運(yùn)用類比法進(jìn)行離散數(shù)學(xué)教學(xué)探究①

李世群，袁梓瀚，馬千里

(1.湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)，湖南湘潭411201;2.華南理工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，廣東廣州510006)

“所謂類比法是指研究和認(rèn)識新對象時(shí)聯(lián)想和它類似的已知對象，并根據(jù)新對象與已知對象之間部分屬性的相似性得到其他屬性也相似的推斷，從而導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)新規(guī)律的思維方法，其整個(gè)思維過程是以“聯(lián)想”為前提，以相似性為向?qū)В园l(fā)現(xiàn)新規(guī)律為目的。

類比的對象是同一層次上的兩類不同事物，一方面，在同一層次上是保證類比的可行性，另一方面，這兩種不同類事物之間具有相似性。兩個(gè)事物之間的相似性是類比能夠進(jìn)行過渡的環(huán)節(jié)或邏輯中介，沒有相似性就無法進(jìn)行類比。類比的最大價(jià)值就是在兩類不同事物之間建立起由已知到未知的橋梁。

目前我國的教育管理部門雖然都開始重視課堂教學(xué)改革，但由于教師的科研任務(wù)繁重等原因，填鴨式教學(xué)方式充斥課堂，教師照本宣科的現(xiàn)象還很嚴(yán)重，他們忽視了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，忽視了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中猜測的力量，忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。導(dǎo)致了大學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展不全面，缺乏創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力。大學(xué)教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中運(yùn)用類比法進(jìn)行教學(xué)，合理選擇學(xué)生熟知的類比對象，分析概括類比對象與新授知識的共同本質(zhì)，不僅可以使學(xué)生容易理解新知識，而且能夠極大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生掌握自主學(xué)習(xí)的方法，大面積提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量，更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。

一 用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義

(一)用類比法教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

著名教育家布魯納認(rèn)為:“所謂知識是過程，，不是結(jié)果”，現(xiàn)在對大學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，不是只教會學(xué)生學(xué)會什么，更重要的是使學(xué)生看到學(xué)習(xí)這些知識的發(fā)生及推演過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這種思維過程的學(xué)習(xí)比結(jié)果的學(xué)習(xí)更重要。

運(yùn)用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).同時(shí)，由于“類比是合情推理的一種思維形式，即是由兩個(gè)或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，從而推出它們在另一屬性上也相同或相似的一種推理方法”［1］，因此，這種這種思維推理方法對于學(xué)生進(jìn)行自主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及其他生產(chǎn)生活知識的學(xué)習(xí)都是非常重要的，用類比法進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生不僅掌握了數(shù)學(xué)專業(yè)知識，還學(xué)會了如何用類比思維思考問題的方法。

(二)用類比法教學(xué)有利于學(xué)生接受新知識

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多概念對于初學(xué)者顯得比較抽象，學(xué)生難以接受，而這些數(shù)學(xué)概念之間往往在特征、結(jié)構(gòu)方面有相似之處，“類比法恰好是將已有的知識和新的學(xué)習(xí)活動聯(lián)系起來的一種重要方法”［2］，所以，運(yùn)用類比方法進(jìn)行新概念的教學(xué)時(shí)，通過與熟悉概念的類比，就能幫助學(xué)生去認(rèn)識和理解新概念，建立起適當(dāng)?shù)男睦肀碚鳎梢允箤W(xué)生溫故而知新、完成新知識的學(xué)習(xí)。如在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)理邏輯中的命題公式、公式的真值指派、謂詞等概念對學(xué)生會感到抽象和陌生，由于函數(shù)對于每個(gè)學(xué)生都是很熟悉的是中學(xué)學(xué)過的知識，我們選擇函數(shù)作為類比對象，學(xué)生立刻感到有一種已經(jīng)熟悉而親切的感覺，他們會發(fā)現(xiàn)新概念的特征與過去的已知的概念相似，思維馬上就會處于一個(gè)興奮點(diǎn)，教師只要把新的概念與對應(yīng)的函數(shù)中的已有的對象聯(lián)系起來進(jìn)行類比，新概念就成為容易理解的和容易把握的。

(三)用類比法教學(xué)有利于學(xué)生掌握學(xué)習(xí)程序

由于類比推理是一種開放性的思維過程，它為學(xué)生提供了一處非常開闊而且多彩的思維境界，按事物發(fā)展的階段進(jìn)行層次性類比，有助于我們加深對事物發(fā)展一般規(guī)律的認(rèn)識，開拓知識體系.可以使我們擺脫在學(xué)習(xí)中完全受命于人(課本、教師)的被動學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生掌握學(xué)習(xí)程序，把握學(xué)習(xí)規(guī)律，將學(xué)習(xí)的主動權(quán)掌握在學(xué)生自己手里，比如，在進(jìn)行數(shù)理邏輯的一階邏輯的教學(xué)時(shí)，由于前一階段學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過命題邏輯，此時(shí)將命題邏輯作為類比對象，引導(dǎo)學(xué)生回顧命題邏輯的發(fā)展階段:

類比命題邏輯的程序，引導(dǎo)學(xué)生猜想可得到與命題邏輯完全對應(yīng)的一階邏輯的學(xué)習(xí)程序。

(四)用類比法教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生探索和創(chuàng)新

“在科學(xué)研究中，人們利用因果類比、數(shù)學(xué)類比、模型類比，使其充分顯示了強(qiáng)大的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造功能，例如，在近代科學(xué)史上，開卜勒受幾何圖形類似的啟發(fā)，提出行星運(yùn)動三定律;麥克斯韋也曾得益于類比，建立了麥克斯韋電磁理”［3］。

在大學(xué)階段的學(xué)生的思維已經(jīng)發(fā)展到了一個(gè)更加活躍、推理能力更強(qiáng)的階段，學(xué)生具有很強(qiáng)的主動性和獨(dú)立性，因此數(shù)學(xué)教學(xué)過程中運(yùn)用類比法教學(xué)，可以使學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用類比思維進(jìn)行探索，有利于學(xué)生進(jìn)行探索和創(chuàng)新，達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的。

(五)有利于學(xué)生終身學(xué)習(xí)

現(xiàn)代社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，決定了每個(gè)人都要終身進(jìn)行學(xué)習(xí)，這種終身學(xué)習(xí)就要靠自己學(xué)會合情推理，而類比思維方法正是合情推理的一種重要思維方法。類比思想方法不僅可以用到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，而且用到日常生活、生產(chǎn)等各方面，現(xiàn)代社會要求每個(gè)公民應(yīng)具有類比思維方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀察、獲取信息、數(shù)據(jù)處理、合情推理、預(yù)測猜想、探究創(chuàng)造，等等［4］。運(yùn)用類比法進(jìn)行教學(xué)正是培養(yǎng)了學(xué)生的這種思維。

二 用類比法教學(xué)的策略

(1)選擇恰當(dāng)?shù)念惐葘ο?/p>

要運(yùn)用類比法進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，首先是要選擇恰當(dāng)?shù)念惐葘ο蟆Ｒ诡惐葘ο蟮倪x擇恰當(dāng)，一是要研究學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，了解學(xué)生原有的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，使得選擇的對象符合學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)［5］。學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)理論(即數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo))之間存在一個(gè)“中間地帶”，相當(dāng)于維果斯基所提出的“最近發(fā)展區(qū)”，“采用化歸、遷移、類比、同化等手段對“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”進(jìn)行連續(xù)不斷地“建構(gòu)”已是數(shù)學(xué)教師運(yùn)用嫻熟、學(xué)生也予以普遍接受的教學(xué)方式“［6］.同樣的內(nèi)容對于不同專業(yè)和不同年級的學(xué)生選擇的類比對象也會有所不同。二是要選擇相似度高的類比對象，使得類比對象具有與所要學(xué)習(xí)的對象的本質(zhì)特征基本相同。例如，以李世群、馬千里的《離散數(shù)學(xué)》［7］為教材的在命題邏輯教學(xué)中，要使學(xué)生理解命題公式、真值指派、真值表、公式的類型及公式的等價(jià)，我們選擇類比對象——函數(shù)，由于函數(shù)對于每個(gè)專業(yè)每個(gè)年級的學(xué)生都是很熟悉的對象，將這些教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行類比函數(shù)中對應(yīng)的內(nèi)容，便可以得到新概念的結(jié)構(gòu)，當(dāng)然，命題邏輯中每一個(gè)具體概念還要在函數(shù)這個(gè)大的類比對象中再次選擇具體的類比對象，我們將具體類比對象與原對象列成下面對照表:

(2)把好抽象與提煉關(guān)

恰當(dāng)?shù)剡x擇好一個(gè)學(xué)生熟悉的類比對象后，就要引導(dǎo)學(xué)生分析新概念的特征。抽象提煉的過程大致可分三個(gè)階段，“第一階段是從一系列思維過程搜索出另一個(gè)或一類具體的類比對象，其次，對已確定的、具體的類比對象進(jìn)行科學(xué)加工，對類比對象的本質(zhì)和屬性加以概括的提煉，最后，在創(chuàng)造對象和類比對象之間找到共同點(diǎn)或相似點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造對象和類比對象的抽象統(tǒng)一”［4］，這個(gè)過程也是類比教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，通過分析提煉和類比猜想，會很快達(dá)到問題的實(shí)質(zhì)，而且要符合學(xué)生認(rèn)識水平，便于學(xué)生接受和理解。如在進(jìn)行兩個(gè)公式A與B等價(jià)A?B當(dāng)且僅當(dāng)A?B為永真式的教學(xué)過程中，學(xué)生往往不理解，而且還容易將概念A(yù)?B與A?B混淆，我們選擇函數(shù)f=g作為類比對象，將運(yùn)算符號“?”與減法符號“－”類比;永真式與常函數(shù)0進(jìn)行類比，然后分析提煉，找出A?B與f=g的共同點(diǎn):

f=g當(dāng)且僅當(dāng)f－g為常函數(shù)0;

