光腔中薄膜振子與電磁場耦合關系的數值解

鄧志姣 銀 燕

（國防科學技術大學理學院物理系，湖南 長沙 410073）

如何將機械振子的運動冷卻到量子區域已經成為當前一個重要的研究課題［1］.機械振子的冷卻不僅有助于研究和驗證宏觀尺度下量子力學的一些基本問題，而且還能促進機械振子在量子信息技術和精密測量技術中的應用.目前，利用輻射壓力將電磁場和機械振子運動耦合起來的光機械系統［2］為機械振子的冷卻提供了一種有利的操作手段.最典型的光機械系統模型為一個F-P光腔，其一端鏡面固定，另一端鏡面作為機械振子可以自由運動.但這種傳統光機械系統不能同時提高振子和光腔的品質因子，因而抑制了冷卻的效果.

為克服該局限性，美國耶魯大學研究小組提出了一種新的薄膜嵌入式光機械系統［3］.其基本結構為：在高品質因子的F-P光腔中，與腔鏡面平行放置一個或若干個厚度約為50nm且具有一定透射率的SiN薄膜振子.通過從腔外輸入一束或若干束激光驅動與薄膜振子耦合的腔內電磁場模式，就能夠達到操控薄膜振子的運動甚至冷卻其運動到量子區域的目的.操控薄膜振子運動的系統哈密頓量與薄膜振子和電磁場的耦合關系緊密相關.而該耦合關系又與各個薄膜振子在腔中的位置有關，并且隨著振子數的增加變得異常復雜.因此，利用解析的方法求解該耦合關系非常困難.對于單個薄膜振子與電磁場的耦合關系，已有文獻給出了數值計算結果［4］，而對于多個薄膜振子的情況其求解還不夠全面［5］.本文的目的是以腔內有兩個薄膜振子的情況為例，介紹求解光腔中薄膜振子與電磁場耦合關系的基本原理和數值方法.根據該方法可以得到薄膜振子在腔內任意位置處與電磁場的耦合關系，從而方便研究人員選擇合適的薄膜振子的位置對振子進行更加有效的冷卻.

1 求解薄膜振子與電磁場耦合關系的基本原理

如圖1所示，在一個兩端鏡面固定且全反的F-P光腔中，分別在q1和q2處放置兩塊相同的電解質薄膜振子.它們的質量均為m、振動頻率均為ωm、反射率均為R.由于薄膜振子的引入，光腔會形成新的電磁場本征模式以及相應的本征頻率.

圖1 F-P光腔中有兩個薄膜振子的薄膜嵌入式光機械系統示意圖

外加激光操控薄膜振子運動的原理為：外加激光驅動腔內的電磁場模式，腔內的光子對振子產生輻射壓力會改變振子的運動；反過來，振子的運動會改變腔內電磁場模式的本征頻率以及輻射壓力的大小.通過這種作用機制，腔的電磁場自由度與薄膜振子的運動自由度相互耦合起來.由后面即將給出的哈密頓量的形式可知，要得到薄膜振子和電磁場的耦合關系關鍵是要求出放置薄膜之后腔模的本征頻率.假設薄膜振子的厚度遠遠小于光波的波長，可以設腔內的介電常數為［5］

其中，ε0為真空介電常數光波的波數.由于腔的兩個鏡面全反，腔內電場在x＝±3L處等于零，因此可以設腔內的電場為

利用電場E（x）在q1和q2處的連續性條件，可得

綜合式（3）、（4），并消去E1、E2、E3、E4，可以得到波數k滿足的方程

當振子的振動頻率比鄰近腔模頻率間隔小很多時，振子的運動不會導致光子在不同的腔模之間相互轉換.因此可以只考察腔中的某個電磁場本征模式，其哈密頓量為分別為該本征模式的產生算子和湮滅算子；q、Q算子化后分別為①這種哈密頓量的形式是當振子的振動頻率遠小于鄰近兩個腔模頻率差時的一個近似的表達式.它可以從嚴格的哈密頓量取絕熱近似得到［6］..假如兩個薄膜振子在各自的平衡位置附近做微小振動，可將該哈密頓量在振子運動的平衡位置處進行泰勒展開，

Bn，?（Mn，?）、B′n，?（M′n，?）分別表示該電磁場本征模式與相對運動模式以及質心運動模式的線性（平方）耦合強度，而Pn，?代表了兩種集體振動模式和該電磁場模式三者之間的耦合強度.這些耦合強度都是腔模的本征頻率在振子的平衡位置處對q、Q及其組合的各階偏導數.求出它們的大小就求得了薄膜振子與電磁場的耦合關系.將這些耦合系數代入式（6）就能進一步寫出操控薄膜振子運動的系統的哈密頓量②整個系統的完整哈密頓量等于式（6）加上薄膜振子的相對運動和質心運動的自由哈密頓量［5］..

2 耦合關系的數值求解及結果分析

由以上分析可以看出，求耦合關系的核心在于求放置薄膜之后腔模的本征頻率，即求解方程（5）.方程（5）中含有三角函數，因此它的解有無窮多個并且具有一定的周期性.通過調試并選定k的取值范圍求得某個周期內的本征頻率值ω1、ω2…ωv（假設一個周期有v個解）.當q、Q在一個不大的區間內變化時，對應相同的k的取值范圍存在與格點（qi，Qj）一一對應的v個本征頻率值.對于每一組（qi，Qj），可以通過二分法或者牛頓迭代法求本征頻率ω?（qi，Qj）（?＝1，2，…，v）.以q、Q為二維坐標軸，則ω?就能按從小到大的順序組成v個本征頻率曲面.假設R＝0.7，L＝0.1m，k∈

原點，按照上述方法利用Matlab編程運算可以得到三個本征頻率曲面，其等高線圖如圖2所示.

