使用數學軟件改造線性代數課程的教學改革探討

萬冰蓉，李小玲

（南昌工程學院 理學系，江西 南昌 330099）

為推進現代信息技術在課程教學中的應用，探索課程教學模式、內容和方法改革，提高學生可持續發展能力，2008年9月，教育部組織實施了“使用信息技術工具改造課程項目”，并于2009年1月批準“用MATLAB及建模實踐改造工科線性代數”這一項目立項，交由西安電子科技大學牽頭負責.該項目提出的對線性代數課程的基本教學理念和目標是應用線性代數培養大學生科學計算的能力，以推動在其它課程中應用線性代數分析和解決問題，進而增強學生的應用能力.由于在工科專業開設線性代數課程主要是為后續專業課程服務的，所以我認為這一教學理念和目標應該被線性代數教師認同.但是，在具體實施過程中，各院校，尤其是辦學層次不高的院校會遇到一系列問題，以致于實施后的效果可能還不如傳統教學下的教學效果，這一教學改革無法得到廣泛實施.因此，我們針對工科專業“使用數學軟件改造線性代數課程，培養學生應用能力”的必要性和可行性進行探討，分析教學改革將遇到的問題及解決辦法.

1 使用數學軟件來改造線性代數教學的必要性

1.1 線性代數應用的廣泛性及計算的復雜性需要使用數學軟件來改造教學

線性代數學科是數值計算理論的基礎，常用于解決離散化問題，廣泛應用于理論物理、理論化學、工程技術、國民經濟、生物技術、航天等領域.因此各高等院校都將線性代數課程設置為理工類、經管類各專業的基礎課，以便后續專業課的學習.[5]中列出了理論力學、材料力學、電路、信號與系統、數字信號處理、自動控制原理等十多門課程中能用到線性代數的具體內容，例如，理論力學中的靜力學平衡方程([2]例7.1.2)、材料力學中的超靜定系統方程([2]例7.2.1)、電路中的直流穩態電路([1]例6.6.3)和交流穩態電路([2]例8.1.1)等都要用到高階線性代數方程組求解，自動控制原理中的最優控制([3]8.5節)等需要用到矩陣的對角化和特征值.

可以看出，由于我們需要研究的問題越來越復雜，往往涉及成百上千的變量，當考慮把變量之間的關系簡化為線性來求解時，遇到的都是高階線性問題，不能依靠手算，所以線性代數中的科學計算問題就顯得非常重要.一旦利用數學軟件來改造線性代數教學，必定能讓學生了解更多的應用性實例，拓展學生的思維.

1.2 體現線性代數的實用性以激發學生的學習興趣，需要利用數學軟件來改造教學

2010年6月，課題組對南昌工程學院2008級水利水電工程專業學生發放了146份問卷調查表.（該專業學生于2010年1月已經結束了線性代數課程的學習，當時采用的是以理論為主的傳統教學方式，學時數為40，教材為同濟五版線性代數.）其中，關于改革的必要性調查設置了3個問題，調查結果如表1：

問題1和問題2選擇了選項C的學生的百分比從15.1%增加到22.6%，這種增加幅度對于省屬的二本院校是合理的.因此可以看出絕大多數學生在填寫調查問卷時態度是認真的，我們獲取的數據是真實有效的.調查數據顯示：高中時期對數學的興趣，喜歡的占41.8%，一般的占43.2%.但進入大學后，在傳統教學方式下能主動學習線性代數的只有22.6%，54.8%的學生學習態度一般，如果教學時突出線性代數的應用將有60.3%的學生的學習態度會發生積極性轉變.這反映出工科專業的學生主動學習線性代數的動力不再是通過考試，而是實用.因此，線性代數的教學目的不應該只是讓學生掌握好線性代數的理論體系，這種為學習而學習會大大降低學生學習的興趣和主動性，而應該通過體現知識的實用性來激發學生的學習興趣.

表1

2 使用數學軟件來改造線性代數教學的可行性

2.1 已經具備利用MATLAB改造線性代數教學所需的硬件設施

近幾年來，各高校的教學條件都發生了巨大變化，基本都配有一定數量的多媒體教學設備，有的高校多媒體教室的數量甚至達到80%以上.所有的高校都有充足的機房并安排了固定的對外開放時間，學生自配電腦的數量也逐年在增加.這些硬件設施足以保障教師在課堂教學上能利用數學軟件來演示線性代數中的各種計算，也能保障學生課后的上機練習.

