Logistic及Verhulst預(yù)測(cè)模型在路基沉降預(yù)測(cè)中的擬合研究

胡曉陽(yáng)，王連俊，張光宗

(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

Logistic及Verhulst預(yù)測(cè)模型在路基沉降預(yù)測(cè)中的擬合研究

胡曉陽(yáng)，王連俊，張光宗

(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京 100044)

高速鐵路路基沉降是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)過(guò)程，涉及不同時(shí)期、不同工況，選用單一的預(yù)測(cè)模型不足以反映路基整體的變形規(guī)律。Logistic模型及Verhulst模型的曲線均為S形，可以反映全過(guò)程的地基沉降與時(shí)間的關(guān)系。針對(duì)路基填筑期和降水期兩個(gè)時(shí)段利用MATLAB軟件編制程序計(jì)算模型參數(shù)，得到Logistic模型和灰色Verhulst模型，進(jìn)而求得兩者的最優(yōu)加權(quán)組合模型。對(duì)比結(jié)果表明：在路基填筑期由兩者的最優(yōu)加權(quán)組合模型預(yù)測(cè)得到的結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果較吻合，擬合精度高于單一模型;而在降水期Verhulst模型的預(yù)測(cè)值更接近實(shí)測(cè)值，平均相對(duì)誤差約為1.75%，擬合精度較高。

高速鐵路;預(yù)測(cè)模型;MATLAB程序;路基沉降;擬合

路基沉降的嚴(yán)格控制［1］是高速鐵路建設(shè)中最為關(guān)鍵的技術(shù)措施之一，如何有效預(yù)測(cè)路基沉降量是巖土工程領(lǐng)域的重要研究課題。Logistic模型及灰色Verhulst模型的曲線均為S形，這比較符合路基實(shí)際沉降規(guī)律，并基本可以反映路基沉降的全過(guò)程，被國(guó)內(nèi)外學(xué)者廣泛地應(yīng)用于各種實(shí)際工程的路基沉降預(yù)測(cè)中。鄭鵬武等［2］針對(duì)由地下鐵道施工而誘發(fā)地表變形的特征和規(guī)律，應(yīng)用Logistic模型進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)，證實(shí)Logistic模型預(yù)測(cè)法的合理性和應(yīng)用價(jià)值。郭亞宇［3］等根據(jù)高速鐵路路基沉降量與時(shí)間的關(guān)系特點(diǎn)，建立了Logistic預(yù)估模型，結(jié)合工程實(shí)例對(duì)路基沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明該方法預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際較為吻合。趙明華等［4］在深入分析沉降發(fā)生發(fā)展規(guī)律的基礎(chǔ)上引入灰色Verhulst模型，結(jié)果表明此方法擬合誤差小，后期沉降預(yù)測(cè)準(zhǔn)確。王慧彬［5］采用灰色系統(tǒng)法和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對(duì)路基基坑降水階段戰(zhàn)場(chǎng)復(fù)合地基沉降進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明灰色系統(tǒng)法的預(yù)測(cè)效果好于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。趙明華等［6］根據(jù)Logistic曲線和Gompertz曲線的共性和個(gè)性，建立了最優(yōu)加權(quán)組合沉降預(yù)測(cè)模型。計(jì)算結(jié)果表明，最優(yōu)組合沉降預(yù)測(cè)模型的精度和可靠性均優(yōu)于單一預(yù)測(cè)的模型，是地基沉降預(yù)測(cè)的一種有效分析方法。王曉睿等［7］建立了Logistic-Verhulst模型，模擬計(jì)算圍巖應(yīng)力重分布過(guò)程的位移，計(jì)算結(jié)果證明了Logistic-Verhulst模型在隧道圍巖位移監(jiān)測(cè)應(yīng)用中的可行性和可靠性。

路基在不同時(shí)段受到的工況改變是影響模型預(yù)測(cè)精度的關(guān)鍵因素。本文針對(duì)路基填筑期和降水期這兩個(gè)時(shí)段，結(jié)合模型的自身特點(diǎn)，利用MATLAB軟件編制程序求得模型參數(shù)，得到Logistic模型及灰色Verhulst模型，并以對(duì)數(shù)誤差平方和最小為原則確定最優(yōu)加權(quán)系數(shù)，建立路基沉降預(yù)測(cè)的最優(yōu)加權(quán)幾何平均組合模型。通過(guò)對(duì)比每個(gè)模型在路基不同時(shí)段的應(yīng)用效果，得出在不同階段預(yù)測(cè)模型的適用性。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 Logistic曲線預(yù)測(cè)模型

Logistic曲線可以反映生物的生長(zhǎng)過(guò)程，所以Logistic曲線在生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計(jì)和產(chǎn)品生命周期分析等方面都有著廣泛的應(yīng)用。