圖2 對應q∈［q0-1.5×10-7，q0＋1.5×10-7］m，Q∈［Q0-0.5×10-7，Q0＋0.5×10-7］m范圍內三個本征頻率曲面的等高線圖

圖3 對應q∈［q0-1.5×10-7，q0＋1.5×10-7］m，Q∈［Q0-0.5×10-7，Q0＋0.5×10-7］m范圍內第二個本征頻率ω2 及其一階偏導數?ω2／?q、?ω2／?Q 的等高線圖

利用已經得到的每一組（qi，Qj）所對應的本征頻率值ω?（qi，Qj）（?＝1，2，3），以及求偏導數的差分公式［7］可以進一步求出耦合強度B?（q，Q）、B′?（q，Q）、M?（q，Q）、M′?（q，Q）、P?（q，Q）.圖3以本征頻率ω2為例，給出了耦合強度B2、B′2的等高線圖.若選取＝（q0，0），由數值計算可知該點處B2＝1.03×1015Hz·m-1，B′2＝0Hz·m-1，M2＝2.31×1019Hz·m-2，M′2＝5.59×1021Hz·m-2，P2＝-2.57×1016Hz·m-2.假設m＝4×10-11kg，ωm＝2π×105Hz，溫度T＝300K③加上激光驅動腔模之后，光機械耦合的強度會被放大.此外，再通過一些輔助手段（比如增大振子的有效振動頻率），我們也可能實現在高溫下對薄膜振子運動的有效冷卻［8］.，可以＝-6.80×10-6Hz.因此僅保留電磁場與相對運動模式的線性耦合項.哈密頓量式（6）變為

該哈密頓量表明當薄膜振子處于平衡位置（q0，0）并考察腔的ω2本征頻率時，主要存在該電磁場模式與兩個薄膜振子相對運動模式的線性耦合.

通過改變薄膜振子運動的平衡位置，我們還可以得到其他的光機械耦合形式.例如選取＝（q0-1.2×10-7，3×10-7）m，該平衡位置點附近ω2、?ω2／?q、?ω2／?Q的取值分布如圖4所示.由數值計算可知該點處B2＝3.03×1012Hz·m-1，B′2＝1.29×1015Hz·m-1，M2＝-2.20×1021Hz·m-2，M′2＝-1.35×1021Hz·m-2，P2＝-4.64×1021Hz·m-2.由各耦合項所產生的頻移大小為-1.23Hz.因此，當平衡位置為（q0-1.2×10-7，3×10-7）m時，ω2所對應的本征模式主要存在與質心運動模式的線性耦合.哈密頓量式（6）變為

由式（7）、（8）可知，我們可以通過外加激光驅動ω2所對應的腔模，在平衡位置（q0，0）以及（q0-1.2×10-7，3×10-7）m處分別對振子的相對運動模式以及質心運動模式進行操控.所以通過選擇薄膜振子合適的平衡位置，就能構造所需的薄膜振子與電磁場的耦合形式，從而有針對性地對振子的振動模式進行加熱或冷卻.而薄膜振子的平衡位置在實驗上是通過一些機械裝置進行調節的.

圖4 對應q∈［q0-3×10-7，q0］m，Q∈［Q0＋2.5×10-7，Q0＋3.5×10-7］m范圍內第二個本征頻率ω2 及其一階偏導數?ω2／?q、?ω2／?Q 的等高線圖

3 總結

本文以光腔中有兩個薄膜振子的情況為例，介紹了計算薄膜振子與電磁場耦合關系的基本原理和數值方法.求解過程主要分為兩步：第一步建立模型得到放置薄膜之后腔模的本征頻率所滿足的方程；第二步具體數值求解該方程并計算各項耦合系數.利用該方法可以計算任意多個薄膜振子在腔內任意位置處與電磁場的耦合關系.這些計算為實驗工作者選擇合適的薄膜振子位置對振子進行更加有效的冷卻提供了理論基礎.

［1］Schwab K C，Roukes M L.Putting mechanics into quantum mechanics［J］.Phys.Today，2005，7：36.

［2］Marquardt F，Girvin S M.Optomechanics［J］.Physics，2009，2：40.

［3］Thompson J D，Zwickl B M，Jayich A M，et al.Strong dispersive coupling of a high-finesse cavity to a micromechanical membrane［J］.Nature，2008，452：72.

［4］Bhattacharya M，Uys H，Meystre P.Optomechanical trapping and cooling of partially reflective mirrors［J］.Phys.Rev.A，2008，77：033819.

［5］Bhattacharya M，Meystre P.Multiple membrane cavity optomechanics［J］.Phys.Rev.A，2008，78：041801（R）.

［6］Cheung H K，Law C K.Nonadiabatic optomechanical Hamiltonian of a moving dielectric membrane in a cavity ［J］.Phys.Rev.A，2011，84：023812.

［7］數學手冊編寫組，數學手冊［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［8］Deng Z J，Li Y，Gao M，et al.Performance of a cooling method by quadratic coupling at high temperatures ［J］.Phys.Rev.A，2012，85：025804.