基于自動微分技術的VSC-HVDC潮流計算

季 聰，衛志農，孫國強，韋延方

（河海大學可再生能源發電技術教育部工程研究中心，南京 210098）

隨著新型電力電子器件的出現特別是全控型器件的發展，基于電壓源換流器VSC（voltage source converter）和脈寬調制PWM（pulse width modulation）控制技術的新一代高壓直流輸電——VSC-HVDC（voltage source converter based high voltage direct current）已經成為現實。1997年投入運行的瑞典Hellsjon實驗性工程是世界上第一個采用VSC的直流輸電工程。此工程的意義在于，它首次實現VSC-HVDC技術的工程化應用，使直流輸電進入了一個新的發展階段，開創了直流輸電技術的新時代。我國第一條VSC-HVDC示范工程——上海南匯風電站系統于2011年5月并網成功，整體投入試運行，標志著我國具有自主知識產權的VSC-HVDC核心技術成功應用于實際工程。作為新一代直流輸電技術，VSC-HVDC解決了常規直流輸電技術的許多固有技術瓶頸：它可以無需無功補償實現有功功率和無功功率的獨立控制；可以用于對無源系統供電，而無需電網短路電流的支撐換相；濾波容量小、占地面積小。因此VSC-HVDC成為近年來眾多學者研究的熱點[1-4]。

在含VSC-HVDC的交直流潮流計算[5-8]中，形成雅克比矩陣采用的是最直接的方法，即手工對功率不平衡函數的表達式進行微分，然后編寫微分代碼。由于加入VSC-HVDC后系統變量增加，編寫代碼的過程變得繁瑣，工作量變大而且易于出錯，自動微分 AD（automatic differentiation）技術的出現克服了這個缺點。AD將微分定義為代數運算，它可以計算任意階微分。目前AD技術已經在電力系統潮流計算，狀態估計及最優潮流等方面得到了應用[9-11]。

目前采用的統一迭代法（下稱統一法）求解交直流混合系統的潮流計算方法是在傳統潮流計算方法的基礎上擴展形成的。該算法收斂性好，但對原有的純交流程序繼承性差，代碼編制工作量大，而采用AD可以很大程度上克服這些缺點，提高代碼編寫效率，縮短程序開發周期。

但AD的引入增加了計算時間，故本文提出了一種定雅克比矩陣的保留非線性方法，使調用AD產生的時間損失大大降低，同時該算法的計算量也遠小于統一迭代法。

本文著重研究AD技術在含VSC-HVDC交直流潮流計算中的應用。結合AD技術，將基于運算符重載的 ADOL-C（automatic differentiation by overLoading in C++）自動微分工具應用于統一法交直流潮流計算和保留非線性的潮流計算。實踐表明，用AD技術代替傳統的手工編寫微分代碼計算Jacobian矩陣，使代碼量大大縮減，減少了程序的開發周期；而算例結果表明，保留非線性潮流算法計算量更小，計算速度更快，即使是采用了AD技術以后，在計算速度上依然有著明顯的優勢。

1 AD技術

1.1 基本原理

微分運算一直是目標優化、非線性系統求解、靈敏度分析等熱點課題中的關鍵技術之一。1961年Robinson引入“無窮大量”和“無窮小量”，建立了“非標準分析”理論，提出在實數的延拓空間中，微分可以定義為代數運算。這種思想同計算機技術相結合就形成了“自動微分技術”[13，14]。

對AD技術而言，無論函數多么復雜，總是由一系列的基本操作組成，如四則運算（加、減、乘、除），基本函數（三角函數、指數函數、對數函數等）。下面舉例說明：

將式（1）所示的函數引入到獨立變量和中間變量分解成一系列的基本運算，如表1所示。

表1 獨立變量和中間變量Tab.1 Independent and intermediate variables

由此在已知獨立變量的值之后，自頂而下就可以得到函數的精確值y。

給定x˙1、x˙2，通過使用微分計算的鏈式法則，AD技術可以以完全機械的方式得到函數的微分，而且不含截斷誤差。目前AD有兩種模式：正模式和逆模式，它們的區別在于運用鏈式法則計算傳遞函數的方式不同。