Logistic曲線預(yù)估模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，k、a、b分別為模型的3個(gè)待定參數(shù)，其中a＞0，b＞0。

式(1)所表示的是一條S形曲線，它反映了事物發(fā)生、發(fā)展、成熟并達(dá)到一定極限的過(guò)程。

1.2 灰色Verhulst預(yù)估模型

Verhulst模型在生物繁殖、人口增長(zhǎng)等過(guò)程的描述和分析中有廣泛的應(yīng)用。標(biāo)準(zhǔn)的Verhulst模型曲線呈S形，它反映了生物生長(zhǎng)由加速增長(zhǎng)到減速增長(zhǎng)到最終趨于穩(wěn)定的過(guò)程。由于這一過(guò)程與路基沉降過(guò)程極為相似，所以選用灰色Verhulst預(yù)估模型作為中長(zhǎng)期預(yù)估模型的補(bǔ)充［8］。根據(jù)灰色理論:

灰色Verhulst模型的微分方程為

其白化形式微分方程的解為

記其離散響應(yīng)方程為

當(dāng)所取原始數(shù)據(jù)為實(shí)測(cè)沉降時(shí)間序列時(shí)，由于原始數(shù)據(jù)本身就呈S形，所以可取原始數(shù)據(jù)為y(1)，其一次累減生成數(shù)列為y(0)，從而建立灰色Verhulst預(yù)估模型以直接對(duì)y(1)進(jìn)行擬合。由式(3)可以看出，當(dāng)t→∞時(shí)，若a＞0，則y(1)(t)→0，顯然這是不可取的;若a＜0，則y(1)(t)→a/b，a/b即表示路基最終沉降量。

1.3 Logistic-Verhulst組合預(yù)測(cè)模型

一種預(yù)測(cè)模型和預(yù)測(cè)方法只適用于一種工況，也只局限于提供一種預(yù)測(cè)的有價(jià)值信息。在路基的沉降預(yù)測(cè)實(shí)踐中，不同的預(yù)測(cè)方法可以提供不同有價(jià)值的信息，將不同的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合，可以有效地提高預(yù)測(cè)的精度［9］。本文將Logistic模型、Verhulst模型進(jìn)行組合，以組合模型的對(duì)數(shù)誤差平方和最小為原則來(lái)確定最優(yōu)加權(quán)系數(shù)w1、w2，得到最優(yōu)加權(quán)幾何平均組合預(yù)測(cè)模型。

2 填筑期的路基沉降預(yù)測(cè)

以京滬高速鐵路濟(jì)南西客站項(xiàng)目［10］為研究背景，京滬高速鐵路濟(jì)南西客站站場(chǎng)總長(zhǎng)3 000余m，路堤寬達(dá)160 m，路堤填高7 m，為大面積堆載站場(chǎng)路基。該站場(chǎng)范圍內(nèi)地質(zhì)均為深厚松軟土［11］層，為了控制沉降量，地基采用了CFG及管樁復(fù)合地基形式。選取該站場(chǎng)的D斷面為研究對(duì)象，其沉降觀測(cè)資料如表1所示。觀測(cè)時(shí)間從2009年2月4日起到2010年12月4日止，該斷面自2009年10月初開(kāi)始降水?，F(xiàn)依據(jù)此工程中前10～178 d的沉降數(shù)據(jù)，可得擬合的Logistic曲線為

由此可做出2種模型的曲線與實(shí)測(cè)曲線的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)實(shí)測(cè)曲線恰好介于兩者之間，于是應(yīng)用加權(quán)組合方法，以組合模型的對(duì)數(shù)誤差平方和最小為原則，求出最優(yōu)加權(quán)系數(shù)為

由Logistic模型、Verhulst模型及最優(yōu)加權(quán)幾何平均組合預(yù)測(cè)模型計(jì)算出的預(yù)測(cè)沉降值和相對(duì)誤差如表1所示，得出的沉降量與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖1所示。

表1 DIK419+575沉降觀測(cè)值與擬合值(填筑期)

續(xù)表1

圖1 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)曲線(填筑期)

由Logistic模型、Verhulst模型及最優(yōu)加權(quán)幾何平均組合預(yù)測(cè)模型計(jì)算出的精度指標(biāo)及可靠性指標(biāo)如表2所示。

表2 3個(gè)預(yù)測(cè)模型的精度指標(biāo)對(duì)比

從評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)模型精度的指標(biāo)AESS和SE來(lái)看:在本工程實(shí)例中，Verhulst模型的AESS和SE最大，Logistic模型的AESS和SE次之，Logistic-Verhulst組合預(yù)測(cè)模型的AESS和SE最小，這表明本文最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型的精度較Logistic模型和Verhulst模型要高。

