周期導(dǎo)電壁的電磁透射特性探討

李勁，李建明，夏丹，陳伯元，李林，董天臨

（華中科技大學(xué)電子與信息工程系，武漢 430074）

0 引言

開(kāi)有長(zhǎng)槽的導(dǎo)電壁是一種導(dǎo)體-介質(zhì)一維周期結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)在頻率選擇表面、矩形波導(dǎo)和襯底集成波導(dǎo)漏波天線[1]以及電磁屏蔽[2]等方面有廣泛應(yīng)用。周期導(dǎo)電壁的性能不僅與工作頻率、槽的寬度和周期等幾何尺寸有關(guān)，而且與導(dǎo)體的電導(dǎo)率和壁厚有關(guān)。當(dāng)入射波的波長(zhǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于空間周期時(shí)，電磁波與周期結(jié)構(gòu)的相互作用較弱，這時(shí)可以把周期結(jié)構(gòu)考慮為均勻介質(zhì)[3]，均勻介質(zhì)的參數(shù)由周期單元內(nèi)各部分的幾何參數(shù)、物理參數(shù)和分布方式?jīng)Q定，這種簡(jiǎn)化一般對(duì)工頻而言是合理的，但不適用于微波與超高頻技術(shù)。在不能把周期結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為均勻介質(zhì)的條件下，一種常見(jiàn)的處理方法是假定導(dǎo)體的電導(dǎo)率為無(wú)窮大而壁厚為零，也能得出周期導(dǎo)電壁的基本特性，但完全不能反映導(dǎo)體的電導(dǎo)率和壁厚對(duì)其工作特性的影響。隨著工作頻率的提高，這種處理方法的誤差越來(lái)越大，只有如實(shí)地考慮導(dǎo)體有限的電導(dǎo)率和非零的壁厚才能獲得比較準(zhǔn)確地分析計(jì)算結(jié)果。為此，本文針對(duì)最簡(jiǎn)單最基本的一維周期長(zhǎng)槽的情況，介紹了TE 波入射時(shí)周期導(dǎo)電壁的分析方法與計(jì)算結(jié)果。與我們已有的工作[4][5]相比，由于壁厚遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)而不需要考慮壁內(nèi)的場(chǎng)，大大簡(jiǎn)化了分析計(jì)算，但仍然能恰當(dāng)?shù)乜紤]導(dǎo)體有限的電導(dǎo)率和非零的壁厚的影響，更便于實(shí)際應(yīng)用。

1 邊值問(wèn)題

不失一般性，考慮如圖1所示的導(dǎo)體-介質(zhì)一維周期導(dǎo)電壁，其并矢電導(dǎo)率為

圖1 復(fù)電容率（a）和實(shí)電容率（b）周期介質(zhì)的色散曲線

式中σ0是等效面電導(dǎo)率，取決于導(dǎo)體的體電導(dǎo)率和等效厚度，p（x）是電導(dǎo)率沿x 方向的分布函數(shù)，且p（x）=p（xa），即p（x）為一維周期函數(shù)，a為周期；導(dǎo)電壁位于z=0處，上下兩邊是電容率為ε0磁導(dǎo)率為μ0的自由空間。設(shè)有由上部入射同時(shí)不隨y 坐標(biāo)變化（?/?y ≡0）的單位強(qiáng)度y 方向偏振（TE）波。由于周期導(dǎo)電壁的存在，反射和透射的波都要表示為Floquet模式，因此總的電場(chǎng)表達(dá)式應(yīng)為

其中Σ代表對(duì)所有的整數(shù)m（m=…，1，0，1，…）求和，

而Floquet模式函數(shù)為

傳播常數(shù)

上式中kx為基波x 軸方向波矢量，由Maxwell’方程

考查某一確定頻率下的情況，可得到對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)相量表達(dá)式：

因此

設(shè)壁厚遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，不需要考慮壁內(nèi)的場(chǎng)，則在z=0處需要滿足的邊界條件是

式中的J 是導(dǎo)體上下兩個(gè)表面的電流密度之和

這樣得到

以ψi*乘以上各式的兩邊，然后兩邊對(duì)x 在一個(gè)周期a 上積分，利用Floquet模式函數(shù)的正交性

其中δmi是Kronecker δ-函數(shù)，*表示復(fù)共軛，得到

由（5a）求出Ai代入（5b）得

考慮一系列不同的i值，（6）是一個(gè)線性方程系統(tǒng)，由此可求出透射系數(shù)Bi。

2 數(shù)值計(jì)算

設(shè)電導(dǎo)率沿x 方向的分布函數(shù)為

其中d為導(dǎo)體部分的寬度。不難證明，如果m ≠ i 則

否則

對(duì)垂直入射，且取參數(shù)d/a=0.15和等效電導(dǎo)率σ0=5.7×104S，由式（6）可計(jì)算得出各階透射系數(shù)。其中的零階和±1階透射系數(shù)隨相對(duì)頻率a/λ的變化曲線如圖2（a）所示。而保持參數(shù)d/a=0.15和相對(duì)頻率a/λ=0.5不變，透射系數(shù)隨等效電導(dǎo)率σ0的變化曲線如圖2（b）所示。

圖2 零階和±1階透射系數(shù)隨（a）相對(duì)頻率a/λ和（b）等效電導(dǎo)率σ0的變化曲線

由圖2（a）可以看出，當(dāng)周期和波長(zhǎng)接近時(shí)，曲線的變化最為劇烈，也就是說(shuō)，電磁波與周期導(dǎo)電壁之間的相互作用最強(qiáng)；另一方面，由圖2（b）可以看出，等效電導(dǎo)率所代表的導(dǎo)體的電導(dǎo)率和壁厚對(duì)周期導(dǎo)電壁工作特性的影響也是不可忽略的，這與導(dǎo)體的趨膚效應(yīng)理論所得到的結(jié)論一致。

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了TE 波與周期導(dǎo)電壁之間的相互作用，重點(diǎn)是由透射系數(shù)代表的電磁泄漏。分析計(jì)算了最簡(jiǎn)單最基本的導(dǎo)體-介質(zhì)一維周期導(dǎo)電壁，獲得的結(jié)果表明周期和波長(zhǎng)接近時(shí)電磁波與周期導(dǎo)電壁之間的相互作用強(qiáng)，而且導(dǎo)體有限的電導(dǎo)率和非零的壁厚對(duì)周期導(dǎo)電壁工作特性的影響也是不可忽略的。所采用的方法和主要結(jié)論原則上也適用于多維情形。研究結(jié)果可以作為進(jìn)一步分析各類具有導(dǎo)體-介質(zhì)周期導(dǎo)電壁的結(jié)構(gòu)和器件的基礎(chǔ)。

[1]L.Yan，W.Hong，G.Hua，J.X.Chen，K.Wu and T.J.Cui.Simulation and experiment on SIW slot array antennas. IEEE Microwave and Wireless Components Lett [J]，2004，14（9）：446-448.

[2]R.P.Clayton.Introduction to Electromagnetic Compatibility [M].John Wiley &Sons Inc Publication，2006.

[3]M.G.Silveirinha and C.A.Fernandes.Effective permittivity of metallic crystals：A periodic Green’s function formulation.Electromagnetics[J]，2003，23：647-663.

[4]T.L.Dong.New Approach to Analysing Conductor-Dielectric Periodic Structures.Electro.Lett [J]，1987，23：1231-1232.

[5]T.L.Dong，W.J.Li.Millimeter wave reflectivity of Conductor-Dielectric Periodic thin film.Int.J.Infrared Milli.[J]，1999，20：1817-1823.