雙星系統(tǒng)軌道角動(dòng)量的約化表示及應(yīng)用

劉偉民，李媛，司夢(mèng)

(1.商丘師范學(xué)院物理與電氣信息學(xué)院，河南商丘476000;2.華北電力大學(xué)，北京102206)

軌道角動(dòng)量在天體物理中有著重要的應(yīng)用，對(duì)于雙星系統(tǒng)，軌道角動(dòng)量的變化可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)的軌道間距(一般用a表示)、軌道周期、雙星間的吸積過程以及系統(tǒng)質(zhì)量分布產(chǎn)生重要影響.因此，盡可能的簡(jiǎn)化軌道角動(dòng)量的表達(dá)式，會(huì)有利于加深認(rèn)識(shí)相關(guān)概念之間的聯(lián)系.下面，我們從一些參量的基本定義入手，嘗試對(duì)軌道角動(dòng)量的表達(dá)式進(jìn)行約化處理.

1 參量定義

雙星系統(tǒng)存在的主要依據(jù)，是兩個(gè)天體(比如恒星)在雙方的引力作用下，作相互繞動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng)(理論上，取雙星系統(tǒng)軌道偏心率e=0)，不難理解，系統(tǒng)的繞動(dòng)中心應(yīng)是雙星的質(zhì)量中心，即質(zhì)心.如下圖所示，為了討論問題的方便，把質(zhì)心定義在坐標(biāo)系原點(diǎn)O.天體1和天體2的質(zhì)量分別用M1和M2表示，其各自的繞動(dòng)半徑用r1和r2表示，顯然有a=r1+r2.定義系統(tǒng)的相互繞動(dòng)角速度用ω表示.因?yàn)橐ψ饔玫奶攸c(diǎn)，很顯然，對(duì)于雙星系統(tǒng)中每一個(gè)獨(dú)立的天體，其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度也為ω.兩天體的軌道角動(dòng)量分別用J1和J2表示，用J表示系統(tǒng)總的軌道角動(dòng)量.

2 推導(dǎo)過程

根據(jù)力學(xué)知識(shí)［1］，雙星系統(tǒng)的軌道角動(dòng)量表達(dá)式應(yīng)為

顯然，上式即為軌道角動(dòng)量表達(dá)式，如果不加詳細(xì)的分析，對(duì)于這樣一個(gè)表達(dá)式，我們不可能給出更為直觀的參量聯(lián)系.下邊接著推導(dǎo)，首先根據(jù)質(zhì)心的定義，有如下關(guān)系式:r1M1=r2M2，代入上式，并分別在分子分母中乘上(M1+M2)，則有

圖1 雙星系統(tǒng)軌道參量示意圖

注意，在雙星系統(tǒng)中，兩天體除了受到相互作用的引力之外，暫不考慮其他天體對(duì)其形成的引力作用(相對(duì)雙星間的引力而言很小，因此忽略掉)，于是引入約化質(zhì)量，而上式即變換為

3 討論

對(duì)比(1)式和(3)式，不難發(fā)現(xiàn)，(3)式更為簡(jiǎn)潔也更加有利于理解雙星系統(tǒng)間參量之間的聯(lián)系.

3.1 無(wú)質(zhì)量交換系統(tǒng)

對(duì)于此類系統(tǒng)的某一瞬間研究狀態(tài)，意味著雙星間沒有質(zhì)量交換(或者質(zhì)量交換還沒開始)，根據(jù)約化質(zhì)量表達(dá)式，很顯然，μ值是一個(gè)常量，這就意味著，對(duì)于一個(gè)還沒有進(jìn)行質(zhì)量交換的雙星系統(tǒng)，系統(tǒng)的軌道角動(dòng)量在研究的瞬間狀態(tài)下，為一個(gè)定值，當(dāng)然，此時(shí)系統(tǒng)的軌道間距和相互繞動(dòng)角速度也都是定值.因此，對(duì)于系統(tǒng)的軌道角動(dòng)量，換種方式，可以理解為把其中的任何一個(gè)天體固定下來(lái)，另外一個(gè)天體以半徑為a、繞動(dòng)角速度為ω圍繞著固定天體進(jìn)行圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量，兩個(gè)天體中的任何一個(gè)作為固定天體都具有相同的等價(jià)效應(yīng).

