小波域改進變步長自適應(yīng)濾波

金晶晶，周興沛

(中國電子科技集團公司第四十七研究所，沈陽 110032)

1 引言

自適應(yīng)濾波器具有自動調(diào)節(jié)自身參數(shù)的能力，較傳統(tǒng)的固定系數(shù)濾波器具有更高的性能。最小均方算法(LMS)是應(yīng)用最為廣泛的典型算法，但其收斂速度對輸入向量自相關(guān)函數(shù)矩陣特征值的分布敏感，收斂精度及對時變系統(tǒng)跟蹤速度等對步長大小選取相互矛盾。小波變換具有較好的去相關(guān)能力，在很多情況下能使輸入信號的自相關(guān)矩陣接近對角陣;可變步長算法在收斂過程中動態(tài)調(diào)整步長大小，使算法有較小的穩(wěn)態(tài)誤差。本文提出一種改進的步長因子調(diào)整函數(shù)，實現(xiàn)了小波域變步長自適應(yīng)濾波。

2 基于正交小波變換的LMS 自適應(yīng)濾波

時域LMS 算法的收斂速度受輸入信號自相關(guān)矩陣條件數(shù)的影響很大，正交小波變換可以將信號在頻域正交分割，去除原始信號的相關(guān)性，并將串行運算轉(zhuǎn)換成并行運算提高算法的收斂速度。利用小波基將自適應(yīng)濾波器主通道和參考通道的輸入信號分別進行J 層正交小波分解，再對誤差信號進行小波重構(gòu)即可實現(xiàn)對主通道信號的正交小波變換LMS 自適應(yīng)去噪，其原理如圖1 所示。由時域LMS算法及圖1 可得第j 層正交小波變換LMS 算法為:

收斂條件是步長因子滿足:0 ＜μ ＜1/λjmax，λjmax為第j個自適應(yīng)濾波器輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值，j=1，...，J+1為第j個自適應(yīng)濾波器的階數(shù)。

3 改進的變步長調(diào)整函數(shù)

傳統(tǒng)的固定步長LMS 算法中，收斂速度、收斂精度等與步長大小的選取相互矛盾。類似于Sigmod函數(shù)的步長調(diào)整函數(shù)，使算法同時獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差［1］，通過當(dāng)前誤差和上一步誤差的相關(guān)估計可動態(tài)改變步長調(diào)整函數(shù)中的參數(shù)值，但不能完成所有條件下的參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整［2－3］。本文提出一種改進的變步長調(diào)整函數(shù)，其形式為:

其中0 ＜φ ＜1，λmax為自適應(yīng)濾波器輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值，J(n)為當(dāng)前誤差與上一步誤差的自相關(guān)估計，m為調(diào)整參數(shù)。將式(2)與式(1)結(jié)合即得到正交小波變換的變步長LMS 算法。

圖1 正交小波變換的LMS 自適應(yīng)去噪原理

改進的變步長調(diào)整函數(shù)有以下優(yōu)點:①利用輸入信號自相關(guān)矩陣的最大特征值確定β，保證了算法的收斂性。②采用指數(shù)形式更新α 值，避免了在誤差為零時需要重新設(shè)定初值的情況。③在初始收斂階段，誤差的自相關(guān)估計較大，算法有較大的步長，較快的收斂速度;當(dāng)接近穩(wěn)態(tài)時，誤差的自相關(guān)很小，算法有較小的步長，達到很小的穩(wěn)態(tài)誤差。

4 實驗分析與結(jié)論

根據(jù)參考文獻［4］的模型，將一段心沖擊圖信號作為主通道信號，如圖2(a)所示，選擇db2 小波基對參考通道信號進行2 層小波分解。小波分解后輸入信號與階數(shù)分別為8 和4的時域自適應(yīng)濾波器的條件數(shù)對比如表1 所示。自適應(yīng)濾波器輸入信號的條件數(shù)較小波變換前有所下降，證明了小波變換的去相關(guān)能力。

表1 正交小波變換前后自適應(yīng)濾波器輸入信號條件數(shù)

分別利用時域LMS 自適應(yīng)濾波及本文所提方法對這段心沖擊圖信號進行處理，結(jié)果如圖2 所示。

圖2 小波變換與時域LMS 自適應(yīng)濾波去噪結(jié)果比較

與原始BCG 信號對比，兩種方法都可以去除噪聲。以第600 點處作為參考點，比較兩種方法處理后信號達到穩(wěn)態(tài)的時間，利用本文所提方法處理后的信號在該點的波形非常平滑，但時域LMS 自適應(yīng)濾波方法還需要進一步的調(diào)整才能達到穩(wěn)態(tài)。因此在收斂速度上，小波域改進變步長自適應(yīng)濾波算法具有明顯的優(yōu)越性。

［1］高鷹，謝勝利.一種變步長LMS 自適應(yīng)濾波算法及分析［J］.電子學(xué)報，2001，29(8):1094－1097.

［2］蘭瑞明，唐普英.一種新的變步長LMS 自適應(yīng)算法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2005，27(7):1307－1310.

［3］孫恩昌，李于衡，張冬英，等.自適應(yīng)變步長LMS 濾波算法及分析［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報，2007，19(14):3172－3175.

［4］任濟生，任鵬，吉愛國，等.基于正交小波變換的自適應(yīng)語音消噪改進方法［J］.信息與控制，2007，36(4)，501－505.