蒸汽腔演變與SAGD產量預測的數學關系研究

許曉宏，王丹霞 （長江大學地球科學學院，湖北 武漢430100）

由式（13）可以總結出蒸汽腔體積隨時間推移而不斷增大。蒸汽腔的高度（h）增大到注汽井口與油藏頂端之間高度（hi）時所需要的時間為（ti），其計算公式為：

隨著稠油油田進入蒸汽吞吐和蒸汽驅熱采的后期，蒸汽輔助重力泄油 （Steam Assisted Gravity Driange，SAGD）逐漸成為成熟的接替性技術。SAGD是一種合理整合了水平井技術、重力作用以及蒸汽熱能的稠油熱采技術。然而，現有對SAGD產量預測的研究中，多數分析模型側重于油藏的泄油能力，忽略了SAGD技術實施過程中的技術細節。SAGD生產環節中，蒸汽腔的演變過程對驅油效果極為重要，控制注汽干度、注汽速度、排液速度等參數，可以使液體最大程度的泄流到生產井內。除此之外，合理調整生產速率以及井底溫壓有利于提高原油的累計采收率和汽油比。

圖1 SAGD蒸汽腔泄油模式圖

1 蒸汽腔演變及重力泄油原理

由注汽井持續向油藏內注入蒸汽，蒸汽依次向上方、四周、下方運動，最后形成完整的蒸汽腔體 （見圖1），其縱剖面形狀類似于窄面的扇形。蒸汽腔內表面的蒸汽冷凝，向周圍油藏釋放熱量。油藏中受熱降黏的原油與冷凝液在重力作用下被驅向水平生產井，發生泄流。加熱區前緣向上方的油藏推進，既保持了油藏的壓力和驅動力，又可以提高蒸汽波及范圍。SAGD生產后期，蒸汽腔逐漸到達油層頂部，熱傳遞在上覆巖層下面的四周進行。

2 蒸汽腔數學模型

加拿大學者Butler最早開始研究SAGD稠油熱采技術???Butler R M.Thermal Recovery of Oil and Bitumen，Englewood Cliffs.N J：Prentice Hall，1991：285－359.?Butler R M.Horizontal wells for the recovery of oil，gas and bitumen.Calgary：The Petroleum Society of CIM，1994.，并給出理想模式下水平生產井一微元段的泄流量公式：

式中，qm為最大產液量；h為蒸汽腔的高度；k為儲層的有效滲透率；g為重力加速度；a為儲層熱擴散率；φ為孔隙度；ΔSo為可流動油飽和度；vs為蒸汽溫度下的原油黏度；m為黏度常數，m≈3。

根據Butler的公式可知，在儲層的有效滲透率、儲層熱擴散率、孔隙度、可流動油飽和度、蒸汽溫度下的原油黏度，已知的情況下，影響一微元段水平井的泄流量主要因素是蒸汽腔所波及到的油層厚度。因此蒸汽腔高度（h）即為被波及的油層厚度 （見圖2）。基于這一認識可以得出以蒸汽腔高度為變量的泄流量表達式：

式中，hp為油藏頂與生產井之間的距離（h＜hp）。

隨著蒸汽腔的不斷擴展，蒸汽腔的垂向高度不斷增加，假設其形狀不發生變化，則累計泄油量與蒸汽腔單位面積的可流動原油及蒸汽腔高度成正比。蒸汽腔的高度（h）如圖2簡化的一微元段蒸汽腔數學模型所示。蒸汽腔寬度的表達式為2b，且b＝c·h，c是與蒸汽腔形狀有關的常數。則一微元段的蒸汽腔體積可以表示為：

