基于MATLAB的簡諧振動合成圖形的動態演示

谷曉琪，周修文，霍虎，田振國

（北京林業大學理學院，北京 100083）

簡諧振動的合成是力學的主要內容之一，在大學物理的學習中已經對多個同頻率簡諧振動的合成進行了較為詳細的討論，但研究僅局限于兩、三個不同頻率簡諧振動在一、二維坐標中的合成情況，三維無法體現。利用MATLAB 繪出多不同頻率簡諧振動在一、二及三維坐標中合成的波形及軌跡，并依據這些波形與軌跡，探討多個不同頻率簡諧振動的合成規律。

1 研究意義

利用MATLAB GUI 軟件的制作，對一維、二維及三維簡諧振動的授課方式及仿真實驗提供了新的方法。在傳統教學的過程當中，簡諧振動的合成通過示波器來觀察，其合成圖像往往與理論值有較大偏差，其主要存在的問題有以下幾個方面：

1.1 課堂時間緊迫，圖像合成演示的直觀顯示多要在實驗課當中進行操作，不利于學習的及時記憶和直觀了解。

1.2 電路布線不合理引起的交叉干擾、電感漏磁容易引起合成圖像失真[1]。

1.3 示波器無法合成及演示三維簡諧振動的合成圖像。

1.4 示波器探頭種類繁多，對于精確的理論圖形的演示難以企及，且探頭可提供測試需要的保真度往往較低。

1.5 對于簡諧振動合成的計算比較復雜，示波器無法高精度的實現圖形的模擬合成。

針對以上問題制作的MATLAB GUI 簡諧振動合成的程序，能幫助授課教師在課堂上直觀的演示簡諧振動的合成，直觀對比理論測量與實際測量。

2 基本原理

2.1 一維簡諧振動合成原理

2.1.1 多個一維同頻率簡諧振動的合成

設質點在x方向上同時參與n個同頻率簡諧

振動，振動方程[2]為：

其中，l=1,2....n其中Axl為振幅，w為角頻率，ψ為初相位，則質點的合振動為：

分別為和振動的振幅和初相位，由（1）式可知

多個一維同頻率簡諧振動可合成為一個同頻率的簡諧振動，其軌跡是余弦（或正弦）曲線。利用MATLAB 進行合成演示，上述推證可得到證實。

2.1.2 多個一維不同頻率簡諧振動的合成

一般情況下，多個不同頻率簡諧振動的合振動不再是簡諧振動，而是復雜的運動。利用MATLAB 進一步研究可知，多個一維頻率比為有理數簡諧振動的合振動雖然復雜但具有周期性，而多個一維頻率比為無理數簡諧振動的合振動則既復雜又無周期性[3]。

由圖1可知，多個一維同振幅、同相位頻率相差不大簡諧振動的合成，其結果形成多個大小不一的拍[4]。進一步研究可知，多個一維同振幅、同相位頻率相差不大簡諧振動的合振動是這些簡諧振動兩兩合成的幅度減小的拍的疊加，其結果形成n-1個大小不一的拍——多拍現象。其中，主拍的拍幅很大（為單個簡諧振動振幅的n倍），而次拍的拍幅則比較小[5]。

2.2 二維簡諧振動的合成—李薩茹圖形

2.2.1 相互垂直同頻率簡諧振動的合成

當一個質點同時參與兩個不同方向的振動時，一般情況下質點將做平面曲線運動，其運動軌跡的形狀將由兩個分振動的周期、振幅和它們的相位差決定[6]。沿兩個振動的方向分別建立x，y 軸，并以質點的平衡位置作為坐標原點，則這兩個分振動可分別表示為：

