小波域改進變步長自適應濾波

金晶晶，周興沛

(中國電子科技集團公司第四十七研究所，沈陽 110032)

1 引言

自適應濾波器具有自動調節自身參數的能力，較傳統的固定系數濾波器具有更高的性能。最小均方算法(LMS)是應用最為廣泛的典型算法，但其收斂速度對輸入向量自相關函數矩陣特征值的分布敏感，收斂精度及對時變系統跟蹤速度等對步長大小選取相互矛盾。小波變換具有較好的去相關能力，在很多情況下能使輸入信號的自相關矩陣接近對角陣;可變步長算法在收斂過程中動態調整步長大小，使算法有較小的穩態誤差。本文提出一種改進的步長因子調整函數，實現了小波域變步長自適應濾波。

2 基于正交小波變換的LMS 自適應濾波

時域LMS 算法的收斂速度受輸入信號自相關矩陣條件數的影響很大，正交小波變換可以將信號在頻域正交分割，去除原始信號的相關性，并將串行運算轉換成并行運算提高算法的收斂速度。利用小波基將自適應濾波器主通道和參考通道的輸入信號分別進行J 層正交小波分解，再對誤差信號進行小波重構即可實現對主通道信號的正交小波變換LMS 自適應去噪，其原理如圖1 所示。由時域LMS算法及圖1 可得第j 層正交小波變換LMS 算法為:

收斂條件是步長因子滿足:0 ＜μ ＜1/λjmax，λjmax為第j個自適應濾波器輸入信號自相關矩陣的最大特征值，j=1，...，J+1為第j個自適應濾波器的階數。

3 改進的變步長調整函數

傳統的固定步長LMS 算法中，收斂速度、收斂精度等與步長大小的選取相互矛盾。類似于Sigmod函數的步長調整函數，使算法同時獲得較快的收斂速度和較小的穩態誤差［1］，通過當前誤差和上一步誤差的相關估計可動態改變步長調整函數中的參數值，但不能完成所有條件下的參數自適應調整［2－3］。本文提出一種改進的變步長調整函數，其形式為:

其中0 ＜φ ＜1，λmax為自適應濾波器輸入信號自相關矩陣的最大特征值，J(n)為當前誤差與上一步誤差的自相關估計，m為調整參數。將式(2)與式(1)結合即得到正交小波變換的變步長LMS 算法。

圖1 正交小波變換的LMS 自適應去噪原理

改進的變步長調整函數有以下優點:①利用輸入信號自相關矩陣的最大特征值確定β，保證了算法的收斂性。②采用指數形式更新α 值，避免了在誤差為零時需要重新設定初值的情況。③在初始收斂階段，誤差的自相關估計較大，算法有較大的步長，較快的收斂速度;當接近穩態時，誤差的自相關很小，算法有較小的步長，達到很小的穩態誤差。

4 實驗分析與結論

根據參考文獻［4］的模型，將一段心沖擊圖信號作為主通道信號，如圖2(a)所示，選擇db2 小波基對參考通道信號進行2 層小波分解。小波分解后輸入信號與階數分別為8 和4的時域自適應濾波器的條件數對比如表1 所示。自適應濾波器輸入信號的條件數較小波變換前有所下降，證明了小波變換的去相關能力。

表1 正交小波變換前后自適應濾波器輸入信號條件數

分別利用時域LMS 自適應濾波及本文所提方法對這段心沖擊圖信號進行處理，結果如圖2 所示。

圖2 小波變換與時域LMS 自適應濾波去噪結果比較

與原始BCG 信號對比，兩種方法都可以去除噪聲。以第600 點處作為參考點，比較兩種方法處理后信號達到穩態的時間，利用本文所提方法處理后的信號在該點的波形非常平滑，但時域LMS 自適應濾波方法還需要進一步的調整才能達到穩態。因此在收斂速度上，小波域改進變步長自適應濾波算法具有明顯的優越性。

［1］高鷹，謝勝利.一種變步長LMS 自適應濾波算法及分析［J］.電子學報，2001，29(8):1094－1097.

［2］蘭瑞明，唐普英.一種新的變步長LMS 自適應算法［J］.系統工程與電子技術，2005，27(7):1307－1310.

［3］孫恩昌，李于衡，張冬英，等.自適應變步長LMS 濾波算法及分析［J］.系統仿真學報，2007，19(14):3172－3175.

［4］任濟生，任鵬，吉愛國，等.基于正交小波變換的自適應語音消噪改進方法［J］.信息與控制，2007，36(4)，501－505.