李薩如圖形在系統頻率特性測量實驗中的應用

張海燕，馮蓓娜

（湖南大學 電氣與信息工程學院，湖南 長沙 410082）

頻率特性分析法是控制理論中常用的系統分析法，具有物理意義明確、計算量小、簡單、直觀等優點，易于在工程技術界應用，并且可以采用實驗方法求出系統或原件的頻率特性，易于研究機理復雜或機理不明的系統，也適用于某些非線性系統。有效地利用頻率特性曲線而不必求解復雜的解析式，對于無法取得數學模型的復雜對象來說尤為重要[1－2]。然而，由于課本上相關章節的內容抽象、復雜，該部分內容的教學一直是自動控制原理課程教學中的重點和難點，而做好課程實驗對幫助學生理解和掌握理論知識及提高動手能力都具重要意義。根據自動控制原理的教學大綱要求，系統頻率特性的測量實驗是自動化、電氣工程、電子、儀器儀表類本科生的必做實驗。

控制系統的頻率特性反映正弦信號作用下系統響應的性能。由于穩定的控制系統的正弦輸出信號與輸入信號頻率相同，故利用李薩如圖形可以測量2個同頻率信號的幅值比（幅頻特性）和相位差（相頻特性）[3－4]，這種方法簡單方便，易于掌握和實現。

1 李薩如圖形簡單介紹

在示波器的Y通道和X通道分別加上不同信號時，示波器屏幕上光點的徑跡將由2個信號共同決定，如果這2個信號是正弦波，則屏幕上的圖形將取決于不同頻率比以及初始相位差而表現為形狀不同的圖形，這就是李薩如圖形[5]。在兩信號頻率相同的情況下，李薩如圖形是簡單的封閉曲線。

李薩如圖形的大小由2個正弦輸入信號的最大振幅決定，形狀和光點的運動方向則由相位差決定。當2個信號頻率相同且相位差一定時，李薩如圖形是唯一的，且與輸入信號的初相位無關[6－8]。

根據相位差的不同，李薩如圖形的形狀和光點運動方向如圖1所示[9]（以相位差為特殊情況為例）

根據以上分析，只要測出不同頻率點李薩如圖形（見圖2）所示的xm、ym、x0或y0（xm為輸入信號的最大幅值，ym為輸出信號的最大幅值，2x0和2y0為橢圓與x軸和y軸交點間的距離），便可計算出系統在各頻率點的幅值比和相位差，結合光點的運動方向便可以判斷相位的超前滯后情況，進而作出系統的頻率特性曲線（曲線繪制方法見文獻10）。

圖2 李薩如圖

2 測量方法舉例

一個典型的二階系統可以用圖3的電路圖來模擬[11]。

圖3 典型二階系統電路圖

具體測量步驟如下：

（1）按圖4所示連接電路圖；

（2）調節示波器至正常工作狀態；

（3）將系統的輸入U1和輸出U2分別接入示波器的X通道和Y通道；

（4）調節X、Y通道信號，將圖形移至示波器熒光屏的中心；

（5）此時熒光屏上顯示如圖2所示的李薩如圖形，測出xm、ym、x0或y0；

（6）保持輸入信號幅值不變，改變輸入頻率，觀察李薩如圖形的變化，測量對應xm、ym、x0或y0；

（7）計算幅頻特性和相頻特性；

（8）根據計算值繪制頻率特性曲線。

其中，根據幅頻特性的定義，幅頻特性的計算公式應為L（ω）＝ym／xm，因為在實驗過程中一直保持輸入信號的幅值不變，所以xm只需測量1次即可。

相頻特性的計算公式推導如下：

若控制系統的輸入信號（接示波器x軸）為

控制系統的輸出信號（接y軸）為

則有：

用式（3）或式（4）計算所得的相頻特性與理論上應該是一樣的，因為實驗過程中xm始終保持不變，所以用式（4）計算可以減少工作量，提高精度。

上式適用于橢圓長軸在一三象限，若橢圓長軸在二四象限時，計算公式變為：

上述相頻特性計算公式推導過程中，是默認了y軸信號超前x軸信號的情況。應當指出，實際的系統中一般輸出是滯后于輸入的[12]，若用上述公式進行計算，則計算結果應加負號。現就不同情況下的相頻特性計算公式等列于表1。

表1 不同情況下相頻特性

3 結束語

李薩如圖形法測量系統頻率特性簡單、直觀，方便易行，不僅有助于學生理解和掌握課堂內容，也為以后從事相關研究工作打下基礎。但測量精度不高，且受輸入頻率影響較大，當頻率較高時，光點的運動方向不易看出，只能靠測量數據的連續行來估算相頻特性的正負號。另外，當2個信號的相位差接近于0或π時，李薩如圖形接近直線，此時測量誤差較大。所以實驗時，選取合適的頻率點對測量精度有較大影響。

（References）

[1] 梅曉蓉.自動控制原理[M].北京：科學出版社，2007.

[2] 胡壽松.自動控制原理[M].北京：科學出版社，2007.

[3] 管莉.李沙育圖形在測量中的意義[J].鄭州鐵路技術職業學院學報，2004，16（1）：55－56.

[4] 王靖.電子示波器對兩個同頻正弦信號相位差的兩種測量方法的對比分析[J].黔西南民族師范高等專科學校學報，2010（1）：110－112.

[5] 張永瑞.電子測量技術基礎[M].西安：西安電子科技大學出版社，2009.

[6] 張偉剛，陸曉.相互垂直簡諧振動合成規律CAI演示軟件[J].廣西工學院學報，1995，6（3）：48－52.

[7] 楊繼先.李薩如圖形的性質研究[J].西華大學學報：自然科學版，2008，27（6）：98－100.

[8] 趙波.關于李薩如圖形討論的小結[J].大學物理，1997，16（11）：19－21.

[9] 宋明秋.李薩如圖形及其應用[J].遼寧師專學報，2010，12（1）：23－86.

[10] 谷雷.繪制系統開環對數頻率特性曲線的教學方法與技巧[J].科技信息，2011（35）：453－454.

[11] 北京精儀達盛科技有限公司.自動控制理論實驗指導書[M].2版.北京精儀達盛科技有限公司.

[12] 張玉蓮，宋雙杰.李薩如圖形在檢測系統中的應用[J].力學與實踐，2006，28（5）：54－57.