T形和Π形電阻電路等效變換的教學(xué)探討

田社平，孫 盾，張 峰

(1上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，上海 200240;2浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院，浙江杭州 310027)

T形和Π形電路在工程實(shí)踐中具有廣泛的應(yīng)用，如三相電路中的星形連接和三角形連接、濾波電路中雙T形濾波等。等效變換是電路理論中的一種重要的常用分析方法。因此，T形和Π形電路的等效變換是電路教學(xué)中一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容。幾乎所有的“電路理論”或“電路分析”教材中都包含這一內(nèi)容。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，可以從不同的角度來看待T形和Π形電路的等效變換關(guān)系，其等效變換公式的推導(dǎo)也可從不同的角度來加以展開。下面根據(jù)筆者的教學(xué)實(shí)踐，試對這一問題作一分析，并給出這一內(nèi)容的教學(xué)建議。

通過電路等效的定義，可以推導(dǎo)出T形和Π形電路的等效變換公式。但在具體推導(dǎo)過程中，則可從不同角度來理解電路等效的定義，從而得到不同的推導(dǎo)過程。

1 基于等效定義的推導(dǎo)方法

如果端鈕一一對應(yīng)的n端口電路N1和N2具有相同的端口特性，即相同的兩組端口電壓分別代入兩個(gè)電路的端口特性方程會(huì)得出相同的兩組端口電流，或者將相同的兩組端口電流代入兩個(gè)電路的端口特性方程會(huì)得出相同的兩組端口電壓，則二者相互等效，并互稱等效電路。基于這一定義，即可推導(dǎo)T形和Π形電路的等效變換公式。國內(nèi)許多教材都遵循了這一思路［1～5］。為便于比較，下面將推導(dǎo)過程簡列如下。

對圖1(a)所示的電路，取節(jié)點(diǎn)③為參考節(jié)點(diǎn)，可列出該三端電路的端口特性所滿足的方程為同樣，可列出圖1(b)所示電路的端口特性所滿足的方程為

圖1 T形電路和Π形電路

顯然，當(dāng)式(1)和式(2)的系數(shù)矩陣互為逆矩陣時(shí)，兩式所表示的端口特性完全相同。由此條件可求得T形電路和Π形電路的等效變換公式為

2 基于等效性質(zhì)的推導(dǎo)方法

由電路等效的定義，可以得到電路等效的一個(gè)性質(zhì):如果兩個(gè)電路等效，則在兩個(gè)電路的某一或某幾個(gè)端口連接相同的任意電路，則得到的兩個(gè)新的電路也是相互等效的。利用這一性質(zhì)，可以得到推導(dǎo)T形和Π形電路等效變換公式的一些簡單而有趣的方法。

端口外接電路的最簡單的情況就是開路和短路［6］。將圖1(a)和(b)兩個(gè)電路的②、③端開路，則從①、③端看進(jìn)去的等效電阻應(yīng)相等，即

類似地，可以得到

聯(lián)立求解式(4)和式(5)，就可以得到與式(3)相同的T形電路和Π形電路的等效變換公式。

如果將圖1(a)和(b)兩個(gè)電路的②、③端短路，則從①、③端看進(jìn)去的等效電阻也應(yīng)相等，利用這一性質(zhì)同樣可以得到與式(3)相同的T形電路和Π形電路的等效變換公式。

利用電路等效的性質(zhì)，還可以衍生出多種分析方法。這里僅舉一例。將圖1(a)和(b)兩個(gè)電路分別端接如下電路:②和③端連接電阻R23;①和③端連接電阻R31;①和②端連接電阻R12，則可以得到

