基于一種序數群決策方法的方案排序＊

汪志宏 王 鵬

（陸軍軍官學院 合肥 230031）

1 引言

在現實生活中我們經常碰到對一組方案進行排序的問題，投票表決是經常用到的方法。投票表決方法［1］歷史悠久，形式繁多，并且有效易操作。該方法實質是一種序數群決策方法，也就是由多個人共同作決策，利用相應的社會選擇函數，將各成員的偏好集結成社會的偏好，從而確定方案的排序。利用Borda分排序的方法［1］就是一個典型的序數類群決策方法，它是將m－1，m－2，…，1，0分別賦值予m個方案中排在第一位、第二位直到最后一位的方案，然后統計各方案的得分，依分數大小排序。然而，利用Borda分排序常會遇到幾種方案得分一樣的情況，要將方案嚴格排序［3］，有必要對Borda函數進行改進。

2 一種類Borda函數

設有m個專家，n個方案，方案的集合為A＝｛x｝n。

定義2隨機變量X的分布律為

定義3函數

定義4函數

3 相關結論

定理1各方案利用第1類Borda分進行排序同利用Borda分進行排序結果是一致的。

證明：方案x的第1類Borda分

定理2若兩方案的第1類Borda分相同，只要其得票情況不完全一樣，則它們一定可以利用第k（k＝2，3，…，n）類Borda分中的一個進行排序。

證明：假設方案a的賦值隨機變量X的分布律為P｛X＝n－k｝＝pk，k＝1，2，…，n。方案b的賦值隨機變量Y的分布律為P｛Y＝n－k｝＝qk，k＝1，2，…，n。則兩方案的第1類Borda分差：

假設對于其它的類Borda分，也有相似的結果，即有方程組：

…，n，其中pj－qj，j＝1，2，…，n看作未知量。

方程組的系數矩陣為

利用范德蒙行列式［2］知系數矩陣有一n－1階子式：

利用該函數進行群決策方案排序的一般方法：

1）根據專家偏好確定每個方案的各勝選票數；

2）求出每個方案賦值隨機變量的期望，也就是第1類Borda分；

3）根據方案的第1類Borda分排序，若有幾個方案的分相同，求其第2類Borda分，對這幾個方案排序；

4）若再有幾個方案的分相同，再求它們的第3類Borda分，直到全部排序完成為止。

4 實例

例 設有7個專家，將4個方案A＝｛a，b，c，d｝進行排序。已知他們的偏好次序為

滿足a?b?c?d的，2人；滿足b?c?a?d的，2人；滿足c?b?d?a的，1人；滿足d?a?c?b的，2人。

例題求解：

設a，b，c，d的賦值隨機變量分別為X1，X2，X3，X4，所以四個方案得分分別為

方案a，b分數一樣，結果是a～Gb?Gd?Gc。

方案a，b的第二類Borda分：

所以最終結果：b?Ga?Gd?Gc。

5 結語

上文通過引入賦值隨機變量的期望或其函數的期望引入類Borda函數，用嚴密的數學語言證明了利用函數排序的可行性，方法容易理解便于運用。

利用該群決策方法主要解決各方案得票情況不完全一樣的排序問題，若排序中遇到兩種或多種方案得票情況完全一樣，可以將這兩種或多種方案重投票然后綜合排序。

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