交流電的有效值到底如何求？

李俊成

(江蘇省南京市第九中學,江蘇 南京 210018)

1 問題提出

原題.如圖1所示的電路中,理想變壓器原、副線圈的匝數比n1∶n2＝22∶5,原線圈接的交流電,電阻R1＝R2＝25Ω,D為理想二極管,則

圖1

(A)電阻R1兩端的電壓為50V.

(C)原線圈的輸入功率為200W.

(D)通過副線圈的電流為3A.

本題是南通市2013屆高三第1次調研測試卷中的第8題,原題所給的參考答案是(A)、(B)、(D).我校在做該試卷的時候,發現對于答案(A)、(B)學生沒有疑問,但對答案(D)學生出現幾種不同的解法,得出了不同的答案,好像都有道理,爭論激烈,現列舉幾種解法如下.

2 解法列舉

圖2

解法1:通過分析可得通過電阻R1的交電流的有效值為2A,對于電阻R2由于二極管的單向導電性,其電流隨時間變化的圖像如圖2所示,結合有效值的定義,可得進一步計算得出通過電阻R2的電流的有效值為A,所以通過副線圈的電流的有效值為A.

解法2:通過電阻R1的電流隨時間變化的圖像如圖3所示,結合如圖2所示的通過電阻R2的電流隨時間變化的圖像,可知通過副線圈的電流隨時間變化的圖像應如圖4所示,設該電流的有效值為I,根據有效值的定義讓該電流通過某一電阻R,滿足求得通過副線圈的電流的有效值為

圖3

圖4

解法3:根據分析可知電阻R1的功率為100W,由于二極管的單向導電性,電阻R2功率為50W,所以副線圈輸出的功率P2＝150W,而副線圈兩端的電壓的有效值U2＝50V,根據P2＝U2I2可得通過副線圈的電流的有效值為I2＝3A.

3 問題探究

3種解法中只有解法3得出了通過副線圈的電流的有效值為3A,與參考答案吻合,其實解法3是在知道了答案之后才有學生想出來的,那么命題專家的命題意圖到底是什么呢？筆者特意打電話咨詢了該市的物理教研員,得知命題意圖與解法3的思路吻合,盡管得知了命題意圖,但筆者還是感覺解法3頗有疑問,帶著疑問,筆者又咨詢了幾位大學教電工學的教師,得到的答復是解法3符合能量守恒,肯定正確.那么,解法3從能量守恒這一自然界普遍適用的規律出發,真的無懈可擊嗎？其實只要假設把電阻R1去掉,根據解法3的思路可得通過副線圈的電流的有效值為1A,而根據解法1的計算可知通過電阻R2的電流的有效值為,出現了通過二極管前后電流有效值不同,這應該與實際不符,解法3的疑問確實存在.

那么去掉電阻R1后,通過副線圈的電流的有效值到底是多少呢？筆者查閱了電工學［1］相關內容,得知去掉電阻R1后的電路就是單相半波整流電路,若副線圈的電壓為則半波整流后的電壓、電流的平均值分別為通過副線圈的電流的有效值為I＝1.57I0,代入題中數據可得去掉電阻R1后副線圈的電流的有效值為1.413A,即為與解法1中求出的通過電阻R2的電流的有效值相同.即去掉電阻R1后通過二極管前后有效值相同,這與實際情況吻合,但去掉電阻R1后副線圈的功率為而電阻R2消耗的功率50W,貌似違背了能量守恒,這又是為什么呢？

筆者查閱了大學教材物理學［2］得知,原來變壓器副線圈兩端電壓有效值與流過的電流有效值的乘積嚴格講只能稱之為視在功率,用符號S表示,即S＝UI,其單位為伏安(VA),副線圈中電阻消耗的功率,稱之為有功功率,視在功率不表示交流電路實際消耗的功率,只表示電路可能提供的最大功率或電路可能消耗的最大有功功率.即有功功率在通常情況下要小于視在功率,只有負載為純電阻時視在功率和有功功率才相等.中學階段研究比較多的是純電阻,而本題只涉及二極管和電阻,貌似是純電阻電路,其實本題由于二極管的單向導電性,導致負載電路在流過正向電流和反向電流時電阻值不同,相當于非純電阻電路,從而導致去掉電阻R1后視在功率大于有功功率,合情合理,既然去掉R1后視在功率大于有功功率,那么原題視在功率也應該大于有功功率,由于這種情景并不常見,因此命題專家甚至幾位大學電工學教師,都簡單地以為“P2＝U2I2就是兩電阻消耗的總功率”從而確定解法3肯定正確.至此,可以確定解法3是錯誤的.

