Logistic及Verhulst預測模型在路基沉降預測中的擬合研究

胡曉陽，王連俊，張光宗

(北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044)

Logistic及Verhulst預測模型在路基沉降預測中的擬合研究

胡曉陽，王連俊，張光宗

(北京交通大學土木建筑工程學院，北京 100044)

高速鐵路路基沉降是一個復雜的系統過程，涉及不同時期、不同工況，選用單一的預測模型不足以反映路基整體的變形規律。Logistic模型及Verhulst模型的曲線均為S形，可以反映全過程的地基沉降與時間的關系。針對路基填筑期和降水期兩個時段利用MATLAB軟件編制程序計算模型參數，得到Logistic模型和灰色Verhulst模型，進而求得兩者的最優加權組合模型。對比結果表明：在路基填筑期由兩者的最優加權組合模型預測得到的結果與實測結果較吻合，擬合精度高于單一模型;而在降水期Verhulst模型的預測值更接近實測值，平均相對誤差約為1.75%，擬合精度較高。

高速鐵路;預測模型;MATLAB程序;路基沉降;擬合

路基沉降的嚴格控制［1］是高速鐵路建設中最為關鍵的技術措施之一，如何有效預測路基沉降量是巖土工程領域的重要研究課題。Logistic模型及灰色Verhulst模型的曲線均為S形，這比較符合路基實際沉降規律，并基本可以反映路基沉降的全過程，被國內外學者廣泛地應用于各種實際工程的路基沉降預測中。鄭鵬武等［2］針對由地下鐵道施工而誘發地表變形的特征和規律，應用Logistic模型進行模擬和預測，證實Logistic模型預測法的合理性和應用價值。郭亞宇［3］等根據高速鐵路路基沉降量與時間的關系特點，建立了Logistic預估模型，結合工程實例對路基沉降進行預測，結果表明該方法預測結果與實際較為吻合。趙明華等［4］在深入分析沉降發生發展規律的基礎上引入灰色Verhulst模型，結果表明此方法擬合誤差小，后期沉降預測準確。王慧彬［5］采用灰色系統法和BP神經網絡法對路基基坑降水階段戰場復合地基沉降進行預測，結果表明灰色系統法的預測效果好于BP神經網絡法。趙明華等［6］根據Logistic曲線和Gompertz曲線的共性和個性，建立了最優加權組合沉降預測模型。計算結果表明，最優組合沉降預測模型的精度和可靠性均優于單一預測的模型，是地基沉降預測的一種有效分析方法。王曉睿等［7］建立了Logistic-Verhulst模型，模擬計算圍巖應力重分布過程的位移，計算結果證明了Logistic-Verhulst模型在隧道圍巖位移監測應用中的可行性和可靠性。

路基在不同時段受到的工況改變是影響模型預測精度的關鍵因素。本文針對路基填筑期和降水期這兩個時段，結合模型的自身特點，利用MATLAB軟件編制程序求得模型參數，得到Logistic模型及灰色Verhulst模型，并以對數誤差平方和最小為原則確定最優加權系數，建立路基沉降預測的最優加權幾何平均組合模型。通過對比每個模型在路基不同時段的應用效果，得出在不同階段預測模型的適用性。

1 數學模型

1.1 Logistic曲線預測模型

Logistic曲線可以反映生物的生長過程，所以Logistic曲線在生物繁殖、人口發展統計和產品生命周期分析等方面都有著廣泛的應用。

Logistic曲線預估模型的數學表達式為

式中，k、a、b分別為模型的3個待定參數，其中a＞0，b＞0。

式(1)所表示的是一條S形曲線，它反映了事物發生、發展、成熟并達到一定極限的過程。

1.2 灰色Verhulst預估模型

Verhulst模型在生物繁殖、人口增長等過程的描述和分析中有廣泛的應用。標準的Verhulst模型曲線呈S形，它反映了生物生長由加速增長到減速增長到最終趨于穩定的過程。由于這一過程與路基沉降過程極為相似，所以選用灰色Verhulst預估模型作為中長期預估模型的補充［8］。根據灰色理論:

灰色Verhulst模型的微分方程為

其白化形式微分方程的解為

記其離散響應方程為

當所取原始數據為實測沉降時間序列時，由于原始數據本身就呈S形，所以可取原始數據為y(1)，其一次累減生成數列為y(0)，從而建立灰色Verhulst預估模型以直接對y(1)進行擬合。由式(3)可以看出，當t→∞時，若a＞0，則y(1)(t)→0，顯然這是不可取的;若a＜0，則y(1)(t)→a/b，a/b即表示路基最終沉降量。

1.3 Logistic-Verhulst組合預測模型

一種預測模型和預測方法只適用于一種工況，也只局限于提供一種預測的有價值信息。在路基的沉降預測實踐中，不同的預測方法可以提供不同有價值的信息，將不同的預測方法進行適當的組合，可以有效地提高預測的精度［9］。本文將Logistic模型、Verhulst模型進行組合，以組合模型的對數誤差平方和最小為原則來確定最優加權系數w1、w2，得到最優加權幾何平均組合預測模型。

2 填筑期的路基沉降預測

以京滬高速鐵路濟南西客站項目［10］為研究背景，京滬高速鐵路濟南西客站站場總長3 000余m，路堤寬達160 m，路堤填高7 m，為大面積堆載站場路基。該站場范圍內地質均為深厚松軟土［11］層，為了控制沉降量，地基采用了CFG及管樁復合地基形式。選取該站場的D斷面為研究對象，其沉降觀測資料如表1所示。觀測時間從2009年2月4日起到2010年12月4日止，該斷面自2009年10月初開始降水。現依據此工程中前10～178 d的沉降數據，可得擬合的Logistic曲線為

由此可做出2種模型的曲線與實測曲線的對比，發現實測曲線恰好介于兩者之間，于是應用加權組合方法，以組合模型的對數誤差平方和最小為原則，求出最優加權系數為

由Logistic模型、Verhulst模型及最優加權幾何平均組合預測模型計算出的預測沉降值和相對誤差如表1所示，得出的沉降量與時間的關系曲線如圖1所示。

表1 DIK419+575沉降觀測值與擬合值(填筑期)

續表1

圖1 實測數據與擬合數據曲線(填筑期)

由Logistic模型、Verhulst模型及最優加權幾何平均組合預測模型計算出的精度指標及可靠性指標如表2所示。

表2 3個預測模型的精度指標對比

從評價預測模型精度的指標AESS和SE來看:在本工程實例中，Verhulst模型的AESS和SE最大，Logistic模型的AESS和SE次之，Logistic-Verhulst組合預測模型的AESS和SE最小，這表明本文最優組合預測模型的精度較Logistic模型和Verhulst模型要高。

從反映模型穩定可靠性的指標RESS來看，組合預測模型也是最小，說明組合預測模型是比Logistic模型和Verhulst模型更可靠的預測方法。

由圖1可以看出，Verhulst模型早期擬合的相對誤差偏小，Logistic模型后期擬合的相對誤差偏小，而組合預測模型在前100 d與實測曲線吻合得非常好。本工程實例中，達到填筑高度為第140 d，沉降趨于穩定。圖2則表明，灰色Verhulst模型與實測曲線較吻合，更適用于降水期的路基沉降預測。

圖2 實測數據與擬合數據曲線(降水期)

3 降水期的路基沉降預測

京滬高速鐵路濟南西客站項目站場D斷面自2009年10月初開始進行基坑降水［12］，現取降水期第305～496 d的沉降觀測數據，算得Logistic曲線為

由實測數據、Logistic模型及Verhulst模型得降量與時間的關系曲線如圖2所示，計算出的預測沉降值和相對誤差如表3所示。

表3 DIK419+575沉降觀測值與擬合值(降水期)

表3則顯示出Verhulst模型擬合精度更高，平均相對誤差為1.75%。于是利用Verhulst模型對第473、483、496 d的沉降值分別作出預測，結果如表4所示。

從表4可以看出:與實測值相比，Verhulst模型的預測值相對誤差較低，在1%以下。

表4 Verhulst模型的預測值

4 結論

(1)分時期建立了軟土路基的Logistic、Verhulst沉降預測模型，并以對數誤差平方和最小為原則確定了最優加權系數，建立了路基沉降預測的最優加權幾何平均組合模型。

