一類廣義的Hilbert型奇異積分算子

陳廣生，丁宣浩

（1．廣西現代職業技術學院 建筑與信息工程系，廣西 河池 547000；2.重慶工商大學 數學與統計學院,重慶400067）

一類廣義的Hilbert型奇異積分算子

陳廣生1，丁宣浩2

（1．廣西現代職業技術學院 建筑與信息工程系，廣西 河池 547000；2.重慶工商大學 數學與統計學院,重慶400067）

在區間（0，b）上,建立了一類廣義的帶參數的Hi l ber t型奇異積分算子T，研究了它的有界性和范數問題。作為應用，還考慮其涉及內積的等價形式。

Hi l ber t型奇異積分算子；Hi l ber t型不等式；算子范數；內積；H l de r不等式

1 引言

式（1）和（2）的常數因子都是最佳值。當λ=0時，式（1）變為著名的Hardy-Hilbert積分不等式[2]。它在分析學中有重要的應用[3]．近年來，Hilbert算子及相關不等式的研究已取得許多有價值的成果[4-12]。

本文的目的是在區間(0,b)上，引入一個廣義的Hilbert型奇異積分算子T，并討論其范數問題．作為應用，給出其等價式及一些相關不等式．

2 主要結果

引入兩個獨立參數λ，μ,建立如下的積分線性算子T：

對于給定的可測函數ω(x)≥0及P＞1，定義下面的函數集：

則有

證 作變換u=y/x，則有

證：作變換u=x/y，根據A2P+A1P=2+λ-μ，則有

（2）當A2P+A1q=2+λ-μ時，算子T具有范數

由引理1得

因此式（9）成立.

下面證明式（10）成立.

于是有

故有

再由引理2得

眾所周知,孕產期的準媽媽們情緒變化較大,較之以往則會更加敏感多思,且由于對分娩方面知識缺乏足夠的認識,加上臨床護理中的護理工作人員往往會忽視孕產婦的孕期健康教育,這就導致了孕婦在懷孕期間產生不良心理情緒的概率加大,并有可能做出一些對孕婦自身和胎兒的健康早產不良后果的舉動。這就使得孕婦的自然生產率降低,引發并發癥。針對這一情況,研究人員曾多次進行研究,得出的結論是,孕期健康教育有助于孕婦對生產的正確認識,調節孕婦的不良情緒,擺正孕婦的心態,加大孕婦順利生產的成功率。因此,本文就孕期健康教育在婦產護理中的臨床意義及價值評價進行研究。

3 一些應用

設f(x)，g(x)為(0,b)上的非負可測函數，定義f與g的內積為：

當A2P+A1q=2+λ-μ時，有

因此式（11）成立.

由式（11）可導出式（9），故式（11）與（9）等價.當A2p+A1p=2+λ-μ時，（12）與（10）等價.由此可知（12）成立，且常數因子為最佳的.

證 在定理1和推論1中，取A1=A2=A，便可得到（13）和（14）.

[1]楊必成.一個Hilbert型積分不等式[J].浙江大學學報：理學版,2007,34(2):121-124.

[2]Hardy G H.Littlewood JE．Polya G．Inequalities[M]．Cambridge：Cambridge Urav．Press．1952．

[3]Mitrinovic D S，Pecaric J E，Fink A M．Inequalities involving functions and their integrals and derivatives[M]．Boston：Kluwer Academic Publishers，l991．

[4]Xie Z T，Zeng Z．A Hilbert-type integral inequality whose kernel is a homogeneous form of degree—3[J]．Math AnalAppl，2008 (339)：324-331．

[5]楊必成．關于一個推廣的具有最佳常數因子的Hilbert類不等式及其應用[J]．數學研究與評論，2005，25(2)：341-346.

[6]洪勇．一個新的Hilbert重積分不等式[J]．西南師范大學學報：自然科學版，2005，30(4)：594-599．

[7]Yang Bicheng．On the Norm of an Integral Operator and Application[J]．JMath Anal Appl，2006，321(1)：182-192．

[8]洪勇．關于Hardy-Hilbert積分不等式的全方位推廣[J]．數學學報，2001，44(4)：619-626．

[9]洪勇.一個Hilbert型奇異積分算子的范數及應用 [J].浙江大學學報：理學版，2011，38（1）：27-30.

[10]匡繼昌．常用不等式[M]．濟南：山東科學技術出版社，2004.

[11]陳廣生,丁宣浩.一個多參數的逆向Hilbert型不等式.西南師范大學學報.2010,35(5)：32-39.

[12]陳廣生,丁宣浩.一個新的Hilbert型積分不等式[J].重慶師范大學學報，2011，28（1）：37-39.

[責任編輯：桂傳友]

A General Hilbert's Type Singular Integral Operator

Chen Guangsheng1，Ding Xuanhao2
(1.Departmentof Architecture and Information Engineering,GuangxiModern Vocational Technology College,Hechi,Guangxi, 547000;2.College ofMathematics and Statistics,Chongqing Technology and Business University,Chong Qing,400067)

with establishment of a Hilbert type singular multiple integal operator with parameters in（0，b），the paper conducts study of the boundedness and norm of T,and discusses,as their applications，the equivalent formswith inner product．

Hilbert’s Type Singular Integral Operator；Hilbert’s Type Inequality；Norm of Operator;Inner Product；H lder’s Inequality

O178

A

1674-1104(2013)06-0033-04

2013-05-01

國家自然科學基金資助項目（11271388）；廣西教育廳科研項目(201204LX672)。

陳廣生（1979－），男，廣西北流人，廣西現代職業技術學院建筑與信息工程系副教授，碩士，主要從事解析不等式、小波分析和熱輻射研究。