零級隨機Dirichlet級數的增長性

張海俠

(許昌學院數學與統計學院,河南許昌461000)

零級隨機Dirichlet級數的增長性

張海俠

(許昌學院數學與統計學院,河南許昌461000)

研究了當隨機變量滿足一定條件時,全平面上零級隨機Dirichlet級數的增長性,得到了關于它們增長性的兩個定理.

Dirichlet級數；零級；增長性

1 引言和引理

關于Dirichlet級數的增長性,已取得許多研究成果.對于零級Dirichlet級數和零級隨機Dirichlet級數,由于其自身的特殊性,仍有許多問題沒有解決.本文在較弱條件下,得到了全平面上零級隨機Dirichlet級數的增長性的兩個定理.考慮隨機Dirichlet級數

考慮相對應的Dirichlet級數

若級數(3)滿足條件(2),則和函數f(s)表示一個正函數.記M(σ,f),m(σ,f)分別為f(s)的最大模與最大項.

如果,則稱級數f(s)為零級Dirichlet級數.

引理1［2］設M(x)為正值連續函數且趨于∞,滿足

則存在連續可微函數U(―x),滿足如下條件：

(ii)U(―x)單調趨于∞,且log U(―x)/log(―x)趨于∞.

(iii)對任意的t＞0,U(―(t+1)x)≤((t+1)k+O(1))U(―x).

利用文獻［3］中的證明方法類似可證如下引理.

引理2 若級數(3)滿足條件(2),(4)和

引理3 若級數(3)滿足引理2的條件,則

引理4［4］若概率空間(Ω,F,P)上的一列復隨機變量滿足條件：存在常數α＞0,β＞0,使得,那么對幾乎所有的ω∈Ω,存在N(ω),當n＞N(ω)時,有

2 定理及其證明

定理1若零級隨機Dirichlet級數(1)滿足條件(2),(5)和引理4的條件,并且

因此

其中C為正常數.于是就有

于是定理得證.

定理2 若零級隨機Dirichlet級數(1)滿足定理1的條件,則

證明 首先證明若零級隨機Dirichlet級數(1)滿足條件(5)和引理4中的條件,則?ε＞0,幾乎必然對所有的,存在正常數),使得

于是

所以就有

由此可見,定理2成立.

［1］劉薇.零級隨機Dirichlet級數增長性［J］.紡織高校基礎科學學報,2006,19(2)：122-125

［2］高宗升.零級狹里克萊級數的增長性［J］.武漢大學學報：自然科學版,1994(2)：1-8.

［3］高宗升.Dirichlet級數表示的整函數的增長性［J］.數學學報,1999.42(4)：741-748.

［4］余家榮,丁曉慶,田范基.Dirichlet級數與隨機Dirichlet級數的值分布［M］.武漢：武漢大學出版社,2004.

［5］馬昌秀,楊錦華,田宏根.零級Dirichlet級數在全平面上的增長性［J］.新疆師范大學學報(自然科學版),2007,26(1)13-16.

(編輯:郝秀清)

The growth of random dirichlet series of zero order

ZHANG Hai-xia
(School of Mathematics and Statistics,Xuchang University,Xuchang 461000,China)

When random variables fitfor some conditions,two theorems which concern about the growth of this random Dirichlet series of zero order in the plane are obtained.

Dirichlet series；zero order；growth

1672―6197(2013)01―0013―04

O174.52

A

2012- 10- 15

河南省教育廳自然科學基金資助項目(2011A110020)；河南省骨干教師資助項目(2011GGJS-182)；河南省社科聯、河南省經團聯調研資助項目(SKL-2012-2334)；許昌學院校級科研資助項目(2013096)

張海俠,女,zhx_1010@126.com