剛性壓頭I型觸壓應力強度因子計算

魏承巖，魏 嘉

（1. 沈陽東洋制鋼有限公司，遼寧 沈陽 110024； 2. 中國寰球工程公司遼寧分公司， 遼寧 撫順 113006）

接觸問題是彈性力學中的一類問題，接觸理論已經廣泛應用于生產生活中的各個領域。由于接觸問題的非線性，用經典的方法求解他的精確解是十分困難的，而用有限元法可以十分簡單的得到它的數值解[1]。當剛性壓頭壓在彈性體的表面上時，彈性體容易在接觸邊界上產生類似于I型裂紋的應力場，且彈性體裂紋的產生擴展主要取決于接觸邊界的奇異應力場。在接觸應力場中應力強度因子代表了應力場的強度，當應力強度因子達到材料的斷裂韌性時，裂紋開始擴展。由于接觸斷裂力學中假定彈性體的缺陷要比接觸的區域小的多，可以認為是無缺陷，因而失效的主要原因是由于接觸壓力引起的開裂。因此求得此處的應力強度因子是十分必要的。

1 壓痕問題的數學模型

1.1 壓痕拐角的應力場

對于絕對剛性的壓頭作用在彈性半平面上，彈性半平面變形后在壓頭接觸區是一條直線，如圖1所示，壓頭的尺寸為 2a，作用在法線上的集中力為 P，在不考慮壓頭與彈性半平面之間摩擦力的情況下，由彈性力學可以得到在壓頭拐角處的局部應力解為[2]：

其中 sx， sy， txy為應力分量，r為徑向坐標，為應力強度因子且有：

圖1 剛性壓頭壓入彈性半平面Fig.1 Rigid indenter press in elastic half plane

1.2 J積分

Rice在1968年提出了J積分[3,4]，緊接著提出了HRR理論，奠定了J積分在斷裂力學中的地位，如圖2所示J積分可以表示為：

根據斷裂力學，很容易證明：

在線彈性平面應變情況下，則有：

圖2 J-積分路徑Fig.2 J - integral path

2 有限元計算

2.1 裂紋尖端奇異性模擬

本文中剛性壓頭和彈性基底的問題是接觸問題中面面的剛柔接觸分析，對于二維的平面問題，剛體一般用線代替面。用pilot控制剛體的移動，在剛體的底面與半平面的上表面建立接觸單元。采用平面183單元，和169，172接觸單元，使用kscon劃分裂紋尖端網格[5,6]。

圖3 裂紋尖端接觸壓力分布圖Fig.3 The crack tip contact pressure distribution

彈性半平面的材料常數取：彈性模量 E=200 GPa，泊松比 μ=0.3。由公式 1可以看出在裂紋尖端應力表現為奇異性。圖3給出來在裂紋尖端接觸壓力分布圖，從圖中可以看出，在壓力接觸區應力的分布是不均勻的，在壓頭端點處急劇上升達到最大值，這進一步說明了在接觸端點處存在應力集中現象。

2.2 應力強度因子

如表1所示所示，在壓力分別為1 000 kN到5 000 kN作用下，分別用位移外推法和J-積分法求解的應力強度因子[7,8]。從表中可以看出，隨著載荷P的增大，在先彈性狀態下，應力強度因子線性增大。兩種方法的誤差很小，基本控制在2%以內。驗證了J-積分在線彈性斷裂力學中同應力強度因子的關系。

表1 不同壓力下的應力強度因子Table 1 The stress intensity factor of different pressureTable

2.3 不同材料下的壓痕深度

圖4給出以E=2E11為基準的不同材料下的壓痕深度。可以看出隨著彈性模量的逐漸減小，材料硬度變小，導致壓痕深度增加。

圖4 不同材料下的壓痕深度Fig.4 The indentation depth of different material

3 結 論

應用有限元方法解決實際問題時提出合理的簡化模型非常重要，并要根據實際情況定義合理的邊界條件，通過本文可以得到以下結論：

（1）在觸壓場端點處存在應力集中現象，可以使用斷裂力學中應力強度因子概念描述它。

（2）使用J-積分和位移外推法都可以求得應力強度因子大小，兩者誤差很小，但是使用J-積分僅僅局限于線彈性條件。

（3）不同的材料在相同的觸壓力下的壓痕深度不同，應力強度因子也不相同。

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