在t時刻，質點的位置可由坐標x，y 確定。上述方程是以時間t作為參變量的運動軌跡的參數方程，從中消去t，便得軌跡方程：

此式是橢圓方程，它表示兩個相互垂直且同頻率的簡諧振動合成的軌跡是橢圓。隨著相位差值的不同，合成橢圓的形狀也不同[7]。

2.2.2 相互垂直不同頻率簡諧振動的合成

如果兩個相互垂直的振動頻率不相同，它們的合運動比較復雜，若隨意選取兩種分振動，可以看到合成軌跡是不穩定的，而且沒有規律可循。

（1）兩振動的頻率有很小的差異，可近似看成同頻率振動的合成，不過相位差在緩慢地變化，在范圍內由直線變成橢圓再變成直線等。

（2）如果兩振動頻率相差較大，但有簡單整數比，則合成運動有穩定封閉的運動軌跡，稱為李薩如圖形，其形狀與互相垂直的分振動的角頻率之比、各自初相位以及初相位差都有關系[5]。圖2為兩振動的頻率有簡單的整數比，合成運動為李薩如圖形。運行中可以看到以質點運動軌跡的方式呈現的動畫。

2.3 三維簡諧振動的合成

設分別沿z、y 和z 向的頻率不同的簡諧振動的表達式為：

此方程組就是合運動軌跡的參數方程。

設x、y 和z 向振動滿足頻率比為整數比：

其中1n，n2為不可約的整數，1n和3n為不可約的整數，那么存在：

T=nT1

其中1T是x 方向的振動周期，n是1n和n2的最小公倍數，T就是（1）式描述的空間曲線的參數周期，也就是上述曲線為閉合曲線。以x、y 和z為坐標的空間點在時間T內完成閉合曲線的一次掃描，然后重復掃描，這就是三維李薩如曲線。如果不滿足（2）式，那么（1）式描述的曲線不是閉合曲線[8]。

圖1 一維多個不同頻率簡諧振動合成

圖2 一維多個不同頻率簡諧振動合成

圖3 三維簡諧振動的合成

圖4 仿真流程圖

利用MATLAB 進行三維簡諧振動的合成，得到圖3。可看出，當分振動為簡單整數比時，三維合成的圖像也有類似李薩茹圖像的情況。

3 GUI 界面及仿真流程

利用MATLAB 制作的用戶界面人工操作，用戶通過主頁面選擇所需功能，進入各功能頁面后完成各函數讀取目標，完成函數識別與圖像的合成。整個仿真實驗的流程如圖4。

4 結束語

該實驗通過MATLAB 制作，利用MATLAB 作為仿真平臺，動態顯示多個不同頻率的簡諧振動、互相垂直的不同頻率的兩個簡諧振動、三維簡諧振動的合成，讓學生能在計算機上形象直觀的認識并掌握三維的簡諧振動的合成圖象，尤其是多個、稍大頻率的李薩如圖形的合成，得出大頻率李薩如圖形仿真實驗圖象。

[1]百度文庫.示波器知識百問[EB/OL].[2011-1-12].http：//wenku.baidu.com/view/16647e5e312b3169a451a4b1.html.

[2]馬文蔚等.物理學[M].北京市：高等教育初版社2001：134-136.

[3]藍海江.多個簡諧振動的合成[J].廣西科學院學報，2009，1：22-25.

[4]王寧星.拍圖形的對稱性[J].廣州大學學報，2002，1（5）：89-91.

[5]吳俊，張毓麟，晏世雷等.三個簡諧振動合成的拍現象和實驗儀[J].物理與工程，2008（03）：38-39.

[6]劉慧，王玉連，李勇.MATLAB 在簡諧振動的合成教學中的應用[J].科技信息博士·專家論壇，2010（20）：434-436.

[7]熊德永，馬慧.互相垂直同頻率簡諧振動的合成軌跡方程的推導[J].安徽科技學院學報，2012（02）：27

[8]康文秀.三維李薩如圖[J].物理與工程，2004（01）：11-12.

[9]張國輝.基于MATLAB的函數作圖[J].湖南城市學院學報，2009，18（1）：35-37.