關于正定矩陣的兩個定理

盧占化,曹林芬（河南師范大學數學與信息科學學院,河南新鄉453007）

關于正定矩陣的兩個定理

盧占化,曹林芬
（河南師范大學數學與信息科學學院,河南新鄉453007）

引入矩陣反順序主子式及相關順序主子式的新概念,并運用反順序主子式和相關順序主子式刻畫了實對稱矩陣的正定性,為研究實矩陣提供了新的思路.同時,給出具體的例子說明了這類矩陣的存在性.

順序主子式；實對稱矩陣；反順序主子式；相關順序主子式

實對稱矩陣正定性問題是高等代數的重點內容之一[1-3].矩陣的正定性與矩陣的特征值與實二次型、順序主子式都有密切聯系[1,4-5],并且這部分內容對于幾何學中相關問題的研究也有極大幫助.眾所周知,一實對稱矩陣正定的充分必要條件是它的各級順序主子式大于零[1].這個結論揭示了矩陣正定性與順序主子式之間的聯系.矩陣正定性是實對稱矩陣的重要內容之一.本文引入矩陣的反順序主子式及相關順序主子式的概念,利用分塊陣的初等變換以及歸納方法證明了實對稱矩陣A正定的充分必要條件是A的各級反順序主子式大于零；實對稱矩陣A正定充分必要條件是A的各級相關順序主子式大于零.對進一步研究矩陣,研究二次型及二次型的應用有重要參考意義[6].

1 反順序主子式

定義1設A為n級方陣

一般地,n級方陣A的反順序主子式恰為n個.

定理1若A為n級實對稱矩陣,則A為正定矩陣的充分且必要的條件為A的各反順序主子式大于零.

證明：必要性仿照文獻[1]易得.

充分性

設A為n級實對稱矩陣且滿足題中條件

用歸納法證明A為正定矩陣.

首先n=1結論顯然成立.假定結論對于n-1級同類矩陣成立,下面分析滿足題上條件的n級矩陣A.記

其中A1為n-1級矩陣并且滿足題上條件.運用分塊陣的初等變換可得

顯然B與C合同.

由行列式理論知C＞0,記a-αA-1α′=a,此時a＞0,根據歸納假設正定,因而存在可逆陣G,G′AG =E.

由易知D正定.但是B與D合同,故B為正定陣.

2 相關順序主子式

定義2設A為n級方陣,如果n為奇數,下列行列式

稱為元的相關順序主子式.當n=2m為偶數時,位于m,m+1行,m,m+1列；m-1,m,m+1行,m-1,m,m+1列；…,…；1,2,…,m+1行1,2,…,m+1列；…,…；1,2,…,n行,1,2,…,n列交叉位置上的元按原來的順序構成的這些行列式稱為的相關順序主子式.

定義3矩陣A施行一次初等行變換,再施行一次同類型的初等列變換,稱之為成對的初等變換.

定理2如果A為級n實對稱方陣,當為奇數時am+1,m+1＞0,am+1,m+1的相關順序主子式全大于零,則A為正定矩陣.如果n為偶數,的相關順序主子式全大于零,則A為正定矩陣.

證明利用成對的初等變換僅對n=2m+1的情況證之.設A滿足題上條件

B的各級順序主子式全大于零,B正定.但A與B合同,因而A正定.當A為偶數階實對稱矩陣時,類似可證A為正定矩陣.

定理證畢.

3 小結

本文結果揭示了反順序主子式大于零,相關順序主子式與正定矩陣之間的內在聯系.同時也體現出正定二次型中各變量的平行地位,比如以y軸為對稱軸拋物線中x與y是對稱的.

[1]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].3版.北京：高等教育出版社,2003.

[2]徐忠,陸全,張凱院,等.高等代數導教、導學、導考[M].西安：西北工業大學出版社,2004.

[3]盧占化.初等變換的若干應用[J].高等數學研究,2006,9（6）：42-43.

[4]樊惲,鄭延履.線性代數學習指導[M].北京：科學出版社,2003.

[5]盧占化.秩1矩陣的分解[J].中國科學教育,2005（5）：22-23.

[6]盧占化.遷移在高等代數中的作用[J].高師理科學刊,2006,26（1）：83-85.

（責任編輯：盧奇）

On two theorem s of a positive definitematrix

Lu Zhanhua,Cao Linfen
（CollegeofMathematicsand Information Science,Henan NormalUniversity,Xinxiang453007,China）

Concepts of anti-order principal minor and related-order principal minor was defined.The positive definiteness of a real symmetricmatrix is characterized by using this two concepts,which provides a new way to study realmatrices.Meanwhile,the concrete examples to illustrate the existence of suchmatrix are presented.

symmetricmatrices；anti-order principalminor；related order principalminor；principalminor

G442

A

1008-7516（2013）02-0057-03

10.3969/j.issn.1008-7516.2013.02.014

2013-01-29

國家自然科學基金（11001076）；河南省教育廳項目（2011A110008）

盧占化（1955-）,男,河南洛陽人,碩士,副教授.主要從事代數學研究.

曹林芬（1975-）,女,河南林州人,博士,副教授.主要從事幾何與代數研究.