正模式直接按照表2自上而下，傳遞中間變量關于獨立變量的導數，求得函數的導數。逆模式具體流程見文獻[10]。

表2 正模式Tab.2 Forward modes

1.2 AD工具

現存的兩種自動微分的實現方法：源代碼變換方法和運算符重載方法。源代碼變換是顯式的重寫源代碼以得到導數代碼的方法，代表軟件有ADIFOR和ADIC。運算符重載利用C++等高級語言中的操作符重載的機理，通過重載每個操作以達到計算偏導數和根據鏈式法則傳遞導數的目的，代表軟件有ADOL-C和ADC。

ADOL-C是由Dresden技術大學科學計算學院開發的自動微分系統，使用運算符重載的方法對C++程序進行自動微分，能夠以正模式和逆模式計算任意階導數。基于以上優點，本文選擇ADOLC工具進行微分計算

2 VSC-HVDC穩態模型

2.1 VSC-HVDC穩態特性

交直流系統由交流系統和直流系統組成，其接口如圖1所示。

圖1 VSC-HVDC模型Fig.1 Model of VSC-HVDC

方程（2）～（9）則構成了標幺制下 VSC-HVDC的穩態潮流計算模型。具體推導過程和變量說明見文獻[12]。

2.2 VSC-HVDC的控制方式

VSC-HVDC中VSC可以選擇的控制方式有以下幾種[7]：①定直流電壓、定無功功率控制；②定直流電壓、定交流電壓控制；③定有功功率、定無功功率控制；④定有功功率、定交流電壓控制。

本文對直流支路兩端的VSC-HVDC采用以下四種控制方式組合：①+③；①+④；③+②；④+②。

2.3 潮流方程

對于系統中的純交流節點，其潮流計算方程為

對于直流節點，其潮流計算方程為

根據VSC-HVDC的穩態模型，可得到直流系統的潮流計算方程為

式中，下標i表示第i個VSC。

直流網絡的電流偏差量方程為

式中，gdij為直流節點i、j之間的電導值。

在交直流潮流中融入AD技術后，與手動編程的區別在于，它將需要求解的變量聲明為ADOL-C的一組活躍變量，并用這一組活躍變量將系統的潮流方程表達出來，再調用函數庫中的Jacobian函數，生成系統的雅克比矩陣。

3 AD技術在交直流潮流中的應用

在交直流潮流中融入AD技術后，與手動編程的區別在于，它將需要求解的變量聲明為ADOL-C的一組活躍變量，并用這一組活躍變量將系統的潮流方程表達出來，再調用函數庫中的Jacobian函數，生成系統的雅克比矩陣。

3.1 AD在統一迭代法交直流潮流中的應用

統一迭代法需要在每次循環中根據迭代得到的系統變量值更新Jacobian矩陣，故每次循環都需要調用AD產生新的Jacobian矩陣，具體步驟如下，流程如圖2所示。

步驟2 聲明活躍變量數組X，并將x的值賦給X；

步驟3 初始化，迭代次數k置1；

步驟4 聲明活躍變量F，用活躍變量X寫出不平衡量F的表達式，將F的數值傳遞給f；

步驟6 調用ADOL-C的Jacobian函數計算Jacobian矩陣；

步驟7 三角分解法求得Δx(k)；

步驟 8 置k=k+1，x(k+1)=x(k)+Δx(k)，轉步驟5。

圖2 運用AD技術的統一法交直流潮流程Fig.2 Flow chart of simultaneous method AC-DC system power flow with AD technology

3.2 AD在保留非線性法交直流潮流中的應用

保留非線性法保留了泰勒表達式的高階項，其Jacobian矩陣恒定，故只需在迭代之前，根據初值計算出Jacobian矩陣即可，整個計算過程中只需調用一次AD技術，故AD的引入將基本不會影響計算速度，算法的數學描述見文獻[15]。基于AD的保留非線性法交直流潮流步驟如下，流程如圖3所示。

步驟 1 設定初值 x={U，θ，Ud，Id，δ，M，Ps，Qs}；

步驟2 聲明活躍變量數組X，并將x的值賦給X；

步驟3 初始化，迭代次數k置1；

步驟4 聲明活躍變量F，用活躍變量X寫出潮流方程F的表達式，將F的數值傳遞給f；

步驟5 調用ADOL-C的Jacobian函數計算Jacobian矩陣；

步驟 8 置 k=k+1，x(k+1)=x(k)+Δx(k)，轉步驟6。

圖3 運用AD技術的保留非線性法交直流潮流程Fig.3 Flow chart of retaining nonlinearity method AC-DC system power flow with AD technology

