平穩地震動過程的隨機函數－譜表示模擬

劉章軍，方 興

譜表示方法這一概念最早可追溯到Rice［1］、Goto等［2］以及 Borgman［3］，他們應用諧波疊加法對一維隨機過程進行了模擬。然而，Shinozuka等［4－5］正式提出了用譜表示方法模擬隨機過程的一般原理，并用于模擬多維、多變量以及非平穩隨機過程。在隨后的40年中，諸多學者在這方面做了大量的研究工作，同時在工程領域也獲得了廣泛的應用。Shinozuka等［6］和Deodatis等［7］分別給出了單變量、一維隨機過程以及多維高斯隨機場的譜表示法的理論背景。Deodatis［8］模擬了各態歷經的多變量平穩隨機過程。Spanos等［9］對譜表示法所生成樣本函數的性質、計算效率以及通用性等方面進行了討論。總體而言，譜表示方法算法簡單，理論完善，模擬結果較為可靠，但其計算工作量較大，特別地，對于工程實際問題，往往需要高達數百上千個隨機變量才能保證所需的精度，從而極大地增加了問題的分析難度。為了有效地減少譜表示方法中隨機變量的數量，陳建兵等［10］提出了隨機過程的隨機諧和函數表達方式，采用少量的項數(10個隨機諧和分量)，即可獲得精確的目標功率譜密度函數，陳建兵等［11］進一步對譜表示方法的頻率選點進行了優化。

本文在平穩隨機過程的譜表示基礎上，采用隨機函數的思想，將譜表達式中的標準正交隨機變量表示為基本隨機變量的正交函數形式，從而實現了用1～2個基本隨機變量即可描述原隨機過程的概率特性，而且可以直接由功率譜密度函數生成具有給定概率的非高斯平穩過程和高斯平穩過程的樣本函數。與文獻［10］和文獻［11］相比，本文方法所需隨機變量的數量更少(僅需1～2個基本隨機變量)，這將為復雜工程結構的隨機動力反應和動力可靠度的精細化分析提供重要基礎。

1 平穩隨機過程的譜表示

對于任意一個一維、單變量、零均值、雙邊功率譜密度函數為SX(ω)的實平穩隨機過程X(t)，存在兩個相互正交的實過程u(ω)和v(ω)，它們的增量d u(ω)和 d v(ω)相互正交，使下式成立［6］:

過程u(ω)和 v(ω)的增量 d u(ω)與 d v(ω)滿足如下的條件:

對式(1)進行離散，可得:

式中ωk=kΔω，且Δω要足夠小，使得式(6)可以替代式(1)。

若增量 Δu(ωk)和 Δv(ωk)定義為［6］:

其中{Xk，Yk}為一組標準的正交隨機變量，即:

式中δij為Kronecker-delta符號。容易證明，式(7)～式(9)所定義的增量Δu(ωk)和Δv(ωk)能滿足式(2)～式(5)的條件。

于是，將式(7)和式(8)代入式(6)中，并取有限項作為對原隨機過程的近似表達，則實平穩隨機過程模擬的第一類譜表示［6］:

當隨機過程的功率譜密度函數SX(ω0)=SX(0)=0時，可將式(10)改寫為:

若進一步假定{Xk，Yk}(k=1，2，…，N)為相互獨立的標準高斯隨機變量，則式(11)所表達的平穩隨機過程為高斯過程。

此時，平穩隨機過程的均方相對誤差:

式中截斷頻率ωu=NΔω。一般而言，εX(N)?1，對于地震動加速度過程，其值不宜超過0.05。

2 標準正交隨機變量的隨機函數表達

在上述實平穩隨機過程模擬的第一類譜表示(即式(11))中，{Xk，Yk}(k=1，2，…，N)為一組標準正交隨機變量，它們滿足條件式(9)。下面來構造標準正交隨機變量{Xk，Yk}的隨機函數形式。

首先，利用隨機函數的思想［12］，即假設任意的兩組標準正交隨機變量(n=1，2，…，N)分別是兩個相互獨立的基本隨機變量(隨機向量)Θ1和Θ2的函數，即分別是隨機函數 gj(Θ1)和 hj(Θ2)。于是，式(9)可改寫為:

其中:pΘ1(θ1)和 pΘ2(θ2)分別是 Θ1和 Θ2的概率密度函數。

2.1 非高斯隨機變量的隨機函數構造

容易驗證，下列4組隨機函數形式均能滿足式(13)～式(17):

下面，以第4類隨機函數的構造形式來加以證明。事實上，有:

2.2 高斯隨機變量的隨機函數構造

為了構造一組相互獨立的標準高斯隨機變量，首先，構造一組標準正交隨機變量 ξn(n=1，2，…，N)，若假定基本隨機變量Θ在區間［－π，π］或［0，2π］上服從均勻分布，則可構造如下常用的三角正交函數:ξn=fn(Θ)=sin(nΘ + α)，n=1，2，…，N (18)其中α為一確定性常數，通常可取α=0或α=π/4或α=π/2，此時 fn(x) =sin(nx)或 cas(nx)或cos(nx)。顯然，ξn(n=1，2，…，N)是一組標準的正交隨機變量。

在式(18)中，進一步推導可知，ξn(n=1，2，…，N)具有相同的概率分布函數［13］:

由此可見，ξn(n=1，2，…，N)是服從同一分布的標準正交隨機向量。

為了獲得一組具有高斯分布的標準正交隨機變量ηn(n=1，2，…，N)，可采用等概率的反變換方法［14］:

