微細長豎圓柱外側的自然對流換熱

(1內蒙古工業大學能動學院 呼和浩特 010051;2山東省科學院能源研究所 濟南 250014)

豎圓柱作為一種自然對流換熱問題的典型幾何形狀，其外側的自然對流換熱現象從50年代開始就受到國內外很多學者青睞。近幾十年，隨著大規模集成電路的迅速發展，微觀世界的深入探討，微細長圓柱外側的自然對流換熱再次成為了眾多學者的研究重點。如楊偉德等[1]對直徑分別為101mm、403mm和801mm的銅絲外表面的自然對流換熱系數的測量，證明隨銅絲外徑的減小，其自然對流換熱逐漸增強;Biswal等[2]對豎直放置的微通道內自然對流進行了數值模擬，分析了不同努森數(Knudsen)下壁面速度滑移和溫度跳躍對換熱的影響;管寧等[3]對水平放置在空氣中的微細金屬絲(外徑為39.9～350.1μm)的自然對流換熱進行了實驗研究和模擬計算，結果表明隨著微細金屬絲直徑的減小，表面自然對流換熱系數在增大，而Nu則先減小后增大，數值計算結果與理論計算值的差別也隨著直徑的減小而增大。雖然目前已有相當數量的實驗和理論研究，但有關微細長豎圓柱外自然對流換熱規律及其換熱準則方程式卻并未取得統一的認識。前人已經總結的具有較廣泛適用范圍的換熱準則方程式，隨著微細長豎圓柱直徑的微米化，以及長徑比的大幅度增高，準則方程的適應性再次受到質疑。

作者在研讀相關文獻的基礎上，總結了前人有關細長豎圓柱外自然對流換熱準則方程式及其適用范圍;并通過對直徑分別為39.9mm、65.6mm、119.1mm、246.5mm及350.1mm的微細紫銅絲在空氣中垂直放置時自然對流換熱系數的測量，對前人所總結的準則方程進行了驗證。結果發現所有自然對流換熱準則方程的計算值間存在一定的差別。同時文中將各個準則方程的計算值與實驗得到的平均對流換熱Nu數相比較，實驗值出現了開始低于計算值隨后又高于計算值的現象，并隨著微細豎圓柱直徑的減小、長徑比的增大，實驗值大于預測值程度將增大。

1 自然對流換熱的準則方程

長久以來，人們對豎圓柱外的自然對流換熱進行了廣泛的研究。Sparrow和Gregg[4]利用邊界層微分方程組求解了Pr=0.7及1，壁面溫度tw為常數時豎圓柱外側的層流自然對流換熱，得到了豎圓柱與豎平壁放熱系數之比ε:

式中:L和r0為豎圓柱的長度和半徑，ε＞1。可以看到，豎圓柱的放熱比豎平壁高，且隨著圓柱長度的增大和直徑的減小，這種差別將增大，其中直徑的作用要大于長度的作用。

Mueller[4]對細絲在空氣中的放熱進行了研究以后，得出的結論是豎放的細絲的自然對流換熱與其長度無關，且豎放的放熱要比橫放的放熱低一點，其提出的準則方程為:

Sparrow和Gregg經實驗提出的綜合準則方程為:

式(2)、(3)都否定了豎圓柱的長度對其外表面自然對流換熱的影響，在本質上完全忽視了邊界層隨高度的增長。

有些研究雖然考慮了長度對豎圓柱外自然對流換熱的影響，但同時或否定了圓柱直徑的影響，或認為長度與直徑的影響作用是相等的。任行祥[5]在總結前人的實驗和理論的結果基礎上，通過測量直徑為4.94mm～50mm的豎圓柱在空氣中的自然對流換熱規律，肯定了長度對豎圓柱外對流換熱的影響，提出了豎圓柱體在空氣中放熱的準則方程:

Nagenda[7]等實驗研究了豎圓柱在水中的自然對流換熱，推介的綜合準則方程為:

式(4)～(6)都考慮到了圓柱長度對其外表面換熱的影響，但形式各異，各套實驗數據間不能協調一致，且各自的使用范圍較窄。楊世銘[4]針對以上問題，根據對自然對流的N-S方程的分析，應用邊界層理論，得一新的獨立準則數，從而從理論上肯定了高度L對于豎圓柱的自然對流是有影響的。同時運用正確的準則整理了前人已得到的實驗數據，提出了具有較廣應用范圍的準則方程:

各個研究者的有關細長豎圓柱外自然對流換熱研究匯總在表1中。

表1 細長豎圓柱外自然對流換熱研究一覽表Tab.1 Investigations of heat transfer of natural convective

2 實驗裝置及實驗誤差

2.1 實驗裝置

如圖1所示，實驗中采用直流穩壓穩流電源對微細紫銅絲直接進行焦耳加熱，通過調節加熱電流的大小，使細絲表面具有不同的熱流密度。加熱的電流和電壓分別用精度為0.02%和0.01%的電流表和電壓表測量。環境溫度用固定于離細絲10cm的地方、精度為0.1℃二級水銀玻璃溫度計讀出。實驗段微細紫銅絲的長度采用精度為±0.5mm不銹鋼米尺測量;沿實驗段的軸向均勻的取10點，用精度為±1mm數顯千分尺測量細絲的外徑，計算十點的平均值作為實驗段的精確外徑。實驗段尺寸如表2所示。

