數字音頻里LMS算法及其改進算法研究

但 曄 黃 虎

(成都理工大學信息工程學院，四川 成都 610061)

1.引言

LMS算法具有低計算復雜度、在平穩環境中的收斂性好、其均值無偏地收斂到wiener解和利用有限精度實現算法時的穩定性等特性，使其成為自適應算法中應用最廣泛的算法。本文對LMS算法及其改進算法(NLMS算法、泄露LMS算法等)進行了詳細的研究，并對其性能及應用進行了仿真。

2.LMS及其改進算法

2.1 自適應濾波

自適應濾波器與普通濾波器不同，它的沖擊響應或濾波參數是隨外部環境的變化而變化的，經過一段自動調整的收斂時間達到最佳濾波的要求。自適應濾波器本身有一個重要的自適應算法，這個算法可以根據輸入、輸出及原參數量值，按照一定準則改變濾波參量，以使它本身能有效地跟蹤外部環境的變化。原理如圖1所示，圖中離散時間線性系統表示一個可編程濾波器，它的沖擊響應為h(n)，或稱其為濾波參數。自適應濾波器輸出信號為y(n)，所期望的響應信號為d(n)，誤差信號e(n)為d(n)與y(n)之差。期望響應信號d(n)是根據不同用途來選擇的，自適應濾波器的輸出信號y(n)是對期望響應信號d(n)進行估計的，濾波參數受誤差信號e(n)的控制并自動調整，使y(n)得估計值于所期望的響應d(n)。

圖1 自適應濾波器原理圖

2.2 LMS算法

圖2 自適應LMS算法信號流圖

最小均方(LMS)算法，這是一種用瞬時值估計梯度矢量的方法，而且這種瞬時估計法是無偏的。利用時間n=0的濾波系數矢量為任意的起始值w(0)，然后開始LMS算法的計算，通過推導我們得到其更新公式：

收斂因子應滿足以下收斂條件：

2.3 LMS算法改進形式

2.3.1 NLMS算法

如果不希望用與估計輸入信號矢量有關的相關矩陣來加快LMS算法的收斂速度，那么可用變步長方法來縮短其自適應收斂過程，其中一個主要的方法是歸一化LMS(Normalized LMS，縮寫為NLMS)算法。其更新公式如下式所示：

2.3.2 泄露LMS算法

泄露LMS算法的迭代公式如下式所示：

收斂因子應滿足下列收斂條件：

3.組合自適應濾波器

組合自適應濾波器的基本思想是對兩個或兩個以上的自適應LMS算法并行實現。在每次迭代中選擇最合適的算法，選擇最佳的加權系數值。最佳的加權系數是指在給定的時刻，與相應的維納矢量值最接近的值。設Wi(k，q)是LMS算法中，參數為q，時刻為k時的第i個加權系數，在瞬間選擇參數q和系數k。對所有算法歸一化：LMS：q≡ ，GLMS：q≡a，SA：q≡ 。LMS算法的執行主要取決于q值，在每個迭代中有一個最佳值qopt，得到最佳表現的自適應算法。在組合自適應濾波器中，含有幾個相同類型的LMS算法，但其參數q是不同的。

加權系數是分布在Wi*(k)周圍的隨機變量，它與bias(Wi(k，q))及方差 σq2的關系式如下[4，9]：。

(7)式中的概率P(κ)取決于κ的值。例如當κ=2且滿足高斯分布，則 P(κ)=0.95。

Wi(k，q)的置信區間定義為：

從(7)式到(8)式可知，只有 |bias(Wi(k，q))|<κσq，則 Wi*(k)∈Di(k)，與q無關，這意味著，對于較小的偏差bias，對于同一LMS算法的不同q值，其置信區間相交。當bias變大，不同q值的置信區間的中心點距離增大，他們將變得不相交。

由于對bias(Wi(k，q))沒有先驗知識，我們將使用一種特殊的統計方法得到的自適應算法的選擇準則，即q的取值。這個準則遵循以下權衡條件：偏差與方差具有相同數量級，即 |bias(Wi(k，q))|≌κσq[4]。

組合自適應算法如下：

第1步：首先設定Q={qi，q2，…}，對不同的q值計算Wi(k，q)。

第2步：估算每個算法的方差σq2。

第3步：判斷各算法的Di(k)是否相交。從具有最大方差值的算法開始，再到方差值較小的算法。根據(7)，(8)和上述的權衡條件，可按下式進行判斷：

若上式成立，則Di(k)相交。

如果Di(k)不相交，則選擇具有最大方差值的算法。兩個置信區間不相交意味著滿足了權衡條件，所以選擇具有最大方差值的算法。如果Di(k)相交，則偏差已經很小，因此，檢查另一對新的加權系數，如果已經是最后一對，則選擇具有最小方差值的算法。

第4步：轉到下一時刻。

Q集的最小元素個數L=2。在這種情況下，其中的一個q應能提供最大方差，而另一個q應提供穩定狀態下的小方差。通過觀察發現，在這兩個q值之間增加q的數量，可以對算法的瞬態行為進行一定的改進。

需要注意的是，在(9)式中只有方差是未知的。在仿真中我們參考文獻[4]對σq2進行估算：

對于穩定狀態下的標準的LMS算法，σq2=qσn2。

組合自適應算法的復雜性取決于組成算法 (第1步)和決策算法(第3步)。由于使用并行硬件實現，并行算法的加權系數計算并未增加計算時間，但增加了硬件要求。方差估算(第2步)由于使用獨立的硬件實現，所以其對算法復雜度的增加可以忽略不計。

4.結論

通過以上分析可知，如果不希望用與估計輸入信號矢量有關的相關矩陣來加快LMS算法的收斂速度，那么可用變步長方法來縮短其自適應收斂過程，其中一個主要的方法是歸一化LMS算法，為了達到快速收斂的目的，必須合適地選擇變步長μ(n)的值，一個可能的策略是盡可能多的減少瞬時平方誤差，即用瞬時平方誤差作為均方誤差MSE的簡單估計。一般來說，較小的收斂因子會導致收斂速度較小的失調。

當輸入信號自相關陣的一個或多個特征值為0時，由于非線性量化的影響，自適應濾波器有可能不能收斂。通常，采用泄露技術來防止這一現象的發生。在自適應濾波器權系數的更新中引入一定的非線性變換，可以在一定程度上簡化權系數更新過程中的乘法運算，并因此簡化LMS自適應濾波器的硬件或程序實現。

[1]何振亞著.自適應信號處理[M].北京：科學出版社，2002.

[2]劉波，文忠，曾涯等.MATLAB信號處理[M].北京：電子工業出版社，2006.

[3]邱天爽，魏東興，唐洪，張安清等.通信中的自適應信號處理[M].北京：電子工業出版社，2005.

[4]李勇，徐震等.MATLAB輔助現代工程數字信號處理[M].西安：西安電子科技大學出版社，2002.