混沌理論在混沌跳頻序列分析中的應(yīng)用研究

鄒 磊，鄭林華，林嘉宇，丁 宏

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，長沙 410073)

1 引言

跳頻序列是跳頻通信系統(tǒng)的基礎(chǔ)和核心，它保證了跳頻通信系統(tǒng)的高抗干擾和低截獲概率性能，故而對跳頻序列的研究至關(guān)重要。傳統(tǒng)的跳頻序列分析方法，主要分析跳頻序列的Hamming相關(guān)、平衡特性、寬間隔特性和線性復(fù)雜度等跳頻特性［1－2］。而對于來自不同生成方法的跳頻序列卻不應(yīng)局限于這些分析方法。混沌跳頻序列［3］來自于確定性系統(tǒng)，卻表現(xiàn)出很強(qiáng)的隨機(jī)性，這正是混沌信號的特征［4］。混沌跳頻序列產(chǎn)生于混沌系統(tǒng)，若其具有混沌性，則可以利用相空間重構(gòu)理論［5］對其重構(gòu)，并可得到與原系統(tǒng)等價的系統(tǒng)，進(jìn)一步，可通過分析該等價系統(tǒng)得到原系統(tǒng)的一些特性信息。

2 混沌性判別

混沌信號具有對初始值的敏感性、有界性、非周期性以及確定性等要求，這是構(gòu)成混沌信號生成系統(tǒng)的必要條件。而在實際應(yīng)用中，通常將這些判別方法適當(dāng)?shù)姆潘桑纯勺銐驖M足實際工程要求［6］。

初始值的敏感性，可由Lyapunov 指數(shù)描述，表示不同初值的混沌信號在一段時間的演化后其軌跡的收斂與發(fā)散程度，一般為正值，說明系統(tǒng)產(chǎn)生混沌信號的可能性較大;信號的有界性，實際系統(tǒng)通常可以滿足，不需要再進(jìn)行判斷;信號的非周期性，混沌信號的吸引子一般具有自相似性，可用分形維來描述，而且一般情況下分形維是非整數(shù);信號的確定性，確定性信號的維數(shù)通常是有限的，其分形維也應(yīng)當(dāng)是有限的，另外，確定性的系統(tǒng)是可以實現(xiàn)局部預(yù)測的，混沌信號由于其初值敏感性和現(xiàn)實環(huán)境中的噪聲等因素影響，不可能對其進(jìn)行長期預(yù)測，但可以進(jìn)行局部預(yù)測，這樣，有限的分形維和局部可預(yù)測性可以區(qū)分確定信號與隨機(jī)信號，而在實際工程中產(chǎn)生的信號一般均可滿足局部可預(yù)測性。

由此得到，從工程實用上來說，分析信號具有正的Lyapunov 指數(shù)和有限且為非整數(shù)的分形維即可認(rèn)為該信號具有混沌性。

2.1 Lyapunov 指數(shù)的小數(shù)據(jù)量法

混沌系統(tǒng)對初值具有高度的敏感性，可用Lyapunov 指數(shù)表征，它描述兩個相近初值所產(chǎn)生的軌道，隨著時間演化按指數(shù)方式分離的量，一般分析最大Lyapunov 指數(shù)為正值即可。此處分析選擇小數(shù)據(jù)量法，小數(shù)據(jù)量法［7］計算方便、操作簡單，對相空間的嵌入維數(shù)、時間延遲、觀測噪聲等表現(xiàn)了較好的魯棒性，對小數(shù)據(jù)量也比較可靠，具體描述如下。

設(shè)混沌序列為{x1，x2，...，xN}，嵌入維數(shù)m，延遲時間τ，則經(jīng)重構(gòu)后得到相空間如下:

重構(gòu)相空間后，尋找給定軌道上每個點(diǎn)的最近鄰近點(diǎn)，即:

其中，P為序列的平均周期，它可以利用能量譜的平均頻率的倒數(shù)估算出來。最大Lyapunov 指數(shù)則可通過基本軌道上每個點(diǎn)的最近鄰點(diǎn)的平均發(fā)散速率估算得到。估算最大Lyapunov 指數(shù)式為:

