空間幾何體基本元素的解讀、聯想與發散

謝 卉

楚雄師范學院數學系，云南楚雄 675000

在日常的生活當中，我們所說的平面是那種很平的面，但是都是有限度的，平面在立體幾何當中是非常理想化的，是那種非常平而且無限延伸擴展的。在立體幾何當中，平面是不可度量的，也是無限延展的，因為構成平面的元素直線本身就是無限延伸擴展的，我們只能夠畫出一部分直線，平面能夠包含直線，就是因為直線的這個無限延展的特性。在立體幾何當中，平面是不分大小和厚薄的，它跟平面幾何當中的圖形基本上是不相同的，在平面幾何中，平面的圖形是能夠區分大小的。

1 質疑與聯想

1）點動成線的意思就是把線段當成是一個點運動之后的軌跡，如果是一條直線或者線段的話，那說明這個點在運動的過程當中從來就沒有改變運動的方向。如果這個點在運動時候一直改變運動方向的話，那它運動過后的那個軌跡就是一條曲線或者是一條曲線段。；

2）線動成面的意思就是一條直線在不改變方向的平行運動之后，軌跡所形成的一個平面，如果在運動過程中改變了運動方向，那軌跡就是一個曲面了。直線也可以繞著一個固定的點進行轉動，之后所形成的就是一個錐面了；

3）面動成體的意思就是當一個面進行有規則的運動之后，軌跡就會形成一個空間幾何體了；

4）長方體的性質。在長方體當中，有一個性質：在長方體里，它的對角線長度的平方與定點的三條長的平方和相同。這是長方體中一個很重要的性質，在做題的時候會經常用到它。

2 相關的概念

2.1 異面直線的意義

在不同的平面內，如果兩條直線既不平行又不相交，那就叫做這兩條直線為異面直線。因此我們可想而知，在空間當中，兩條直線的關系能夠有三種，平行、異面和相交。

2.2 直線與平面

如果一條直線和一個平面沒有相交的點，那我們可以說這個明面與這條直線是平行的。

2.3 直線和平面的垂直關系

如果一條直線與一個平面相交，且與這個平面相交的地方能夠形成一個直角，那就說這條直線與這個平面是垂直關系。

2.4 平面垂直

兩個平面相交之后且其中有一個平面穿過了另外一個平面的垂線，那么我們就說這兩個平面是相互垂直的。

2.5 平面之間相互平行

平面相互平行的概念最是簡單也較為容易理解，如果兩個平面沒有相交點也就是公共點的話，那么我們就說這兩個平面是相互平行的關系。

3 相關的公理

在幾何體之中，有這樣一個公理：如果在一條直線之上，有兩個點都在一個平面上，那么這條直線上所有的點都在這個平面上。這個公理也是判斷直線是否是在平面上的定論。在學習這個公理之前，如果要辨別一條直線是否在平面之內的話，就要看這條直線上的所有的點是否都在這個平面之內了。這條公理能夠簡化很多的證明過程，以后在證明的時候，只要看在直線上是否有兩個點在平面上就可以了。這條公理還能夠證明一個面是否是平面，方法就是：固定在這個平面內的一條直線上兩個點，然后進行旋轉這個平面，如果旋轉之后直線上別的點也在這個平面內，那就證明這個面是一個平面了。

這條公理主要是研究的平面和直線之間的關系，它能夠用來分辨一條直線是否在這個平面之內，還能夠區別這個平面是否通過了這條直線。這條公理的條件就是直線上的兩個點在平面之內，也是一個必須要有的條件，結論就是證明一條直線上全部的點都在那個平面之內。如果從集合上來看，意思可以理解為，如果一個點集中有兩個點屬于另一個點集，那么這個點集就是另一個點集的真子集。總的來講，也就是兩個看法或者觀點：直線在平面之內，這條直線上所有的點都在這個平面之內。

第二個公理：如果有三個點不在同一條直線上，那么就說他們只能形成一個平面，意思就是三點不共線，只能確定一個平面。如果三個不共線的點能夠形成一個平面，那么兩個點又是什么樣的情況呢？或者是四個點以及更多的點。很顯然，經過兩個點的平面會有很多個，如果是四個點的話，它們都在一個平面之內就能夠確定一個平面，比如說長方形的四個頂點，如果這四個點不在同一個平面之內，那么就不能確定一個平面了，同理，很多個點也是這種情況。所以，這條公理就要特別要求兩點：不共線、三點。這條公理的作用可規整為四點：1）它能夠判斷三個點是否是在同一條線上；2）它能夠證明三個不共線的點只能組成一個平面；3）能夠充分的證明不在一條線上的三個點存在著平面；4）能夠辨別某個圖形是否是平面的圖形。

理解第二條公理，可以分為以下幾點：1）這條公理是用來確定平面的基本條件，也能夠證明兩個平面之間是否重合；2）能夠確定一個平面的條件就是把空間里的圖形轉變為平面的圖形來解決問題，這也是個必要的條件，也為其他的一些問題提供了重要依據，比如證明直線共面；3）深度的體會“有且只有”這個條件，它主要是特別說明了平面存在以及唯一這兩個問題。

第三條公理：如果兩個平面不重合的話，并且只有一個共同的點，那么就說它們有且只有一條公共的直線過這個點。這條公理反映出了平面和平面之間的關系，證明了如果兩個面有一個共同點，那么它們肯定就會有一條共同的線，而且這條線還會過這個點，這條線也是唯一的。如果當做集合來看，如果兩個平面不重合，但是它們有一個共同的點，那么它們就是相交的關系，交集就是那條公共的直線。這條公理不僅能夠證明兩個平面是否相交，還能夠辨別點是否是在直線之上。如果這個點是兩個平面的共同點，而這條線又是這兩個平面的共同線，那么就可以判定這個點一定就在這條線之上。所以這條公理還是證明點共線的重要依據。

4 結論

點、線、面是構成空間幾何體的基本元素，三者之間相互組合能夠搭配出各種各樣的空間圖形。而他們之間又存在一些定理，通過這些定理我們能夠很清晰的認識到空間幾何體的基本結構，也能夠通過這些定理解答一些平時生活中或者工作中的問題。

[1]劉素梅.名師導學[J].高一語數外，2009(6).