樣本容量對明渠垂線流速分布對數(shù)公式擬合的影響

陳興偉,林炳青,林木生

(1.福建師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院,福建福州 350007; 2.濕潤亞熱帶山地生態(tài)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地,福建福州 350007)

樣本容量對明渠垂線流速分布對數(shù)公式擬合的影響

陳興偉1,2,林炳青1,林木生1

(1.福建師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院,福建福州 350007; 2.濕潤亞熱帶山地生態(tài)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地,福建福州 350007)

針對明渠垂線流速分布測量樣本容量對對數(shù)公式擬合的影響問題,通過水槽試驗(yàn),應(yīng)用激光多普勒測速儀,在0.2倍水深內(nèi)布設(shè)110個(gè)點(diǎn)進(jìn)行垂線流速測量;按相對等距原則,從110個(gè)測量數(shù)據(jù)中共生成11組不同樣本容量的流速系列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。結(jié)果表明:試驗(yàn)測得的垂線流速分布符合對數(shù)公式;對數(shù)公式擬合所得的摩阻流速、積分常數(shù)及其統(tǒng)計(jì)變量相關(guān)系數(shù)和變差系數(shù)隨樣本容量大小的變化而變化,當(dāng)樣本容量逐漸變大時(shí),漸漸趨于穩(wěn)定,符合統(tǒng)計(jì)理論的大數(shù)定律;合理反映垂線流速分布變化的試驗(yàn),其測點(diǎn)需要一定的樣本容量;試驗(yàn)得到的垂線流速在間距分布比較均勻的條件下,0.2倍水深內(nèi)所需樣本容量為50左右。

明渠流;垂線流速;流速分布;對數(shù)公式;樣本容量

流速及其垂線分布是反映明渠水流運(yùn)動特性的基本指標(biāo)。從試驗(yàn)研究來講,早期應(yīng)用熱膜儀(hotfilm)開展了很多測量、分析[1-2];20世紀(jì)80年代開始,激光多普勒測速儀逐漸得到普遍應(yīng)用[3],筆者[4]應(yīng)用激光多普勒測速儀對光滑和粗糙床面明渠的垂線流速分布進(jìn)行了測量。另一方面,基于理論和試驗(yàn)研究,得到了不同形式的垂線流速分布公式,歸納起來主要有指數(shù)形式、對數(shù)形式以及拋物線等其他形式,其中尤以對數(shù)公式應(yīng)用最為普遍。20世紀(jì)20年代,Prandtl[5]根據(jù)自己的動量傳遞理論,提出了均勻流的對數(shù)流速分布形式;1938年, Kedegan[6]將平板邊界層的研究成果應(yīng)用到明渠流,指出明渠流動中斷面流速呈對數(shù)規(guī)律分布;Nezu 等[3,7-9]利用二維激光多普勒測速儀研究了光滑壁面水槽均勻紊流,認(rèn)為光滑壁面的明渠流動存在著黏性底層,在黏性底層內(nèi)的流速呈線性分布,過渡區(qū)之外的流速分布遵循對數(shù)公式或尾流律,并根據(jù)實(shí)驗(yàn)給出了公式的相應(yīng)參數(shù)。

流速分布對數(shù)公式的這些研究成果得到了廣泛應(yīng)用,如很多后來的水槽試驗(yàn),通常先進(jìn)行驗(yàn)證性試驗(yàn),將結(jié)果與對數(shù)公式進(jìn)行比較[4,10];還有一個(gè)比較普遍的應(yīng)用是利用實(shí)測的流速分布,通過給定卡門常數(shù)值,可以根據(jù)對數(shù)公式反算摩阻流速[11]。這些工作都需要將流速測量數(shù)據(jù)進(jìn)行對數(shù)公式擬合。由于水槽設(shè)置、測量儀器等因素導(dǎo)致的測量誤差,試驗(yàn)數(shù)據(jù)一般都與所擬合的對數(shù)公式有一定偏離;即使是文獻(xiàn)[3]的經(jīng)典試驗(yàn),數(shù)據(jù)擬合相關(guān)系數(shù)達(dá)0.955以上,也意味著數(shù)據(jù)與公式有一定的離散。分析這些研究成果,發(fā)現(xiàn)在試驗(yàn)方法上都存在一個(gè)問題:試驗(yàn)中垂線流速測量點(diǎn)的分布與數(shù)量的設(shè)置比較隨意,數(shù)量通常較少,沒有考慮測量點(diǎn)的數(shù)量,即樣本容量對明渠垂線流速分布對數(shù)公式擬合的影響;近年關(guān)于粗糙床面的試驗(yàn)也存在同樣的問題[12]。本文通過水槽試驗(yàn),應(yīng)用激光多普勒測速儀對垂線流速分布進(jìn)行測量,定量分析測點(diǎn)樣本容量大小對明渠垂線流速分布對數(shù)公式擬合的影響。