其中Δt為信號采樣周期，k為常數(shù)，dj(i)是基本軌道上第j 對最近鄰近點(diǎn)對經(jīng)過i個離散時間步長后的距離:

將式(4)兩邊取對數(shù)得到:

式(5)中函數(shù)的斜率即為所求的最大Lyapunov指數(shù)，可以通過最小二乘法擬合這條曲線得到，即:

其中，q為非零dj(i)的數(shù)目。考慮f=y(i)的一階導(dǎo)數(shù):

理想情況下，如果i～y(i)滿足線性關(guān)系，f'應(yīng)當(dāng)為一常數(shù)。在i～y(i)達(dá)到飽和之前，選i～y(i)－y(i－1)曲線圖中變化較小的一段區(qū)域為線性區(qū)域，此段區(qū)域的斜率即是最大Lyapunov 指數(shù)。

2.2 分形維的G－P 算法

由于混沌系統(tǒng)的吸引子具有自相似性，它在空間的演化過程中不斷的靠攏分離，形成和前一軌跡相似的結(jié)構(gòu)，而且每一個軌跡都和整體有相似性。混沌信號的相空間圖一般都是分形體，描述混沌系統(tǒng)吸引子的自相似一般使用分形維，分形維有多種定義，有Hausdoff 維、關(guān)聯(lián)維、自相似維、盒子維、Lyapunov 維、信息維和點(diǎn)形維。其中，以關(guān)聯(lián)維(Correlation Dimension)最為常用，而計算關(guān)聯(lián)維數(shù)的常用方法為G－P 算法［8］，下面具體描述。

(1)給定混沌序列{x1，x2，...，xN}，先選取一個較小的值m0，對應(yīng)得到一個重構(gòu)的相空間;

(2)計算關(guān)聯(lián)函數(shù):

其中，|Y(ti)－Y(tj)|表示相空間中點(diǎn)Y(ti)和Y(tj)之間的距離;θ(z)是Heaviside 函數(shù)，當(dāng)z≥0時，θ(z)=1，當(dāng)z ＜0時，θ(z)=0;C(r)是一個累積分布函數(shù)，表示相空間中吸引子上兩點(diǎn)之間距離小于r的概率。

(3)當(dāng)r 取某一適當(dāng)范圍時，吸引子的維數(shù)d 與累積分布函數(shù)C(r)應(yīng)滿足對數(shù)線性關(guān)系，即d(m)=1nC(r)/1nr。然后據(jù)此可以擬合出對應(yīng)于m0的關(guān)聯(lián)維數(shù)估計值d(m0)。

(4)增加嵌入維數(shù)使得m1＞m0，重復(fù)步驟(2)和(3)，直到相應(yīng)的維數(shù)估計值d(m)不再隨m的增長而在一定誤差范圍內(nèi)變化為止。此時得到的d 即為吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)。如果d 隨m的增長而增長，并不收斂于一個穩(wěn)定的值，則可認(rèn)為該系統(tǒng)是一個隨機(jī)過程。

2.3 仿真實驗

仿真分析時以經(jīng)典的大氣模型Lorenz 流混沌系統(tǒng)為例，如式所示。

式中，a=16，b=4，r=45.92，取x相分量生成混沌時間序列。

對所生成的混沌時間序列經(jīng)量化、寬間隔處理后將得到能應(yīng)用于實際跳頻通信系統(tǒng)中的跳頻序列。實際的量化方法有均勻量化法、余弦量化法、k維截斷法、中間多比特抽取和排序法等，仿真時選擇較為簡單的均勻量化法。而寬間隔處理的方法有去中間頻帶法、對偶頻帶法、丟棄法、平移替代法和隨機(jī)平移替代法，仿真時寬間隔處理法選用隨機(jī)平移替代法。由此生成了混沌跳頻序列，以供下面分析研究。