(2)工程實例表明:在填筑期，由最優加權幾何平均組合模型擬合的沉降值誤差小于參加組合的2個模型，其擬合精度及可靠性都比單一預測模型要好，使所得的擬合曲線很接近實測值;而在降水期，參與擬合的2種模型相比，灰色Verhulst模型更接近實測值，擬合精度更高，平均相對誤差在1.75%。

(3)從降水期的預測情況看，雖然灰色Verhulst模型的預測精度較高，但是其擬合出的曲線并未嚴格符合實測曲線，其原因有待從土體本構模型、巖土流變角度考慮進行進一步研究。

［1］ 中華人民共和國鐵道部.鐵建設［2003］13號 京滬高速鐵路設計暫行規定［S］.北京:中國鐵道出版社，2005.

［2］ 鄭鵬武，譚忠盛，董志明.地鐵施工引起地表沉降的Logistic模型預測及應用［J］.中國安全科學學報，2006，16(3):23-26.

［3］ 郭亞宇，龐旭卿，王龍.Peral模型在高速鐵路路基沉降預測中的應用［J］.土工基礎，2010，24(4):44-46.

［4］ 趙明華，陳炳初.基于Verhulst模型的軟土路基沉降預測［J］.沈陽建筑大學學報，2007，23(4):580-583.

［5］ 王慧彬.京滬高鐵濟南西客站復合地基沉降預測研究［D］.北京:北京交通大學，2010:52-56.

［6］ 趙明華，龍照，鄒新軍.基于Logistic曲線和Gompertz曲線的最優組合沉降預測模型及應用［J］.公路交通科技，2007，24(12):1-4.

［7］ 王曉睿，王元漢.基于Logistic-Verhulst模型的云嶺隧道圍巖位移預測［J］.昆明理工大學學報，2007，32(5):57-61.

［8］ 付宏淵.高速公路路基沉降預測及施工控制［M］.北京:人民交通出版社，2007:29-44.

［9］ 歐陽煉.GM(1，1)-Logistic路基沉降組合預測模型研究與應用［J］.鐵道科學與工程學報，2010，7(4):56-60.

［10］鄭子濤，許宗芳.濟南鐵路樞紐總圖規劃探討［J］.鐵道標準設計，2011(12):15-18.

［11］劉升傳，曹淵.新建鐵路軟土路基沉降規律研究［J］.鐵道工程學報，2010，140(5):1-3.

［12］張光宗，王連俊，朱孝笑.基坑降水對京滬高速鐵路CFG樁-筏復合地基沉降的影響分析［J］.鐵道標準設計，2011(12):30-32.

Research on the Fitting of Logistic Model and Verhulst Model for Subgrade Settlement Prediction

HU Xiao-yang，WANG Lian-jun，ZHANG Guang-zong
(School of Civil Engineering and Architecture，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China)

Subgrade settlement of high-speed railway is a complex systematic process that involves different periods and construction conditions，so only choosing a single model cannot represent the integrated deformation rule of subgrade.Both the Logistic model and Verhulst model can be described by S-shaped curve，and can reflect the settlement-time relation of subgrade through the whole process.Focusing on the two periods of subgrade filling period and precipitation period respectively，by means of the MATLAB software to program and calculate the model parameters，this paper obtained the Logistic model and Verhulst model，and then obtained the optimal weighted combination model of the both.Comparative calculation results show that the optimal weighted combination model of the both can fit well with the measured date，and the fitting precision is better than that of each single model in subgrade filling period;while in the precipitation period there is higher predictive precision by only using the Verhulst model that is more close to the measured data，with an average relative error of about 1.75%.

high-speed railway;prediction model;MATLAB programme;subgrade settlement;fitting

U213.1

A

1004-2954(2013)09-0001-03

2013-01-29

鐵道部科技研究開發計劃項目(2008G032-A)

胡曉陽(1987—)，女，碩士研究生，E-mail:11121342@bjtu.edu.cn。