從反映模型穩(wěn)定可靠性的指標(biāo)RESS來(lái)看，組合預(yù)測(cè)模型也是最小，說(shuō)明組合預(yù)測(cè)模型是比Logistic模型和Verhulst模型更可靠的預(yù)測(cè)方法。

由圖1可以看出，Verhulst模型早期擬合的相對(duì)誤差偏小，Logistic模型后期擬合的相對(duì)誤差偏小，而組合預(yù)測(cè)模型在前100 d與實(shí)測(cè)曲線吻合得非常好。本工程實(shí)例中，達(dá)到填筑高度為第140 d，沉降趨于穩(wěn)定。圖2則表明，灰色Verhulst模型與實(shí)測(cè)曲線較吻合，更適用于降水期的路基沉降預(yù)測(cè)。

圖2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)曲線(降水期)

3 降水期的路基沉降預(yù)測(cè)

京滬高速鐵路濟(jì)南西客站項(xiàng)目站場(chǎng)D斷面自2009年10月初開(kāi)始進(jìn)行基坑降水［12］，現(xiàn)取降水期第305～496 d的沉降觀測(cè)數(shù)據(jù)，算得Logistic曲線為

由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)、Logistic模型及Verhulst模型得降量與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖2所示，計(jì)算出的預(yù)測(cè)沉降值和相對(duì)誤差如表3所示。

表3 DIK419+575沉降觀測(cè)值與擬合值(降水期)

表3則顯示出Verhulst模型擬合精度更高，平均相對(duì)誤差為1.75%。于是利用Verhulst模型對(duì)第473、483、496 d的沉降值分別作出預(yù)測(cè)，結(jié)果如表4所示。

從表4可以看出:與實(shí)測(cè)值相比，Verhulst模型的預(yù)測(cè)值相對(duì)誤差較低，在1%以下。

表4 Verhulst模型的預(yù)測(cè)值

4 結(jié)論

(1)分時(shí)期建立了軟土路基的Logistic、Verhulst沉降預(yù)測(cè)模型，并以對(duì)數(shù)誤差平方和最小為原則確定了最優(yōu)加權(quán)系數(shù)，建立了路基沉降預(yù)測(cè)的最優(yōu)加權(quán)幾何平均組合模型。

(2)工程實(shí)例表明:在填筑期，由最優(yōu)加權(quán)幾何平均組合模型擬合的沉降值誤差小于參加組合的2個(gè)模型，其擬合精度及可靠性都比單一預(yù)測(cè)模型要好，使所得的擬合曲線很接近實(shí)測(cè)值;而在降水期，參與擬合的2種模型相比，灰色Verhulst模型更接近實(shí)測(cè)值，擬合精度更高，平均相對(duì)誤差在1.75%。

(3)從降水期的預(yù)測(cè)情況看，雖然灰色Verhulst模型的預(yù)測(cè)精度較高，但是其擬合出的曲線并未嚴(yán)格符合實(shí)測(cè)曲線，其原因有待從土體本構(gòu)模型、巖土流變角度考慮進(jìn)行進(jìn)一步研究。

［1］ 中華人民共和國(guó)鐵道部.鐵建設(shè)［2003］13號(hào) 京滬高速鐵路設(shè)計(jì)暫行規(guī)定［S］.北京:中國(guó)鐵道出版社，2005.

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Research on the Fitting of Logistic Model and Verhulst Model for Subgrade Settlement Prediction

HU Xiao-yang，WANG Lian-jun，ZHANG Guang-zong
(School of Civil Engineering and Architecture，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China)

Subgrade settlement of high-speed railway is a complex systematic process that involves different periods and construction conditions，so only choosing a single model cannot represent the integrated deformation rule of subgrade.Both the Logistic model and Verhulst model can be described by S-shaped curve，and can reflect the settlement-time relation of subgrade through the whole process.Focusing on the two periods of subgrade filling period and precipitation period respectively，by means of the MATLAB software to program and calculate the model parameters，this paper obtained the Logistic model and Verhulst model，and then obtained the optimal weighted combination model of the both.Comparative calculation results show that the optimal weighted combination model of the both can fit well with the measured date，and the fitting precision is better than that of each single model in subgrade filling period;while in the precipitation period there is higher predictive precision by only using the Verhulst model that is more close to the measured data，with an average relative error of about 1.75%.

high-speed railway;prediction model;MATLAB programme;subgrade settlement;fitting

U213.1

A

1004-2954(2013)09-0001-03

2013-01-29

鐵道部科技研究開(kāi)發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2008G032-A)

胡曉陽(yáng)(1987—)，女，碩士研究生，E-mail:11121342@bjtu.edu.cn。