A?B當(dāng)且僅當(dāng)A?B為永真式(本質(zhì)類似常函數(shù));

學(xué)生很快就理解并掌握了。

(3)用類比法進(jìn)行復(fù)習(xí)課教學(xué)

復(fù)習(xí)課的一個(gè)任務(wù)之一是要幫助學(xué)生完成一個(gè)階段的已學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，其中包括認(rèn)識知識之間的聯(lián)系，相似之處，幫助學(xué)生強(qiáng)化已學(xué)知識，而這種強(qiáng)化過程又不能做簡單的重復(fù)，要達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，用類比法教學(xué)是一個(gè)非常有效的方法，一方面引導(dǎo)學(xué)生在兩個(gè)已學(xué)的新知識的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)之間類比，用類比法將兩種對象的本質(zhì)和屬性加以概括提煉，在新對象和類比對象之間找到共同點(diǎn)或相似點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造對象和類比對象的抽象統(tǒng)一，幫助學(xué)生建立新知識之間的聯(lián)系，還可以幫助學(xué)生減輕記憶負(fù)擔(dān)。另一方面將新知識和以前(包括中學(xué)學(xué)過的)知識之間進(jìn)行類比，能夠幫助學(xué)生強(qiáng)化對這一階段新知識的認(rèn)識。

如學(xué)習(xí)歐拉定理以后，將歐拉定理與握手定理進(jìn)行結(jié)構(gòu)性類比，即將握手定理:“各頂點(diǎn)的度數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍”類比歐拉定理:“平面圖的所有面次數(shù)之和等于邊數(shù)的兩倍”。又如在二元關(guān)系的復(fù)習(xí)總結(jié)課的教學(xué)中，將偏序關(guān)系、相容關(guān)系與等價(jià)關(guān)系進(jìn)行類比，對三個(gè)條件進(jìn)行差異性類比:等價(jià)關(guān)系具有反身性，對稱性，傳遞性;而偏序關(guān)系具有反身性，反對稱性，傳遞性，它們僅第二個(gè)性質(zhì)存在差異;而在集合這一章的復(fù)習(xí)課教學(xué)中，將集合的交、并、求余等運(yùn)算律與數(shù)理邏輯中的合取、析取、非等運(yùn)算律進(jìn)行類比，通過這種類比，強(qiáng)化了關(guān)于這些知識的認(rèn)識。

(4)要注意差異性

用類比法進(jìn)行教學(xué)時(shí)要提醒以下幾點(diǎn):一是兩個(gè)可比對象性質(zhì)并非完全一樣，在教學(xué)中，要讓學(xué)生明確它們哪些方面可以類比，哪些方面不可類比.二是只有本質(zhì)相同或相似的事物才能進(jìn)行類比.如果把僅僅形式上相似而本質(zhì)上都不相同的事物類比，就會造成錯(cuò)誤.三是要讓學(xué)生清楚類比的結(jié)果并非完全可靠，只是形成猜想的一種思維方法，猜想的結(jié)果是否正確還需證明與驗(yàn)證，必要時(shí)還需對猜想進(jìn)行修正。

如將n元命題公式類比學(xué)生已知的n元函數(shù)，它們相同的函數(shù)特征是有自變量和因變量，而差別在于n元命題公式的自變量的定義域?yàn)閧0，1}n，值域?qū)儆趝0，1}，而一般n元函數(shù)的定義域和值域是實(shí)數(shù)域R的連續(xù)子集。

［1］湯慧龍.關(guān)于學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”的研究［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004(2).

［2］鄧?yán)磉M(jìn).試論數(shù)學(xué)類比教學(xué)的作用［J］.常州師專學(xué)報(bào)，2002(6).

［3］仲秀英.波利亞的類比思想與數(shù)學(xué)課程改革［J］.重慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2003.

［4］張奠宙.關(guān)于“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008(2).

［5］丁 荃.類比是一種重要的創(chuàng)造性思維方法［J］.科學(xué)技術(shù)與辯證法，2000(2).

［6］孫杰遠(yuǎn).類比:比較教育研究及其創(chuàng)新的思維本質(zhì)［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(人文社科版)，2005.

［7］李世群，馬千里.離散數(shù)學(xué)［M］.天津:天津大學(xué)出版社，2010(6).