求解式(6)，就可以得到與式(3)相同的T形電路和Π形電路的等效變換公式。

3 基于能量守恒定律的推導(dǎo)方法

能量守恒定律是物理系統(tǒng)包括電路都必須遵守的普遍規(guī)律，如果兩個(gè)電路等效，則對相同的端電壓和端電流，兩電路消耗的能量相同。

在圖1中已標(biāo)出端電流i1，i2，i3，它們滿足i1+i2+i3=0。對T形電路，其消耗的功率為

對Π形電路，其消耗的功率為

為求出電流i12，列寫KVL方程，得

解得

令 pT=pΠ，并將式(10)代入整理，得

由于i1和i2可取任意值，因此有

由上式就可以得到與式(3)相同的T形電路和Π形電路的等效變換公式。

4 基于戴維南定理的推導(dǎo)方法

在圖1(a)和(b)兩個(gè)電路的②、③端分別連接一電壓為uS的電壓源。由于兩電路等效，因此從兩個(gè)電路的①、③端看進(jìn)去的戴維南等效電路相同，即兩者的開路電壓uOC、等效電阻Ro分別相等，于是可以得到

由上式可得

式(14)和(15)中的四個(gè)等式只有三個(gè)是相互獨(dú)立的，利用其中任意三者即可得到與式(4)相同的T形電路和Π形電路的等效變換公式。

5 基于二端口參數(shù)矩陣的推導(dǎo)方法

三端電路可以構(gòu)成二端口電路。如果將圖1所示T形電路和Π形電路的端鈕①、③和②、③分別看作一個(gè)端口，則T形電路的r參數(shù)矩陣為

Π形電路的g參數(shù)矩陣為

兩電路等效，則有R-1=G或R=G-1，由此即可得到與式(3)相同的T形電路和Π形電路的等效變換公式。

6 教學(xué)建議

由上面的分析可以看出，T形電路和Π形電路的等效變換與電路理論的許多知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，這也反映了電路理論的概念、原理和方法的內(nèi)在聯(lián)系。這些知識(shí)點(diǎn)包括:功率守恒、KCL、KVL、等效變換、開路與短路、串并聯(lián)、戴維南/諾頓定理、二端口電路等。以T形電路和Π形電路的等效變換為中心，在教學(xué)中將這些知識(shí)點(diǎn)串連起來，可以提高教學(xué)效果。我們建議采用如下幾種教學(xué)形式:

(1)課堂教學(xué)—方法1和方法2比較適合在課堂上講授，這兩種方法與等效電路的定義最為直接。筆者教學(xué)所使用的教材［1］中采用的是方法1，而課堂教學(xué)時(shí)采用的是方法2。

其他方法如果要在課堂上講授，則將其作為例子引入較為合適。例如，在講授戴維南/諾頓定理時(shí)，可以引入運(yùn)用戴維南/諾頓定理推導(dǎo)T形電路和Π形電路等效變換公式的例子。

(2)課堂討論—在進(jìn)行T形電路和Π形電路等效變換教學(xué)時(shí)，可以采用討論式教學(xué)的形式。此時(shí)方法1～3均屬于討論的范圍(方法4～5的知識(shí)點(diǎn)為后續(xù)教學(xué)內(nèi)容)。討論的議題包括三個(gè)方面:等效公式的推導(dǎo)方法;等效電路定義的內(nèi)涵;KCL、KVL與能量守恒定律關(guān)系的再認(rèn)識(shí)。筆者認(rèn)為討論的過程必須由教師加以引導(dǎo)，對討論中提出的問題進(jìn)行提示和解釋，方可取得良好的效果。

(3)課外研討—在筆者的教學(xué)中，一直設(shè)置了分組課外研討并撰寫小論文的環(huán)節(jié)，筆者曾公布“T形電路和Π形電路等效變換”的選題，得到了學(xué)生的熱烈響應(yīng)。一部分學(xué)生通過查閱文獻(xiàn)、獨(dú)立思考和相互交流，提出了自己的看法。

［1］ 陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社.2007

［2］ 陳希有.電路理論基礎(chǔ)［M］，第二版.北京:高等教育出版社，2004

［3］ 李瀚蓀.簡明電路分析基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社.2002

［4］ 于歆杰，朱桂萍，陸文娟.電路原理［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2007

［5］ 邱關(guān)源.電路［M］，第四版，北京:高等教育出版社，1999

［6］ J.W.Nilsson，S.A.Riedel.Electric Circuits［M］，seventh edition，New York:Prentice Hall，2005