滾動軸承徑向剛度在轉子臨界轉速計算中的應用

馬會防

(上海凱泉泵業(集團)有限公司 技術中心，上海 201804)

轉子的臨界轉速對旋轉機械的設計非常重要，它是合理避開共振區、改善設備動態性能的重要參數。臨界轉速的傳統計算方法[1-2]包括矩陣迭代法、逐段推算法(傳遞矩陣法)、能量法和特征方程法等，但這些方法通常需要簡化計算轉子各分段的質量、剛度等參數。由于工程中實際轉子的模型很復雜，簡化計算會帶來較大的計算誤差，導致計算結果與產品樣機實測結果相差很大。因此，準確計算轉子的臨界轉速是企業技術人員面臨的一個難題。

文獻[3]指出，旋轉機械的臨界轉速在數值上與轉軸的徑向振動固有頻率相同。由于轉子具有多階徑向振動固有頻率，所以對應的臨界轉速也有多階，一般而言，前一、二階最為重要，因為一般轉子都在低階臨界轉速下運行。當不指明第幾階臨界轉速時，一般是指第一階臨界轉速。為便于討論，本例在計算過程中直接用徑向振動固有頻率表示臨界轉速。

1 臨界轉速的計算

對于工作轉速n低于其一階臨界轉速nc1的剛性轉子,要求n<0.75nc1，所以在設計時需要計算一階臨界轉速，以確保其滿足設計要求。圖1為轉子的結構簡圖。

圖1 轉子的結構簡圖

軸承徑向剛度受安裝配合、預緊情況等諸多因素的影響，很難準確計算，最好實測，不具備實測條件時，可采用經驗公式[4-5]計算求得。

下面采用經驗公式計算軸承的徑向剛度，對于圓柱滾子軸承，其徑向剛度計算公式為

(1)

對于角接觸球軸承，徑向剛度計算公式為

K=1.18×103×(DwFrZ2cos5α) ，

(2)

式中：Fr為徑向載荷，N；Z為滾動體數目；l為滾子有效接觸長度，mm；α為接觸角，(°)；Dw為球徑，mm。

聯軸器一端采用的是N319E圓柱滾子軸承，軸承參數Z=8，l=26.5 mm，α=0°，徑向載荷Fr=7 040 N，根據(1)式計算得K=91 137.08 N/mm。

另一端采用的是7319BECBM角接觸球軸承，軸承參數Dw=26.5 mm，Z=8，α=40°，徑向載荷Fr=3 520 N，根據(2)式計算得K=29 176.83N/mm，由于背對背安裝了2套角接觸球軸承，根據彈簧的串并聯特性，總的徑向剛度應為K=58 353.66 N/mm。

用彈簧單元模擬軸承的徑向剛度，建立如圖2所示的轉子三維有限元模型，其中包括軸承內圈。

圖2為加入納米粒子后酯化淀粉基膜材的透射電鏡圖譜。其中，灰色背景為膜材基體，黑色的絲狀部分為納米粒子。從右圖可以看出，納米粒子呈現趨向均一的分散狀態，納米粒子在酯化淀粉基膜材基體中并未出現明顯的聚集體，另外，還可觀察到厚度d≈12.57 nm、19.68 nm的層狀結構。有研究表明，納米粒子呈現定向分散時，主要形成了插層型結構，部分形成剝離型結構[16]。在酯化淀粉基膜材中，納米粒子與淀粉分子、增塑劑相互作用促使納米粒子層狀結構排列規整，促進了插層型結構的形成。

圖2 考慮軸承徑向剛度的轉子有限元模型

通過對該有限元模型的模態計算，得出轉子一階徑向振動固有頻率為61.08 Hz，振型如圖3所示。

圖3 轉子一階徑向振動模型(固有頻率61.08 Hz)

計算得出的轉子二階徑向振動固有頻率為76.53 Hz，振型如圖4所示。

圖4 轉子二階徑向振動模型(固有頻率76.53 Hz)

2 臨界轉速的測試

臨界轉速的測試方法有很多種，包括加速轉子旋轉以跨越共振區的共振法、錘擊模態測試法以及激振器正弦掃描響應法等，由于軸類轉子結構的振型較為簡單，本例采用成本較低的沖擊響應法進行測試。

考慮到轉子一、二階振型，聯軸器處的徑向相對位移均比較大，因此，振動傳感器應布置在產品樣機的聯軸器上。

在測試聯軸器處的徑向沖擊響應時，應使傳感器測振方向與沖擊力方向保持一致，用橡膠錘錘擊的方法施加沖擊力，采集到的時域信號如圖5所示。

圖5 聯軸器處的沖擊響應

對圖5中采集到的時域信號進行快速Fourier變換，結果如圖6所示。

圖6 沖擊響應頻譜

從頻譜圖上可以判斷出一階徑向振動固有頻率為61.75 Hz，二階徑向振動固有頻率為76.75 Hz。

3 對比與分析

3.1 計算結果與測試結果的對比

計算結果與測試結果的對比數據見表1。

表1 計算結果與測試結果數據對比

對比表中數據可知，考慮軸承徑向剛度有限元法的計算結果較接近實測值，一階誤差為1.09%,二階誤差為0.29%。

3.2 游隙對徑向剛度的影響

軸承徑向剛度計算式的前提是假設軸承內部接觸為Hertz接觸，即零游隙，接觸角不變，各向剛度均勻，不考慮油膜。但實際條件下的油膜、游隙等因素均會影響徑向剛度，故最好直接測量軸承的徑向剛度。下面主要探討游隙對軸承徑向剛度的影響。

軸承安裝后一般是正游隙或者負游隙。負游隙是通過預緊減小游隙量。文獻[6]中的算例表明，預緊可使徑向剛度增加幾倍；正游隙不采用任何預緊措施，安裝后游隙大于零，受油膜厚度的影響，徑向剛度將有所減小。

假設負游隙使上述算例中的剛度值K增大10倍，正游隙使剛度值K減小0.5倍，采用新的剛度值10K和0.5K，再次利用前述算例中的模型和計算方法，重新進行計算，計算結果及與實測結果的偏差見表2。

表2 不同徑向剛度下的計算結果

由表2可知，軸承徑向剛度的變化對二階徑向振動固有頻率影響較大，對一階徑向振動固有頻率影響較小，而一階頻率恰好是最重要的參數。這說明，即使估算的軸承徑向剛度與實際值存在較大偏差，計算結果中一階徑向振動固有頻率仍然是比較準確的。

4 結束語

(1)采用彈簧單元模擬軸承徑向剛度的有限元模型計算了轉子的臨界轉速，并采用沖擊激振法實測了聯軸器處的徑向沖擊響應。

(2)探討了游隙對徑向剛度的影響以及徑向剛度對臨界轉速計算結果的影響。

通過實測值與計算結果的對比分析，驗證了采用彈簧單元模擬軸承徑向剛度有限元法的準確性，為滾動軸承支承的轉子臨界轉速的計算，提供了一種較為準確的方法；同時，也可為其他非滾動軸承支承轉子臨界轉速的計算和分析提供參考。