其中Φ－1為Φ的反函數。將式(18)、式(19)代入式(21)中，得到

于是，即可獲得一組具有高斯分布的標準正交隨機變量ηn(n=1，2，…，N)。根據隨機變量的正交性(零均值情況)與獨立性等價可知，ηn(n=1，2，…，N)為一組相互獨立的標準高斯隨機變量。

為此，以上述第1組和第2組的隨機函數形式，即可構造相應的兩組相互獨立的標準高斯隨機變量:

最后，按Matlab程序自帶的rand('state'，0)，randperm(N)將。從而，所需的相互獨立的標準高斯隨機變量{Xk，Yk}(k=1，2，…，N)就能被唯一地確定。

3 平穩地震動過程的實例分析

3.1 地震動過程的基本信息

考慮平穩地震動加速度過程，其功率譜密度函數采用胡聿賢模型(單邊譜)［15］:

式中:ωg和ζg分別為場地土的卓越圓頻率和阻尼比，ωc為低頻截止頻率，其參數取值如表1所示。S0為基巖地震動加速度白噪聲功率譜密度，它反映地震動的強弱程度，也簡稱為譜強度因子。

表1 功率譜模型的參數取值［16］Tab.1 The values of parameters in the power spectrum model

根據隨機振動理論，譜強度因子S0可按下式計算:

對于不同的場地類別，參數a—max、f、ωe及S0的取值如表2所示。

表2 不同場地的譜強度因子取值Tab.2 Values of the spectral intensity factor for different site types

表2中地面加速度最大值的均值a—max是采用我國《建筑抗震設計規范》(GB 50011－2010)中給出的時程分析法所用地震加速度時程曲線的最大值。

3.2 分析與驗證

為檢驗第一類譜表示－隨機函數方法的有效性，以上述平穩地震動加速度過程為例，其中地震動參數的取值 ωg=15.71 rad/s，ζg=0.72，ωc=2.108 rad/s，S0=107 cm2/s3。在平穩地震動過程模擬的譜表示中，其參數取值 ωu=35 Hz=219.911 5 rad/s，Δω =0.122 17 rad/s，N=1 800，εX(N)=4.618%。為了獲得地震動加速度過程的樣本時程曲線，首先需要將基本隨機變量離散化，表3給出了1個和2個基本隨機變量的離散公式及離散點數s。然后根據標準正交隨機變量的隨機函數形式(這里以第1組隨機函數和第2組隨機函數為例)，獲得標準正交隨機變量的離散點集及相應的賦得概率。最后，將標準正交隨機變量的離散點代入平穩地震動過程的譜表達式(11)中，即可生成樣本時程曲線。在地震動加速度過程的樣本生成中，時間間隔Δt=0.01 s滿足 Δt≤π/ωu的條件，圖 1 給出了典型的平穩地震動加速度過程的樣本時程曲線。

表3 基本隨機變量的離散點集Tab.3 The discrete point set of basic random variables

圖2和圖3分別給出了以第1組和第2組隨機函數表達的非高斯平穩過程的二階數值統計量，其中圖(a)為樣本總體均值與目標均值函數的比較，圖(b)為樣本總體功率譜密度與目標功率譜密度函數的比較，從總體上看，它們之間的符合程度比較好。

圖4和圖5分別給出了以第1組和第2組隨機函數表達的高斯平穩過程的二階數值統計量，其中圖(a)為樣本總體均值與目標均值函數的比較，圖(b)為樣本總體功率譜密度與目標功率譜密度函數的比較。與圖2和圖3相比，高斯平穩過程的二階數值統計量與目標統計量的符合程度要比非高斯平穩過程的符合程度略差一點，這可能是隨機變量的高斯化變換過程中的高度非線性所致。

圖1 平穩地震動加速度過程的樣本時程曲線Fig.1 Sample functions of stationary ground motion acceleration processes

圖2 以第1組隨機函數表達的非高斯平穩過程(1個基本隨機變量，1006個離散點)Fig.2 Expressed non-Gaussian stationary process using random functions in the first group(a basic random variable，1 006 discrete points)

圖3 以第2組隨機函數表達的非高斯平穩過程(2個基本隨機變量，987個離散點)Fig.3 Expressed non-Gaussian stationary process using random functions in the second group(two basic random variable，987 discrete points)

圖4 以第1組隨機函數表達的高斯平穩過程(1個基本隨機變量，1 006個離散點)Fig.4 ExpressedGaussian stationary process using random functions in the first group(a basic random variable，1 006 discrete points)

圖5 以第2組隨機函數表達的高斯平穩過程(2個基本隨機變量，987個離散點)Fig.5 Expressed Gaussian stationary process using random functions in the second group(two basic random variable，987 discrete points)

4 結論

工程隨機過程的合理描述與建模，是結構隨機動力學分析的重要基礎。經典的譜表示方法往往需要高達數百上千個隨機變量才能保證所需的精度，從而極大地增加了分析的難度和計算工作量。本文提出的隨機函數－譜表示方法，將譜表達式中的標準正交隨機變量表示為1～2個基本隨機變量的正交函數形式，從而實現了用基本隨機變量描述原隨機過程的概率特性。研究表明，用隨機三角函數表達標準正交隨機變量，不僅能構造正交的非高斯隨機變量，也能構造相互獨立的高斯隨機變量，從而可方便地由功率譜密度函數生成具有給定概率的非高斯平穩過程和高斯平穩過程的樣本函數。最后，以平穩地震動加速度過程的功率譜密度函數為例，驗證了本文方法的有效性和優越性。

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