下面舉例驗(yàn)證，根據(jù)上圖，假設(shè)天體1和天體2的質(zhì)量分別設(shè)為3m和2m，根據(jù)質(zhì)心定理，兩天體距離質(zhì)心的距離分別設(shè)為2r和3r，軌道角速度設(shè)為ω，則天體1的軌道角動(dòng)量為J1=12r2mω，天體2的軌道角動(dòng)量為J2=18r2mω.利用上邊推導(dǎo)出來(lái)的簡(jiǎn)化表達(dá)式(3)，首先約化質(zhì)量，系統(tǒng)軌道間距a=5r，則 J=25r2×1.2mω =30r2mω

顯然，把約化質(zhì)量引入表達(dá)式，更為簡(jiǎn)單和更易計(jì)算.

3.2 質(zhì)量守恒交換系統(tǒng)

所謂質(zhì)量守恒交換系統(tǒng)，就是雙星的系統(tǒng)間有質(zhì)量交換，且沒有質(zhì)量損失，也即一個(gè)天體損失的質(zhì)量完全轉(zhuǎn)移到另外一個(gè)天體(天體物理學(xué)中稱為吸積過程).并且假定，雙星質(zhì)量交換期間，其總的軌道角動(dòng)量守恒.在這樣的前提下，問題的關(guān)鍵是質(zhì)量轉(zhuǎn)移前后，系統(tǒng)的軌道間距以及軌道周期的變化情況.為了考慮問題的方便性，采用例證的方法來(lái)推導(dǎo)其變化規(guī)律.根據(jù)天體物理學(xué)理論［2］，天體的質(zhì)量轉(zhuǎn)移方向與兩個(gè)天體質(zhì)量大小沒有必然關(guān)系，質(zhì)量轉(zhuǎn)移并非一定是從小質(zhì)量天體轉(zhuǎn)移到大質(zhì)量天體，而是由其演化特征來(lái)確定.首先來(lái)考慮當(dāng)物質(zhì)由大質(zhì)量天體轉(zhuǎn)移到小質(zhì)量天體時(shí)的情形.仍然采用圖1當(dāng)中的示意，設(shè)兩個(gè)天體的現(xiàn)有質(zhì)量分別為m1=8M和m2=2M，根據(jù)質(zhì)心定理，設(shè)其軌道半徑分別為r1=2r和r2=8r，經(jīng)過一段時(shí)間的演化之后，天體2通過吸積過程從天體1得到2m的物質(zhì)，則此時(shí)兩天體質(zhì)量分別為6m和4m，其軌道半徑分別設(shè)為2nr和3nr，n是一個(gè)比例系數(shù).由以上條件，利用開普勒第三運(yùn)動(dòng)定律

對(duì)該雙星系統(tǒng)，質(zhì)量轉(zhuǎn)移前后，有以下表達(dá)式:

其中，P1和P2分別為質(zhì)量轉(zhuǎn)移前后雙星系統(tǒng)的軌道周期(period).再利用上述的(3)式，質(zhì)量變化前后，系統(tǒng)的軌道角動(dòng)量守恒，則有

簡(jiǎn)單化簡(jiǎn)即為

3.3 質(zhì)量不守恒交換系統(tǒng)

質(zhì)量不守恒系統(tǒng)，即系統(tǒng)間進(jìn)行質(zhì)量轉(zhuǎn)移的時(shí)候，一個(gè)天體損失的質(zhì)量并沒有完全被另外一個(gè)天體捕獲，而是有一部分進(jìn)入星際空間.顯然，這種情形下想要簡(jiǎn)單的得出結(jié)論難度很大.但是其中一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是，損失質(zhì)量天體(假定為天體2)盡管有一部分質(zhì)量沒有轉(zhuǎn)移到吸積天體(假定為天體1)中，雙星系統(tǒng)所損失掉的物質(zhì)會(huì)帶走天體2的比軌道角動(dòng)量.一些學(xué)者的研究發(fā)現(xiàn)［3］，兩天體質(zhì)量轉(zhuǎn)移過程中損失的質(zhì)量有可能沒有離開雙星系統(tǒng)，而是形成一個(gè)環(huán)繞雙星的盤狀結(jié)構(gòu).作者近期的研究也對(duì)不守恒雙星系統(tǒng)中軌道角動(dòng)量的變化情況進(jìn)行了闡述［4］，包含了磁滯動(dòng)原理，角動(dòng)量損失螺旋槳效應(yīng)等復(fù)雜過程.Rappaport等研究發(fā)現(xiàn)，如果設(shè)質(zhì)量傳輸過程中損失掉的物質(zhì)質(zhì)量百分比為δ，天體2的質(zhì)量損失率為M2，兩天體的質(zhì)量比定義為q=M2/M1，則雙星系統(tǒng)軌道周期的變化可以由下式描述［5，6］