圖1 實驗裝置簡圖Fig.1 Schematic of the test setting

實驗時，實驗段的紫銅絲將固定在兩根最大外徑為15mm的紫銅棒上，并將直徑為3mm的連接導線于紫銅棒的另一端，實現對細絲的固定和焦耳加熱。由于細絲表面帶有一層絕緣薄膜，所以細絲與紫銅棒焊接前需用細砂紙將其外表面的薄膜去掉。為了盡可能減小細絲與銅棒間的接觸熱阻，將打磨過的細絲端頭多次對折后，再將其放入銅棒接口與銅棒進行焊接。將細絲垂直放在空氣中，通以電流，待加熱穩定后記錄此時的電壓值和電流值。測量時保證室內無人活動，使細絲處于一平穩的換熱環境中。待測試完畢后，將細絲和銅棒一起放入恒溫水浴進行電阻標定。標定時，恒溫水浴的溫度由二級溫度計讀出;實驗段的電阻值由測量精度為±1μΩ的ZRC-V直阻儀讀出。每隔5℃取一組溫度和電阻值。確定實驗段電阻與溫度的關系后，結合前面測得的電壓和電流值就可精確的確定出實驗時細絲表面的平均溫度。

表2 實驗段幾何尺寸表Tab.2 Geometrical sizes of outside slender cylinde

2.2 實驗誤差

實驗誤差主要來源于各種測量系統地系統誤差和一些輕微的實驗誤差。雖然細銅絲與銅棒的焊接處較大的電阻值(主要針對較粗的銅絲)及連接導線的電阻值將使加熱功率偏小，但實際上實驗中所加電流最大不超過3A，三種誤差導致的最大加熱功率偏差不超過3%。恒溫水浴溫度波動范圍為±0.05℃，二級溫度計的精度為±0.1℃，因此水溫測量的實際誤差在±0.1℃;用于測量電阻值的ZRC-V直阻儀的精度是±1μΩ，而任意溫度下的電阻值由至少三點拉格朗日插值法得到，所以細絲平均表面溫度的精度可以達到±0.15℃。

由于實驗采用的是紫銅絲外包有一層極薄的絕緣層，會在銅絲的內外表面會產生一定量的溫度差，但由于絕緣層的導熱系數很大，根據傅里葉定律q=－λdt/dr計算出內外溫差極小，最大溫差不超過0.03℃，可以忽略不計;細絲加熱后要與周圍空氣熱交換使其近周溫度上升，這將使環境溫度的測量值偏小。但由于細絲的散熱量極小，經實驗驗證這種偏差最大不超過0.2℃，可忽略;細銅絲壁面溫升變化范圍較小(＜100K)，實驗中將細絲表面黑度取為定值0.26，由此引入的熱量誤差最大不超過0.3%。

由于以上實驗及系統誤差均很小，經誤差傳遞計算，是實驗中得到的Nu數誤差均小于5%。

3 數據處理

實驗中紫銅絲表面的平均自然對流換熱系數由式(1)計算:

式中:Q'為實驗紫銅絲表面的自然對流換熱量;A為實驗段紫銅絲的表面積:A=πdl，m2;d為紫銅絲的外表面直徑，m;l為實驗紫銅絲的長度，m;Tw為紫銅絲的平均表面溫度，℃;T∞為環境溫度，℃;λ為空氣的導熱系數，W/(m·K)。

銅絲表面的自然對流換熱量Q'由總熱量減去細絲的輻射換熱量的到，即:

式中:Q″是紫銅絲表面由于輻射而散失的熱量，由式(3)計算得到:

式中:σ為黑體輻射常數，其值為5.67W/(m2·K4);ε為紫銅絲表面黑度，由于實驗段沒有磨光，且實驗中期表面溫度不高于100℃，因此其黑度隨溫度的不同在0.22～0.3之間變化，這里取平均值為0.26[1]。

4 實驗結果及分析

將實驗值與上面的Mueller準則方程(2)、Nagenda準則方程(5)、(6)、ren準則方程(4)和yang準則方程(7)、(8)的計算值進行對比。以細銅絲表面平均溫度與空氣的平均溫度的差ΔT為橫坐標，Nu數為縱坐標，實驗Nu數與關聯式計算值對比如圖2～圖6所示。

圖2 直徑為350.1μm細絲外自然對流換熱的實驗值和計算值Fig.2 Comparison of Nusselt numbers between experimental results and values of classical correction equations in micro-wire with diameter 350.1μm

圖3 直徑為246.5μm細絲外自然對流換熱的實驗值和計算值Fig.3 Comparison of Nusselt numbers between experimental results and values of classical correction equations in micro-wire with diameter 246.5μm

圖4 直徑為119.1μm細絲外自然對流換熱的實驗值和計算值Fig.4 Comparison of Nusselt numbers between experimental results and values of classical correction equations in micro-wire with diameter 119.1μm