將混沌跳頻序列前1 ×104個點(diǎn)去掉，取之后5000 點(diǎn)，利用小數(shù)據(jù)量算法，得到由Lorenz 流系統(tǒng)生成的混沌跳頻序列的i～y(i)和i～y(i)－y(i－1)曲線如圖1 所示。

對于圖1(b)中的i～y(i)－y(i－1)曲線圖，取未達(dá)到飽和之前的區(qū)域100～200 作為線性區(qū)間，繼而可以得出圖1(a)中i～y(i)曲線圖中相應(yīng)區(qū)域的斜率為1.0049，則該斜率對應(yīng)最大Lyapunov 指數(shù)λ=1.0049 ＞0，是正值。

將混沌跳頻序列前1 ×104個點(diǎn)去掉，取之后3000 點(diǎn)，利用G－P 算法，得到由Lorenz 流生成的混沌跳頻序列的雙對數(shù)曲線如圖2(a)所示，嵌入維－關(guān)聯(lián)維(m－D)曲線如圖2(b)所示。

從圖2(b)m－D 曲線圖中可以看到，當(dāng)m 取到8 之后關(guān)聯(lián)維數(shù)D 大致不變，此時D≈2.119，是分?jǐn)?shù)且有限。

從最大Lyapunov 指數(shù)和分形維數(shù)的分析中可看到，Lorenz 流系統(tǒng)生成的跳頻序列的最大Lyapunov 指數(shù)是正值，而分形維數(shù)為非整數(shù)且有限，故而可知Lorenz 流系統(tǒng)生成的混沌跳頻序列具有混沌性，繼而可利用混沌理論對其分析。

3 相空間重構(gòu)

從2.3 節(jié)中的分析中可知混沌跳頻序列具有混沌性，因此可以利用混沌理論分析混沌跳頻序列，而相空間重構(gòu)是混沌理論分析的基礎(chǔ)，故而本小節(jié)中主要研究分析混沌跳頻序列的重構(gòu)參量。現(xiàn)實中獲得的是序列的觀測值，對這些觀測值進(jìn)行相空間的重構(gòu)分析可以得到與原混沌系統(tǒng)特性等價的相空間，通過分析該相空間有助于了解原系統(tǒng)的特性。對于混沌序列{x1，x2，...，xN}，重構(gòu)相空間如式(1)所示，可看到相空間重構(gòu)中重要的參量是時間延遲和嵌入維數(shù)。

3.1 時間延遲

對于時間延遲來說，如果時間延遲τ 太小，相空間矢量Xi的相鄰延遲點(diǎn)間的差別較小，包含原系統(tǒng)中吸引子的信息量較少，而冗余信息太多，重構(gòu)后的相空間軌跡得不到充分?jǐn)U展，難以獲得混沌系統(tǒng)的實際特性;如果時間延遲τ 太大，獲得的噪聲信息較多，使得軌跡相互分離，導(dǎo)致獲得的信息基本不相關(guān)，也不能獲得原混沌系統(tǒng)的實際特性。故而，必須選擇合適的時間延遲才能有效的分析原混沌系統(tǒng)的特性。

此處選取互信息量算法［9］計算時間延遲。設(shè)離散變量X、Y，其狀態(tài)數(shù)目分別為m、n，則平均自信息量即信息熵定義為:

其中，Pi是變量X 在狀態(tài)i 出現(xiàn)的概率。變量X、Y的聯(lián)合熵定義為:

其中，Pij是變量X 在狀態(tài)i 和變量Y 在狀態(tài)j同時出現(xiàn)的概率，由此定義平均互信息量為:

對于一般情況，互信息為:

對于式(13)，I 第一次達(dá)到最小值的時間可作為相空間重構(gòu)的時間延遲。

3.2 嵌入維數(shù)

對于嵌入維數(shù)來說，如果嵌入維數(shù)選擇的太小，相空間在向低維投影時，會造成虛假交叉;如果嵌入維數(shù)太大，則得到的相空間中噪聲太多而失去了原混沌系統(tǒng)的實際特性。在實際應(yīng)用中，嵌入維數(shù)越大，重構(gòu)得到的相空間中的噪聲越大，系統(tǒng)中的重要信息被淹沒，得到的信息大部分都是噪聲，而且選擇維數(shù)越大，計算的工作量也越大。故選擇合適的嵌入維數(shù)是必要的。