對于解法1,其關鍵是在交流電路中,將支路電流的有效值直接相加來計算干路總電流的有效值是否正確.為解決這個問題,我們不煩設兩支路中通過同頻率的交流電的瞬時值表達式分別為利用矢量圖的求解方法或三角函數直接相加均可得到干路總電流的瞬時值表達式為

從表達式可知干路總電流有效值為

當φ2＝φ1時,滿足I＝I1＋I2,即兩支路通過同頻率的交流電時,如果相位相同,干路總電流的有效值才等于支路電流的有效值直接相加.因此本題通過副線圈的交電流的有效值不等于通過兩電阻的交電流的有效值之和,明顯解法1也是錯誤的.那正確的只可能是解法2了,但好像又不能夠讓人信服.

那交流電的有效值是否有其他求法呢？筆者查閱普通物理學電磁學［3］得知,有效值又稱方均根值,即交流電的有效值等于電流瞬時值的平方在1個周期內平均值的平方根,表達式為把本題通過副線圈的電流的瞬時值(圖4所示)代入表達式得

結果和解法2根據有效值的定義求得的結果相同,因此解法2根據有效值的定義求得的結果是正確的,即副線圈的電流的有效值為此時副線圈的視在功率為而電阻R1、R2消耗的總功率150W,視在功率大于有功功率,也是合理的.可見原題選項(D)是錯誤的.

4 一點感悟

其實如果把問題變化為“求如圖4所示的交變電流的有效值？”,那么按照解法2來求解應該沒有爭議,原題只不過沒有直接給出電流隨時間變化的關系,就惹來很大的爭議,其關鍵是對有效值的定義“讓交流和恒定電流分別通過大小相同的電阻,如果在交流的1個周期內它們產生的熱量相等,而這個恒定電流是I,電壓是U,我們就把I、U叫做這個交流的有效值”的理解.筆者以為“通過大小相同的電阻”才是定義的關鍵詞,而且這個電阻應該是沒有具體數值,即求出的有效值的大小應該和這個電阻的具體數值無關,才是正確的.解法3只關注了定義中的“在交流的1個周期內它們產生的熱量相等”,而且對這個特定的電路(前半周期和后半周期負載電路電阻不同,如果通以直流電其阻值和電流方向有關)保證在1個周期內它們產生的熱量相等,明顯與定義不符,其實這才是命題專家認為解法3正確,從而得到原題選項(D)正確的真正原因.

討論到此,可以說本題貌似超出了高中物理學習的要求,涉及了大、中專教材中的相關內容,其實只要緊扣定義,弄清定義的關鍵詞,原題求出正確答案應該沒有問題(其實從學生的解答來看,按照解法2求解還是比較多的,在知道答案前基本沒有學生用解法3求解),只不過對學生來說如果進一步求出副線圈功率,發現大于電阻R1、R2的功率之和,好像違背了能量守恒,貌似不合理,存在疑問.但對于命題專家、中學教師,甚至部分大學教師在遇到這類不常見問題時,不能按照固有思維,只停留在問題表面(比如認為原題一定是純電阻,P2＝U2I2一定等于兩電阻消耗的總功率),而應該加強研究,弄清新問題的本質.同時作為中學教師不能夠只站在中學物理的高度去教學和命題,平時要加強學習研究,從更高的高度去審視中學物理內容,真正弄懂弄透每一個物理概念、物理定義,才能命制出符合中學考綱的、合理的好題,真正考查出學生的能力.

1 秦曾煌編.電功學——電子技術(第7版).北京:高等教育出版社,2009.

2 劉克哲,張承琚.物理學(第3版).北京:高等教育出版社,2005.

3 梁紹榮,劉昌平,盛正華.普通物理學——電磁學(第3版).北京:高等教育出版社,2005.

4 洪波,于正榮.如何理解理想變壓器的電流變比關系.中學物理教學參考,2010(5).