1 試驗(yàn)裝置和測量方法

試驗(yàn)在一個(gè)長20.0 m、寬0.8 m、深0.6 m的水槽中進(jìn)行。水槽的可變坡底板為油漆過的鋼板,兩側(cè)壁為玻璃。試驗(yàn)段距水槽進(jìn)水口約12 m,以保證水流紊動充分發(fā)展。試驗(yàn)中,用精度為0.1mm的測針量測水面高程,流量由安裝在進(jìn)水管道上的電磁流量計(jì)測量。采用丹麥DanTec生產(chǎn)的二維激光多普勒測速儀測量水槽中垂線上的流速分布,激光多普勒測速儀安裝在高精度的三維坐標(biāo)架上,位移精度為6.25 μm。

水槽底坡設(shè)定為水平,在水槽中進(jìn)行了4組試驗(yàn)。前3組試驗(yàn)中的水深基本不變而調(diào)整流量,第4組變化水深。每次都待系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定后再進(jìn)行垂線流速測量,且垂線位于斷面的中心,以保證水流的二維結(jié)構(gòu)。本次試驗(yàn)只測量縱向流速,表1給出了4組試驗(yàn)的水力參數(shù)。

表1 試驗(yàn)水力參數(shù)

為滿足試驗(yàn)要求,對測點(diǎn)的垂線分布作如下考慮:一是通常認(rèn)為0.2倍水深內(nèi)符合對數(shù)公式,故在0.2倍水深內(nèi)測量;二是根據(jù)對數(shù)公式特點(diǎn),采用接近床面測點(diǎn)間距小、遠(yuǎn)離床面測點(diǎn)間距大的原則,在0.2倍水深內(nèi),對前3組試驗(yàn)按0.2 mm間距20個(gè)點(diǎn),然后0.3 mm、0.4 mm和0.5 mm間距各30個(gè)點(diǎn)的方式,共測110點(diǎn)流速數(shù)據(jù)以供分析。

2 試驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 數(shù)據(jù)分析方法

如前所述,光滑壁面的明渠流動存在著黏性底層,其內(nèi)流速呈線性分布。黏性底層之上的區(qū)域稱為過渡區(qū),目前過渡區(qū)內(nèi)尚無明確的流速分布表達(dá)公式。通常黏性底層和過渡區(qū)在明渠流中只占很小部分。在過渡區(qū)之外的流速分布遵循對數(shù)公式:

式中:y為距床面的距離;u為距床面y處的流速;u*為摩阻流速;κ為卡門常數(shù);ν為黏性系數(shù);A為積分常數(shù)。

式(1)中摩阻流速的確定可以有多種方法[13],卡門常數(shù)通常取0.4,積分常數(shù)可取為5.3。鑒于本文的研究目的,取卡門常數(shù)為0.4,而摩阻流速和積分常數(shù)通過對數(shù)公式的擬合確定。圖1所示為試驗(yàn)3垂線流速分布試驗(yàn)結(jié)果及其式(1)的擬合,相關(guān)系數(shù)達(dá)0.984,表明符合對數(shù)分布規(guī)律。4次試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過式(1)擬合的結(jié)果為