其中 6P表示系統(tǒng)軌道周期的變化率.對(duì)于該關(guān)系式，首先要注意，因?yàn)樘祗w2是在損失質(zhì)量，所以M2自身是一個(gè)負(fù)值.一般來(lái)說，δ是一個(gè)較小的數(shù)值(＜0.05)，為了驗(yàn)證問題的方便性，這里我們?nèi)ˇ?0.01.如果q＞1，不難驗(yàn)證(可隨機(jī)取值)，(8)式的右方小于零，也即＜0，表明當(dāng)物質(zhì)從大質(zhì)量天體轉(zhuǎn)移到小質(zhì)量天體時(shí)，系統(tǒng)的軌道周期趨于減小.利用(4)式，因?yàn)橄到y(tǒng)的總質(zhì)量已經(jīng)減小，所以軌道間距也趨于減小.同樣，如果q＜1，能夠推出＞0，表明大質(zhì)量天體吸積小質(zhì)量天體的物質(zhì)時(shí)，系統(tǒng)的軌道周期會(huì)增大，但是對(duì)于軌道間距，因?yàn)榫唧w的變化情況可能會(huì)由于不同參數(shù)的選取而略有不同，所以無(wú)法簡(jiǎn)單推斷其變化趨勢(shì).

4 結(jié)論

通過引入雙體問題中的約化質(zhì)量，對(duì)天體物理中雙星之間的軌道角動(dòng)量進(jìn)行了約化處理嘗試，并得到了相對(duì)簡(jiǎn)潔表達(dá)式.本文主要結(jié)論如下:

(1)本文考慮的雙星系統(tǒng)指的是在萬(wàn)有引力作用下作相互繞動(dòng)的雙星系統(tǒng)，而且從理論上講，軌道系統(tǒng)的偏心率e=0也即雙星作圓周運(yùn)動(dòng).

(2)對(duì)于無(wú)質(zhì)量交換雙星系統(tǒng)，其總的軌道角動(dòng)量表達(dá)式可簡(jiǎn)寫為J=μa2ω.其中μ是雙星系統(tǒng)的約化質(zhì)量，a是系統(tǒng)兩天體對(duì)應(yīng)軌道間距，ω是天體的自轉(zhuǎn)角速度.

(3)對(duì)于質(zhì)量守恒交換系統(tǒng)，系統(tǒng)的總質(zhì)量為一定值，當(dāng)大質(zhì)量天體往小質(zhì)量天體轉(zhuǎn)移物質(zhì)后，系統(tǒng)的軌道間距a和軌道周期P都會(huì)減小.反之，系統(tǒng)的軌道間距a和軌道周期P都會(huì)增大.

(4)對(duì)于質(zhì)量不守恒交換系統(tǒng)，其變化趨勢(shì)與質(zhì)量守恒系統(tǒng)相似，但具體變化過程會(huì)存在差別.

［1］漆安慎，杜嬋英.力學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，1997.

［2］李宗偉，肖興華.天體物理學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2000.

［3］van den Heuvel，E P J，＆ de Loore，C.The nature of X － ray binaries III.Evolution of massive close binaries with one collapsed component － with a possible application to Cygnus X －3［J］.A＆A，1973，25:387 －395.

［4］Liu Weimin，Chen Wencong.On the progenitors of millisecond pulsars by the recycling evolutionary channel.MNRAS，2011，416:2285－2290.

［5］Rappaport，S.，Verbunt，F(xiàn).，＆ Joss，P.C.A new technique for calculations of binary stellar evolution，with application to magnetic braking.ApJ，1983，275:713 －731.

［6］Chen Wencong，Li Xiangdong，Qian Shengbang.Orbital Evolution of Algol Binaries with a Circumbinary Disk［J］.ApJ，2006，649:973－978.