4 算例分析

4.1 基本算例測試

下面以經修改的IEEE14節點系統為例，驗證上述算法的有效性。

圖4為將IEEE-14節點系統的13-14支路替換為直流支路，并在交流節點接入VSC裝置后得到的交直流系統。直流系統參數如表3所示，均為標幺值。

其中NBUS表示VSC所在的母線號，P1、Q1為VSC所在母線連接的負荷有功、無功，U、θ表示VSC所在母線的交流電壓幅值、相角，Ps、Qs為直流系統的注入有功、無功，Ud為直流電壓。R、X、XL、P1、Q1由系統給定；Ps、Qs初值設為與修改前系統支路功率相等，由原系統的潮流計算得到。Id、δ、M、分別為

表3 直流系統參數Tab.3 DC system parameters

式中，Pgi為節點發電有功。

表4和表5列出了經修改的IEEE14節點系統在手動編程和基于AD技術兩種方式下的統一法和保留非線性法潮流計算結果，方法A、方法B為手動編程的統一法和保留非線性法，方法C、方法D為基于AD技術的統一法和保留非線性法，平均電壓單位為標幺值。由于手動編程和基于AD技術的潮流計算結果并無差異，故表4只列出A、C兩種方法的計算結果。表5中除單位為度（°）外，其他均為標幺值。

表4 迭代次數和計算時間比較Tab.4 Comparison of iteration times and computing time

表5 各VSC控制及狀態變量Tab.5 VSC control and state parameters

由表4結果可見，計算時間從長到短順序為方法A、方法C、方法B、方法D。采用AD后統一法所需計算時間增加，而保留非線性方法在手動編程和基于AD技術兩種方式下速度均優于統一迭代法。

4.2 控制模式測試

在實際電力系統運行中，為了實現穩定運行、減少損耗、控制潮流等功能，VSC-HVDC常常需要在多種控制模式下運行。

表6列出了在不同控制方式下，手動編程的統一迭代法和保留非線性法的收斂次數和計算時間比較。

表6 不同控制方式下計算結果比較Tab.6 Computational results comparison in different control modes

由此可知，不同控制方式下，統一法和保留非線性方法均能很快收斂，而且保留非線性方法速度上一直占有比較大的優勢。

4.3 算法效率測試

表7列出了統一法、保留非線性算法對系統進行計算的迭代次數和計算時間，各系統直流支路兩端的VSC控制方式組合為①+③。

表7 各算例迭代次數和計算時間比較Tab.7 Iteration times and computing time comparison of different test systems

表中多個算例結果表明，在手動編程寫Jacobian矩陣時，保留非線性方法較統一迭代法速度更快，而采用AD技術后，保留非線性方法由于只需要生成一次Jacobian矩陣，并只需對其進行一次三角分解，大大減少了計算量，縮短了計算時間。表中算例結果表明，系統越大，保留非線性方法在速度上的優勢越明顯。

5 結論

（1）將AD技術引入到統一迭代法的VSCHVDC潮流計算中，驗證了AD技術的有效性。

（2）將保留非線性方法用于含VSC-HVDC的交直流潮流計算，并驗證了其在速度上的優越性。

（3）在修改后的 IEEE-14、30、57、118 節點系統上，基于AD技術，進行了含VSC-HVDC的交直流混合系統潮流的算例仿真和分析，仿真結果驗證了AD技術有效性和保留非線性方法的優越性。

[1]李庚銀，呂鵬飛，李廣凱，等（Li Gengyin，Lü Pengfei，Li Guangkai，et al）.輕型高壓直流輸電技術的發展與展望（Development and prospects for HVDC light）[J].電力系統自動化（Automation of Electric Power Systems），2003，27（4）：77-81.

[2]湯廣福，賀之淵，騰樂天，等（Tang Guangfu，He Zhiyuan，Teng Letian，et al）.電壓源換流器高壓直流輸電技術最新研究進展（New progress on HVDC technology based on voltage source converter）[J].電網技術（Power System Technology），2008，32（22）：39-44，89.