即積分常數(shù)A為4.9,與通常所接受的5.3相差無幾,表明該試驗(yàn)設(shè)施所得試驗(yàn)結(jié)果合理可信。

圖1 垂線流速分布試驗(yàn)結(jié)果與對數(shù)公式擬合的比較

2.2 樣本容量的影響

由統(tǒng)計(jì)理論的大數(shù)定律可知,樣本容量越大,得到的統(tǒng)計(jì)值越穩(wěn)定,但應(yīng)以多少為宜未見報(bào)道。圖1所示為單根垂線測量110個(gè)點(diǎn)的結(jié)果,測量工作量較大。將試驗(yàn)測得的每根垂線110個(gè)數(shù)據(jù),按照盡量等間距的取樣原則,生成分別含有10、20、30……100共10個(gè)新的數(shù)據(jù)系列,與原有110個(gè)數(shù)據(jù)一起,分別用對數(shù)公式(1)進(jìn)行擬合,從而分析樣本容量對擬合結(jié)果的影響。

如前所述,當(dāng)卡門常數(shù)取為0.4時(shí),將不同系列長度的每組數(shù)據(jù)通過式(1)進(jìn)行擬合,可以得到摩阻流速u*和積分常數(shù)A;同時(shí)相應(yīng)得到反映數(shù)據(jù)擬合結(jié)果好壞的統(tǒng)計(jì)參數(shù),如相關(guān)系數(shù)R2和變差系數(shù)Cv。這樣,就可以計(jì)算得到4組試驗(yàn)中每組11個(gè)系列所對應(yīng)的4個(gè)參數(shù)的變化,如圖2所示。由圖2 (c)可知,除試驗(yàn)4兩個(gè)系列相關(guān)系數(shù)為0.955左右外,其他都在0.960以上,甚至接近0.990,說明試驗(yàn)數(shù)據(jù)精度較高。

圖2 u*、A、R2和Cv隨樣本容量大小的變化

圖2表明,4個(gè)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)值隨樣本容量大小的變化而變化。比較而言,摩阻流速對樣本容量的依賴較小,樣本容量較小時(shí)也相對穩(wěn)定;而其他3個(gè)參數(shù)隨樣本容量大小的變化較大,樣本容量較小時(shí)波動較大。總體而言,樣本容量越小,統(tǒng)計(jì)值的波動越大;當(dāng)樣本容量逐漸變大時(shí),漸漸趨于穩(wěn)定,充分體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)理論的大數(shù)定律。圖2還表明,4個(gè)參數(shù)趨于穩(wěn)定的樣本容量閾值也有所不同。定性比較與定量分析表明,摩阻流速的閾值為40個(gè)測點(diǎn),積分常數(shù)為50,而相關(guān)系數(shù)和變差系數(shù)在60以上。因此可以認(rèn)為,比較穩(wěn)定、合理的垂線流速分布的試驗(yàn)研究,測量的垂線點(diǎn)位需要一定的樣本容量;對于本試驗(yàn)與測量系統(tǒng)而言,在間距比較均勻分布的條件下,0.2倍水深內(nèi)所需的樣本容量為50左右。

3 結(jié) 論

a.試驗(yàn)測得的垂線流速分布符合對數(shù)公式。

b.應(yīng)用對數(shù)公式擬合垂線流速分布測量數(shù)據(jù)所得的摩阻流速、積分常數(shù)及其統(tǒng)計(jì)變量相關(guān)系數(shù)和變差系數(shù),其結(jié)果隨樣本容量大小的變化而變化;當(dāng)樣本容量逐漸變大時(shí),漸漸趨于穩(wěn)定,符合統(tǒng)計(jì)理論的大數(shù)定律。

c.為了比較穩(wěn)定、合理地反映垂線流速分布的變化,垂線的測點(diǎn)需要一定的樣本容量;本文試驗(yàn)在間距比較均勻分布的條件下,0.2倍水深內(nèi)所需樣本容量為50左右,可以作為參考。

[1]BLINCO P H.Turbulent characteristics in free surface flows over smooth and rough boundary[J].Journal of Hydraulic Research,1971,9(1):43-69.

[2]MCQUIVER R S,RICHARDSON E V.Some turbulence measurements in open-channel flow[J].Journal of Hydraulic Division,ASCE,1969(HY1):209-223.