圖5 直徑為65.6μm細絲外自然對流換熱的實驗值和計算值Fig.5 Comparison of Nusselt numbers between experimental results and values of classical correction equations in micro-wire with diameter 65.6μm

圖6 直徑為39.9μm細絲外自然對流換熱的實驗值和計算值Fig.6 Comparison of Nusselt numbers between experimental results and values of classical correction equations in micro-wire with diameter 39.9μm

由圖2～圖6的(a)圖可以看到，隨著紫銅絲直徑的減小，Mueller準則方程、Nagenda準則方程和yang準則方程的計算值之間的差距越來越小。對于直徑為39.9μm的紫銅絲，三個計算值之間的差別小于5% ～10%;而對于直徑為350.1μm的紫銅絲，三個計算值之間的差別約為50%。作者認為出現這種現象的可能原因是:文中所討論的準則方程都是在實驗數據的基礎上歸納總結而得來，其在RaD很大或很小(如RaD＜1)的范圍內，準則方程式的計算值很大程度上都是估計值，具有相同的趨勢值，所以隨著紫銅絲直徑的減小，Ra值越來越小，所有準則方程的計算值之間的差距也越來越小。從圖中我們還可以看到，對于所有直徑的紫銅絲，yang準則方程的計算值與Nagenda準則方程的計算值之間的差別很小，平均誤差為5%，具體原因可見文獻[4]。

從圖2～圖6的(a)圖還可知，三個準則方程式的計算值都隨著溫差ΔT的增大而增大，但增大的幅度較小。而實驗值開始小于所有計算值，隨著細絲直徑的減小，實驗值開始大于所有計算值。如圖2(a)所示，直徑為350.1μm的紫銅絲表面的實驗值遠小于所有準則的計算值;當直徑減小到39.9μm(如圖6(a)所示)時，實驗值比所有準則方程的計算值平均高60%以上，最大達到78%。究其原因，作者認為可能是隨著紫銅絲直徑的減小，其表面的換熱方式將發生變化，表面的尺寸效應也將進一步增強。如直徑為350.1μm的紫銅絲，其表面的邊界層厚度與尺寸比值明顯增大，這時細絲表面的換熱方式是自然對流與導熱聯合作用[7]，而所有準則方程是以純自然對流換熱來計算的，所以圖上顯示實驗值要小于計算值;隨著直徑的減小，可能是在自然對流換熱中，邊界層的厚度對換熱系數的影響很大，微小尺寸下壁面處的邊界層變的極薄，導致外表面自然對流換熱系數的極大增加[3]，實驗值開始大于所有計算值。

由圖2～圖6中的(b)圖可以看到，ren準則方程的計算值與實驗值之間的差距隨著細絲直徑的減小而增大，對于直徑為39.9μm的紫銅絲，兩者間的差距達到了50%以上。且ren準則方程的計算值，除直徑為39.9μm的紫銅絲外，均比實驗值要大。作者認為這是由于實驗中使用的紫銅絲的長徑比很大，而得出ren準則方程的實驗數據其長徑比僅為7.86～101.2，ren準則方程中直接強化了長徑比的作用，導致計算值大于實驗值。也就說ren準則方程中認為細長圓柱的長度和直徑對換熱強度的影響作用是同等的，而實驗中顯示細長豎圓柱的直徑對換熱的強度的影響要更大。

從圖2～圖6還可以看到，實驗所得的平均Nu數開始隨著溫差ΔT的增大而增大，隨著紫銅絲直徑的減小，如直徑為119.1μm、65.6μm及39.9μm尺寸的紫銅絲，實驗值隨著溫差ΔT的增大而減小。究其原因，作者認為隨著細絲直徑的減小，細絲表面的自然對流換熱加強，當直徑小到一定的程度時，由于邊緣效應作用，附面層極薄，導致對流換熱極度的加強[3]，出現不同于常規的換熱現象，具體原因還有待于進一步的研究。

5 結論

1)實驗Nu數與所有準則方程的計算值均存在差距，最大偏差達到60%以上，現有的準則方程不能準確的預測微細長豎圓柱外的自然對流換熱趨勢。同時，現有的準則式中均未考慮尺度微小化后的尺寸效應，因此微自然對流換熱仍需要進一步的研究與分析。

2)實驗Nu數顯示隨著微細豎圓柱直徑的減小，自然對流換熱強度增大，但并未顯示出細長豎圓柱長度對換熱強度的影響，還需要進一步的實驗和理論研究來驗證長度及長徑比對自然對流換熱的影響。

3)隨著長豎圓柱直徑的減小，自然對流換熱強度增大。當微細直徑小到一定的尺度，例如直徑為119.1μm、65.6μm 及 39.9μm 尺寸的微細紫銅絲，其表面的換熱將出現不同于常規的換熱現象:隨著溫差ΔT的增大，換熱強度減小。

本文受內蒙工業大學校基金(X200825)資助。(The project was supported by the Natural Science Foundation of Inner Mongolia University of Technology(No.X200825).)

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