[3]袁旭峰，程時杰（Yuan Xufeng，Cheng Shijie）.多端直流輸電技術及其發展（Multi-terminal HVDC transmission technology and its development）[J].繼電器（Relay），2006，34（19）：61-67，70.

[4]陳蔓，陸繼明，毛承雄，等（Chen Man，Lu Jiming，Mao Chengxiong，et al）.基于遺傳算法的優化控制在VSCHVDC中的應用（Application of genetic algorithm based optimal control in VSC-HVDC）[J].電力系統及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2006，18（4）：19-23.

[5]陳謙，唐國慶，王潯（Chen Qian，Tang Guoqing，Wang Xun）.多端VSC-HVDC系統交直流潮流計算（AC-DC power flow algorithm for multi-terminal VSC-HVDC systems）[J].電力自動化設備（Electric Power Automation E－quipment），2005，25（6）：1-6.

[6]Angeles-Camacho C，Tortelli O L，Acha E，et al.Inclusion of a high voltage DC-voltage source converter model in a Newton-Raphson power flow algorithm[J].IEE Proceedings-Generation，Transmission and Distribution，2003，150（6）：691-696.

[7]鄭超，周孝信，李若梅，等（Zheng Chao，Zhou Xiaoxin，Li Ruomei，et al）.VSC-HVDC 穩態特性與潮流算法的研究（Study on the steady characteristic and algorithm of power flow for VSC-HVDC）[J].中國電機工程學報（Proceedings of CSEE），2005，25（6）：1-5.

[8]Zhang Xiaoping.Multiterminal voltage-sourced converter-based HVDC models for power flow analysis[J].IEEE Trans on Power Systems，2004，19（4）：1877-1884.

[9]Orfanogianni T，Bacher R.Using automatic code differentiation in power flow algorithms[J].IEEE Trans on Power Systems，1999，14（1）：138-144.

[10]葉芳，衛志農，孫國強，等（Ye Fang，Wei Zhinong，Sun Guoqiang，et al）.基于自動微分技術的電力系統狀態估計算法（State estimation of power systems with automatic differentiation technology）[J].電力系統保護與控制（Power System Protection and Control），2010，38（17）：91-95，100.

[11]耿光超，江全元（Geng Guangchao，Jiang Quanyuan）.基于自動微分技術的內點法最優潮流算法（An automatic differentiation based interior-point method for optimal power flow）[J].電力系統自動化（Automation of Electric Power Systems），2008，32（23）：41-45.

[12]孫國強，李育燕，衛志農，等（Sun Guoqiang，Li Yuyan，Wei Zhinong，et al）.含 VSC-HVDC 的交直流混合系統狀態估計（State estimation of power system with VSCHVDC）[J].電力系統自動化設備（Electric Power Automation Equipment），2010，30（9）：6-12，23.

[13]Walther A，Griewank A.A package for the automatic differentiation of algorithms written in C/C++[EB/OL].http：//www.coin-or.org/projects/ADOL-C.xml，2009.

[14]王莉萍，程彬杰，唐天同，等（Wang Liping，Cheng Binjie，Tang Tiantong，et al）.用于電子光學系統像差分析的自動微分技術及其在Visual C++平臺上的軟件實現（Automatic differentiation technique for aberration analysis of electronic optic systems with implementation in Visual C++environment）[J].電子顯微學報（Journal of Chinese Electron Microscopy Society），1999，18（6）：644-651.

[15]王憲榮，柳焯，張伯明（Wang Xianrong，Liu Chao，Zhang Boming）.非線性總項與保留非線性潮流算法的拓廣（The sum total of nonlinear terms and the development of load flow algorithm retaining nonlinearity）[J].哈爾濱工業大學學報（Journal of Harbin Institute of Technology），1990，22（6）：60-66.

[16]陸進軍，黃家裕（Lu Jinjun，Huang Jiayu）.電力系統多端直流（MTDC）潮流算法改進（An improved multi-terminal HVDC power flow method）[J].電力系統及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2000，12（5）：4-6，18.

[17]吳素平，尚榮艷，羅隆福（Wu Suping，Shang Rongyan，Luo Longfu）.新型直流輸電系統中感應濾波技術的影響（Impacts of inductive filtering technology in the novel DC transmission system）[J].電力系統及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2010，22（4）：49-55.