[3]NEZU I,RODI W.Open channel flow measurements with a laser Doppler anemometer[J].Hydraulic Engineering, ASCE,1986,112(5):335-355.

[4]CHEN Xingwei,CHIEW Y M.Response of velocity and turbulence to sudden change of bed roughness in openchannel flow[J].Journal of Hydraulic Engineering, ASCE,2003,129(1):35-43.

[5]PRANDTL L.流體力學(xué)概論[M].郭永懷,陸士嘉,譯.北京:科學(xué)出版社,1981.

[6]KEDEGAN G H.Laws of turbulent flow in open channels [J].Journal of Research of the National Bureau of Standard,1938,21:707-741.

[7]STEFFLER P M,Rajaratnam N,PETERSON A W.LDA measurements in open channel[J].Journal of Hydraulic Engineering,ASCE,1985,111(1):119-130.

[8]DONG Zhennan,DING Yuan.Turbulence characteristics in smooth bed open channel flows[J].Sciences in China: Series A,1990(2):244-256.

[9]蘇麗,賈國珍.明渠水流紊動特性的LDV試驗(yàn)研究[J].水電能源科學(xué),2011,29(3):95-96.(SU Li,JIA Guozhen.Experimental study on turbulence characteristics of water flow in open channels with LDV system[J]. Water Resources and Power,2011,29(3):95-96.(in Chinese))

[10]何建京,王惠民.粗糙床面明渠水力特性研究[J].水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào),2004(3):19-23.(HE Jianjing,WANG Huimin.Hydraulic characteristics of open channel flow over a rough bed[J].Hydro-Science and Engineering, 2004(3):19-23.(in Chinese))[11]劉春晶,李丹勛,王興奎.明渠均勻流的摩阻流速及流速分布[J].水利學(xué)報(bào),2005,36(8):950-955.(LIU Chunjing,LI Danxun,WANG Xingkui.Experimental study on friction velocity and velocity profile of open channel flow[J].Journal of Hydraulic Engineering,2005,36(8): 950-955.(in Chinese))

[12]WANG X Y,YANG Q Y,LU W Z,et al.Experimental study of ner-wall turbulent characteristics in an openchannel withgravelbedusinganacousticDoppler velocimeter[J].Experiments in Fluids,2012(52):85-94.

[13]NEZU I,NAKAGAWA H.Turbulence in open channel flows[M].Rotterdam,Netherlands:A.A.Balkema Publishers,1993.

Impact of sample size on the log-law fitting of vertical velocity distribution in open-channel flows

//CHEN Xingwei1,2,LIN Bingqing1,LIN Musheng1(1.College of Geographic Science,Fujian Normal University,Fuzhou350007,China;2.Cultivation Base of State Key Laboratory of Humid Subtropical Mountain Ecology,Fuzhou350007,China)

In order to investigate the impact of sample size for open channel vertical velocity distribution measurement on the log-law fitting,110 measuring points were arranged within a 0.2 times water depth in flume experiments.The vertical velocities were collected with a laser Doppler anemometer(LDA).Based on the relative equidistance principle,11 sets of velocity of different sample sizes generated from the 110 velocity measurements were used to conduct statistical analysis. The results show that the vertical velocity distributions agree well with the log-law formula.The fitted friction velocity, integral constant,statistical variables and variation coefficient obtained from log-law fitting vary with the size of the samples.With the sample size increase,these parameters tend to be stable which is consistent with the statistical law of large numbers.It can be concluded that a certain sample size is needed at its measuring point to accurately reveal the vertical velocity distribution.According to the present test,a sample size of about 50 is necessary for a reasonable fitting result within0.2 times water depth when the measurements are uniform distributed with same interval in the vertical direction.

open-channel flow;vertical velocity;velocity distribution;log-law formula;sample size

10.3880/j.issn.10067647.2013.05.008

TV133.1

A

10067647(2013)05003503

20121008 編輯:熊水斌)

國家自然科學(xué)基金(50979015)

陳興偉(1963—),男,福建福鼎人,教授,博士,主要從事流域水沙污染物過程及其模擬研究。E-mail:cxwchen215@163.com