分析時選擇Cao 算法［10］分析混沌跳頻序列的嵌入維數(shù)，Cao 算法的具體描述如下。定義:

其中，‖·‖為范數(shù)，Xn(i，m)(m)是d 維空間中Xi(m)最近鄰點(diǎn)。求a(i，m)的均值:

當(dāng)m 大于某個值m0時，E1(m)不再變化。對于隨機(jī)序列，理論上E1(m)應(yīng)逐漸增加，但在實際中不容易判斷有限長序列E1(m)到底是在緩慢增加還是已經(jīng)停止變化。所以需要再附加一個條件:

其中，n(i，m)的定義與上面相同。類似(16)式，定義:

對于隨機(jī)序列，序列數(shù)據(jù)間在理想情況下可認(rèn)為沒有相關(guān)性，則E2(m)將始終為1;但對于確定性序列，序列中的數(shù)據(jù)之間關(guān)系是與嵌入維數(shù)m 有關(guān)的，E2(m)不能始終為1。

3.3 仿真實驗

圖3是由互信息量法得到互信息量隨時間變化的t～I(xiàn) 曲線圖，分析時去掉前1 ×104個點(diǎn)，取其后的5000 點(diǎn)做分析。可見當(dāng)t=3，互信息量第一次達(dá)到最小值，根據(jù)互信息量法可知時間延遲τ=3。

圖3 互自相關(guān)法求時間延遲

圖4是由Cao 算法求得的E1、E2隨時間變化的曲線圖，分析時去掉前1 ×104個點(diǎn)，取其后的3000個點(diǎn)做分析。從圖中可以看到當(dāng)d=4 之后，E1、E2基本不再隨時間的變化而變化，則可得到嵌入維數(shù)m=4。

圖4 Cao 算法求嵌入維數(shù)

圖5 中，(a)圖表示Lorenz 流x、y相的混沌跳頻序列的相圖，(b)圖表示Lorenz 流x相的混沌跳頻序列在時間延遲τ=3時的二維相空間重構(gòu)圖，(c)圖表示Lorenz 流x相的混沌跳頻序列在時間延遲τ=1時的二維相空間重構(gòu)圖，(d)圖表示Lorenz流x相的混沌跳頻序列在時間延遲τ=15時的二維相空間重構(gòu)圖。

從圖5 中可以看到，由Lorenz 流生成的混沌跳頻序列，時間延遲的選取對于它的相空間重構(gòu)影響很大。合適的時間延遲τ(如圖5(b)所示)可得到與原系統(tǒng)(如圖5(a)所示)等價的相空間;τ 太小則混沌跳頻序列的重構(gòu)相空間軌跡在主對角線上壓縮(如圖5(c)所示)，不能極大的得到原混沌系統(tǒng)的信息;τ 太大則混沌跳頻序列的重構(gòu)相空間在軌跡上出現(xiàn)分離(如圖5(d)所示)，使得延遲坐標(biāo)間的相互信息丟失。

4 結(jié)束語

分析時首先利用混沌性判別理論研究混沌跳頻序列的混沌性，以Lorenz 系統(tǒng)為例進(jìn)行了驗證分析，并得出Lorenz 系統(tǒng)生成的混沌跳頻序列具有混沌性的結(jié)論。繼而利用相空間重構(gòu)理論對Lorenz流系統(tǒng)生成的混沌跳頻序列分析了時間延遲和嵌入維數(shù)，在對時間延遲的分析中得到時間延遲的選取太大或太小都不能較好的得到原系統(tǒng)的特性，必須選擇合適的時間延遲才能得到與原系統(tǒng)等價的系統(tǒng)。所研究內(nèi)容從混沌領(lǐng)域的研究方向拓展了對混沌跳頻序列的分析，有一定的研究意義和研究價值。

圖5 Lorenz 流混沌系統(tǒng)二維相圖

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