機(jī)床上測(cè)量1、6關(guān)鍵點(diǎn)的溫度數(shù)據(jù)，計(jì)算出數(shù)控機(jī)床的補(bǔ)償方程，然后將補(bǔ)償方程輸入到補(bǔ)償模塊中轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)；②利用系統(tǒng)的補(bǔ)償模塊實(shí)時(shí)地測(cè)量1、6關(guān)鍵點(diǎn)的溫度值，并將采集到的數(shù)值輸入到PLC中，利用其計(jì)算功能，將采集的溫度值代入到誤差補(bǔ)償方程中去，算出機(jī)床所需要實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)腦、Y軸方向上的補(bǔ)償值，最后將計(jì)算的實(shí)時(shí)補(bǔ)償值傳給機(jī)床的數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償；③利用機(jī)床數(shù)控系統(tǒng)本身自帶的控制功能，結(jié)合可編程控制器計(jì)算得出的誤差補(bǔ)償值，來(lái)控制數(shù)控機(jī)床的三軸運(yùn)動(dòng)，并改變機(jī)床的起始位置，達(dá)到實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)哪康摹１敬螌?shí)驗(yàn)和上次熱誤差測(cè)量時(shí)的實(shí)驗(yàn)條件完全相同。在數(shù)控機(jī)床上進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償后的誤差測(cè)量結(jié)果數(shù)據(jù)見(jiàn)表4。

圖2 熱誤差補(bǔ)償系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

表4 補(bǔ)償后X、Y軸向熱誤差測(cè)量值 μm

表4中的數(shù)據(jù)表明機(jī)床進(jìn)行誤差補(bǔ)償后的精度平均提高了60%左右，說(shuō)明補(bǔ)償效果非常好。

3 總結(jié)

運(yùn)用多元線性回歸理論建模，不但可以描述數(shù)控機(jī)床動(dòng)態(tài)的熱變形，進(jìn)行數(shù)控機(jī)床熱誤差的模型識(shí)別，而且還可以達(dá)到非常高的建模精度，可以反映實(shí)際運(yùn)動(dòng)誤差的情況。由于多元線性回歸理論包含了更多的數(shù)控機(jī)床的特征信息，對(duì)溫度傳感器布置的魯棒性非常好，提高了預(yù)測(cè)精度。

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