2.2 利用MATLAB改造線性代數教學的教學資源豐富

國外有些國家（如美國）對線性代數的該項教學改革已經普遍實施，我們可以借鑒其經驗和資源，吸取其教訓.教育部項目“用MATLAB及建模實踐改造工科線性代數”的研究成果中有大量的可用資源，如教材、課件，尤其是其中有很多可用的線性代數的應用實例，這些資源可從www.matlabedu.cn上下載.此外，國內涉及線性代數中引入MATLAB計算及線性代數應用的教材也越來越多.我們可以根據本校的實際情況選擇使用，或對其進行修改使用.

2.3 可以通過各種方式幫助教師掌握MATLAB軟件的應用和線性代數在各專業中的應用實例

要順利實施“利用MATLAB改造線性代數教學”的教學改革，教師應該熟練且全面掌握MATLAB軟件在線性代數中的應用和線性代數在各專業中的應用實例，這需要教師投入更多的時間來學習.因此首先要做好教師進行教學改革的動員工作，要讓他們了解國內外線性代數教學的發展趨勢，深刻認識到線性代數教學改革的必要性和重要性，這樣才能使教師能積極主動的進行學習.此外要通過各種方式幫助教師學習，如教學團隊自身開設討論班或外請有經驗的教師開設系列講座，也可以幾個學校聯合起來組織培訓班等，甚至可以邀請相關專業課教師一起學習，以助于線性代數與后續專業課程的無縫對接.

3 教學改革的主要內容

我們應該如何使用數學軟件改造線性代數課程，才能達到培養工科專業學生應用能力的目的呢？線性代數課程的教學現狀能給予啟示.

3.1 教學現狀

我們調查了江西省8所本科院校中工科專業的線性代數課程教學大綱.教學大綱顯示，這些院校的線性代數教學內容基本都為行列式、矩陣的運算及初等變換、向量的線性相關性、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量和二次型；理論教學學時數主要有36、40和48三種，實驗教學學時數都為0.使用教材大部分為同濟大學編寫的《工程數學——線性代數》，該教材重在介紹線性代數的理論知識，基本不介紹典型問題的應用實例.因此很多教師在理論教學時都基本不補充介紹線性代數的應用實例，由于沒有安排線性代數實驗課時，更不會介紹如何使用數學軟件來幫助計算，這必然導致學生所學的理論知識不會用于解決專業課程中的問題，即便會用，也可能因為問題的復雜性使得算不出來.因此，目前很多院校的工科專業開設的線性代數課程都不能有效地為后續專業課程服務，線性代數的作用只能在碩士研究生入學考試中得到體現.

3.2 教學改革重在改革教學內容和教學手段，實現課堂教學和實驗教學的有機結合

為使線性代數能更好地為專業服務，改革后的教學內容應該做到：（1）保持理論體系基本完整；（2）介紹與重要概念或重要理論相關的應用實例，尤其是有專業背景的實例；（3）介紹數學軟件中和線性代數相關的一些常用命令；（4）演示應用數學軟件求解應用實例的過程.教師在課堂教學中應采用多媒體來演示應用數學軟件求解線性代數典型問題，尤其是應用實例的過程.將實驗教學自然融入到課堂教學，實現課堂教學和實驗教學的有機結合.

4 實施教學改革將遇到的關鍵問題及解決辦法

在上述調查的江西省8所本科院校中，我們發現75%的院校工科專業線性代數課程的學時數不超過40，大部分為36.西安電子科技大學的線性代數理論教學學時數為46，在引入MATALAB教學后增加了4學時，在50學時的情況下他們的目標是實現實踐與理論的有機結合.與之相比，江西省本科院校的線性代數教學學時數普遍都偏少.在傳統教學方式下，學時數為48的院校可以詳細講解線性代數的基本概念、基本理論和基本方法，能讓學生掌握完整的知識體系，并且能夠安排一定量的習題課，而36學時的院校只能側重講解其中各種典型問題的基本解法.因此對大多數本科院校來說，解決線性代數教學學時與教學內容之間的矛盾是成功實施教學改革的關鍵問題.我們可以從以下幾個方面來緩解這個矛盾.