圖2 SAGD蒸汽腔泄流模型

而一微元段的泄油體積即為儲層中被釋放的孔隙體積：

由式（1）～ （3）可得：

式 （4）僅適用于泄油速率與生產速率一致的情況下。

3 SAGD產量計算

注汽井內注入的蒸汽遵守能量守恒定律??Nukhaev M，Pimenov V，Shandrygin A，et al.A New Analytical Model for the SAGD Production Phase，San Antonio：Texas，2006：24－27.。注入蒸汽冷凝過程中釋放出的熱量，一部分被加熱油層吸取，另一部分則持續向上透過油層擴展演變成另一個蒸汽腔的邊界。其熱量守恒表達式為：

被蒸汽腔波及油層所吸收的熱量表達式為：

蒸汽腔高度和蒸汽腔界面溫度是決定蒸汽腔體積的重要因素。蒸汽腔界面的溫度ΔT表達式為：

透過油層持續向上運動擴展的蒸汽熱量表達式為：

式中，L為蒸汽冷凝的熱量；P為蒸汽腔的周長；ρc為油藏的體積熱容；u為蒸汽腔邊界的局部速度；ξ為到界面的法線距離。

蒸汽腔上升過程中，因為流體對流與熱損失的相互作用，所以不會形成完整的扇形蒸汽腔。圖1所示蒸汽腔為便于計算的理想數學模型，實際上并不存在上邊界，因此蒸汽腔上邊界不算在周長內。蒸汽腔邊界的推進速度就是蒸汽腔高度的增長率（u＝dh／dt），由式（6）可得：

另外，蒸汽腔體積的增加也受到原油產量的影響，原油產量的公式為：

由于預加熱階段的注入蒸汽熱量和壓力不斷增大，使得油藏的泄油速度增加［1］。因此式（8）與式（3）的泄油量公式有所不同。總產量可以表示為：

將式（7）和式（8）帶入到式（9）中，可以得到關于A的表達式：

通過式（8）可以得出原油產量與總產量之間的關系表達式為：

由式（11）可知，當qp與最小產量值qp1的無限接近時，意味著只生產冷凝液，而且蒸汽冷凝過程中釋放出的熱量被其周圍的油藏吸收。通過qpo的表達式可以推導出蒸汽腔體積的變化公式：

由式（13）可以總結出蒸汽腔體積隨時間推移而不斷增大。蒸汽腔的高度（h）增大到注汽井口與油藏頂端之間高度（hi）時所需要的時間為（ti），其計算公式為：

當t＜ti時，油藏中的對流現象以及溫度變化情況相當復雜。但是，當t＞ti時，可以通過計算預測生產井內泄入流體的溫度變化規律［2］。根據公式（1）和公式（13），可知隨著時間的變化產液量不斷增加。當qm＜qpo時，產水量始終低于產油量；然而高產時期（t＞tp）容易產生汽竄現象：

滿足產油量與總產量相等時的蒸汽腔高度（hs）公式為：

根據以上分析和計算公式，給出原油的產量公式：

式中，qλ為蒸汽腔邊界的流體導熱系數；tf為蒸汽腔高度擴大到油藏高度的時間。

經數值模擬和室內試驗證明，當蒸汽腔高度達到油藏頂端時，原油產量開始下降。當tf近似等于ts（qp2≈qp1，t≈1）時，式（16）成立，且原油產量隨tλ推移而下降。

4 結 論

（1）建立SAGD生產階段的產量數學模型，可以更好地解釋泄流量與蒸汽腔演變之間的數學關系。通過數學模型相關公式，可以計算不同生產階段由蒸汽冷凝散熱作用而產生的泄流量和油水比值。

（2）該數學模型可以預測蒸汽腔底邊緣接近注汽井的時間，以及生產井中的泄流流體溫度的遞增變化。早期的汽竄現象發生在高產時期，通過該數學模型可以預測SAGD生產后期的汽竄發生時間。

［1］郭二鵬，劉尚奇，王曉春，等 .直井與水平井組合的蒸汽輔助重力泄油產量預測 ［J］.斷塊油氣田，2008，15（3）：71～74.

［2］于九政，劉易將，劉芳 （編譯）.蒸汽輔助重力泄油數學模型 ［J］.國外油田工程，2009（3）：13～16.