4.1 獲取學校政策上的支持，增加一定數量的課時

首先要使學校管理層充分認識到使用信息技術工具來改造線性代數教學的必要性及改造后可能會產生的積極影響——提高學生的科學計算能力及解決實際問題的能力.事實上，有些本科院校已經對高等數學課程進行了類似的教學改革，這也意味著學校管理層意識到數學實驗對提高學生科學計算能力的重要性，那為什么其中的一些院校不把這種教學改革延伸到線性代數上呢？這里主要存在的問題就是需要增加實驗課時.由于有些高校線性代數課程的原有課時已經偏少，要增加實驗課時意味著要減少某些其它課程的課時，這需要修改相關專業的教學計劃，相對比較復雜.開設線性代數實驗需要多少課時呢？根據調查以及我們的分析，對已經開設高等數學實驗課的高校，學生已經具有使用數學軟件的基礎，至少需6課時才能滿足基本需要；對未開設高等數學實驗課的高校至少需要8課時左右.為使問題簡單化，我們考慮有兩種可行的解決辦法.可將高等數學和線性代數兩門課程合并為一門課程，開三個學期，統籌安排課時；或者直接從高等數學課程的兩個學期中劃撥一定課時給線性代數.這種變化只涉及一個教學單位，相對容易處理，而且一般高校高等數學課程課時都比較充足，減少少數幾個課時影響不大.

4.2 弱化理論、側重應用與算法的實現，開設公選課為考研學生強化理論

傳統的線性代數教學強化理論，弱化應用，為體現線性代數的應用性面向少量學生開設公選課.這種做法和線性代數服務于后續課程這一基本目的有一定的偏離.對大部分工科專業學生而言，從知識層面看他們只需要了解線性代數的基本理論，更重要的是熟練掌握其中各種典型問題的應用領域及解決方法；從能力層面看，重點在于用線性代數分析和解決實際問題的能力而不是理論分析的能力.所以線性代數教學應該是弱化理論、側重應用和算法的實現.但目前碩士研究生入學考試線性代數側重考查學生對基本概念、基本理論和基本方法的掌握情況，其中包括對理論的綜合分析能力，這要求學生具備扎實的理論基礎.改革后的線性代數教學弱化了理論，勢必弱化了學生的理論分析能力.如何解決這一矛盾呢？由于考研學生的數量不太多，而且自學能力相對較強，學校可以在下一個學期以開設公選課的方式為這部分學生強化理論分析能力.這種做法還恰好起到了考研前第一輪復習的作用，而且很自然的將考研的準備時間提前了半年，效果會好于傳統的做法.

4.3 建設好線性代數課程教學網站，幫助學生課外學習

作為課堂教學的補充，可利用課程網站供學生課外自主學習，并起到監管學生學習的作用.網站中的教學資源除包含課堂教學課件、線性代數實驗指導書等基本教學資源外，還應提供豐富的線性代數的應用及其算法的實現的案例，以及線性代數的考研資源.學生能根據自身的需要自主選擇內容進行學習，以彌補課堂教學課時的不足造成的理論和應用不能同時兼顧的現象.

5 結束語

在當今信息技術快速發展的時代，多數應用型本科院校具備了使用信息技術工具來改造線性代數教學的基本條件，為了能更有效地培養學生的應用能力，線性代數的教學改革勢在必行，而且可行.我們相信只要教師對教學改革的必要性具有深刻的認識，面對困難時具有迎難而上的精神，“使用MATLAB改造線性代數課程”這一教學改革就能成功.

〔1〕陳懷琛.線性代數實踐及MATLAB入門[M].電子工業出版社，2005.10.

〔2〕陳懷琛.MATLAB及其在理工課程中的應用指南 （第二版）[M].西安電子科技大學出版社，2004.12.

〔3〕陳懷琛，吳大正，高西全.MATLAB及在電子信息課程中的應用（第二版）[M].2003.7.

〔4〕陳懷琛.數字信號處理教程——MATLAB釋義與實現[M].電子工業出版社，2004.12.

〔5〕陳懷琛.對“線性代數”課程大綱的建議.http://chen.matlabedu.cn/a/jiaoxuegaigelunwenjianyi/.2006.4.

〔6〕李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學，2006(1).

〔7〕耿秀榮.高等數學應用能力研究的現狀綜觀[J].北京教育學院學報(自然科學版)，2006(3).