影響雙向張弦梁結構受力性能的參數分析

吳 捷

(1.蘇州大學金螳螂建筑與城市環境學院，215000江蘇蘇州;2.東南大學土木工程學院，210096南京)

雙向張弦梁作為一種新型的張弦梁結構體系，彌補了單向張弦梁側向穩定不足，以及僅平面內傳力造成的傳力效率低等缺點，并成功應用于2008年北京奧運會主體育館屋蓋受力體系.以往普遍的觀點是雙向張弦梁結構與單向張弦梁結構的性能類似，但隨著研究的深入，雙向張弦梁的自身特點和特殊性能逐漸凸顯［1-4］.作為一類典型的空間受力體系，影響雙向張弦梁結構受力性能和優化設計的主要參數與單向或單榀張弦梁相比而言要復雜很多，包括了結構的高跨比(結構上弦最大高度與短跨長度之比)、垂跨比(結構下弦最大垂度與短跨長度之比)、間距比(結構兩個方向張弦梁的間距之比)、長寬比(結構兩個方向的總跨度之比)以及影響預應力取值的平衡荷載值的大小等.本文將運用基于平衡荷載態的雙向張弦梁優化設計的基本思路和方法對各參數的優化進行詳細分析.

1 參數優化分析的力學模型

本文選取的基準模型為某購物中心48 m×48 m跨度的雙向張弦梁屋蓋結構，如圖1所示.結構平面均勻分為8×8格，橫向(x向)和縱向(y向)均布置7道索和梁，已知上弦梁系為雙向拋物面，拋物面曲面方程為z(x，y)=1.6×周邊在一平面上，拋物面最高點處梁高1 600 mm，下弦跨中垂度為2 000 mm.上弦各節點作用的豎向最大荷載為63 kN，最小豎向荷載為36 kN.只改變一種結構參數，分析其對雙向張弦梁以結構用鋼量最小為目標的優化結果的影響.

優化結果通過兩步3級優化算法得到.第1步，基于結構在平衡荷載態下的泊松方程進行結構上弦梁拱和下弦索網形狀的優化并確定初始預應力的分布，即通過索網形狀優化確定各撐桿高度平面分布形式，根據確定后的索網曲面形狀以及平衡荷載態下的索力水平分量，通過預應力與幾何的聯合找形，最終確定各榀索的初始預應力，該方法的正確性已在文獻［5-6］中進行了詳細的闡述和驗證;第2步，結合零階與一階優化算法進行桿件截面尺寸的優化［7-10］.其中第2步優化按照索截面、上弦梁桿截面和撐桿截面3個等級依次進行.

這里所提及的平衡荷載指的是假設上弦鋼梁為平面時，由索網提供并經撐桿底部傳遞給上弦每個節點的豎直向上的節點力.當上弦為曲面時，平衡荷載是上弦鋼梁和下弦索網在節點處的豎向合力.當結構受到豎向向下的外荷載等于這個平衡荷載值時，上弦剛性梁幾乎不受彎，整個結構處于荷載階段受力最佳時刻.經分析發現，當雙向張弦梁結構所受豎向荷載最小值小于結構自重時，平衡荷載值應取為豎向荷載最小值與最大值之間的平均值;當雙向張弦梁結構所受豎向荷載最小值大于結構自重時，平衡荷載值應取為結構自重與豎向最大值的平均值［10］.在以結構自重最輕為優化目標的結構優化設計過程中，由于結構的自重是未知量，是優化設計的目標值，因此可以近似取平衡荷載值為結構所受豎向荷載最小值和最大值的平均值.本文的基準模型近似取45 kN為平衡荷載值.

選取箱形截面上弦梁及邊梁初始尺寸為600 mm×300 mm×15 mm×8 mm，下弦索初始截面為1 080 mm2，撐桿初始截面為1 103 mm2，屋面柔性支撐初始截面為113 mm2，梁桿的許用應力為［σ］=310 N/mm2，索的許用應力為［σ］=850 N/mm2，最大允許豎向位移L/300，壓桿長細比上限［λ］=150.梁截面寬度為200～1 000 mm，高度為300～1 000 mm，梁寬側面厚度為2～25 mm，梁高側面厚度為6～25 mm.撐桿截面積為200～4 000 mm2，柔性支撐截面積為20～3 000 mm2.本文僅考慮同方向的上弦梁、所有邊梁、撐桿、柔性支撐分別選擇統一型號的截面尺寸.

圖1 某購物中心雙向張弦梁結構布置圖(mm)

2 參數分析

設單榀張弦梁的梁高為fu，索網垂度為fb，x(y)方向各榀張弦梁的間距為Sa(Sb)，x(y)方向跨度為La(Lb)，單榀張弦梁如圖2所示.

圖2 單榀張弦梁的幾何參數

2.1 高跨比對優化結果的影響

保持結構長寬、間距、索網垂度以及所取平衡荷載值等參數均不變，分別選取高跨比fu/L=0、1/120、1/60(2/120)、1/40(3/120)、1/30(4/120)、1/24(5/120)、1/20(6/120)、7/120、1/15(8/120)，分析其對雙向張弦梁以結構用鋼量最小為目標的優化結果的影響.

圖3給出了雙向張弦梁高跨比對結構的優化影響結果.從圖3(a)可知，雙向張弦梁高跨比對結構上弦梁用鋼量的影響顯著，隨著高跨比的增加，結構的剛度逐漸增大，用鋼量近似呈線性遞減.在高跨比從0增至1/15，即拱高從0 m增至增加到3.2 m的過程中上弦鋼梁用鋼量下降了近130 t，即拱高每增加1 m，用鋼量可節省16.3 kg/m2.同時，由總鋼材用鋼量的變化曲線可知，邊梁、撐桿和柔性支撐等次要構件不會改變結構整體用鋼量隨高跨比的變化趨勢.從下弦索的用鋼量看，高跨比的增大可以逐漸減小索材用量，但變化極其微小.結合圖3(b)可知，當雙向張弦梁高跨比小于1/20時，結構的用鋼量主要由跨中撓度控制，而結構上弦鋼梁的應力水平始終較低，保持在60 MPa以下，其間撓度曲線的波動主要是受次要構件截面尺寸的影響所致，但撓度值始終接近撓度限值.當高跨比大于1/20后，在用鋼量繼續減小的同時，結構豎向剛度的優勢更為明顯，表現為最小用鋼量轉變為由上弦鋼梁整體和局部穩定控制，此時構件應力顯著增大.由圖3(c)可知，雖然結構高跨比的增大使得上弦鋼梁的構件長度會逐漸增大，但隨著截面尺寸的不斷減小，上弦用鋼量始終保持近似線性遞減的態勢.可見，雙向張弦梁的高跨比對結構的剛度貢獻較大，增大高跨比可有效減小用鋼量.

2.2 垂跨比對優化結果的影響

取基準模型，保持其他參數不變，僅改變雙向張弦梁的下弦索網垂度，分別選取垂跨比fb/L=0，1/120，1/60(2/120)，1/40(3/120)，1/30(4/120)，1/24(5/120)，1/20(6/120)，7/120，1/15(8/120).同時建立無索的交叉梁系空間鋼結構和無索的框架梁系空間鋼結構模型，以分析對比下弦預應力索對優化結構的影響.

圖3 高跨比對優化結果的影響

垂跨比對優化結果的影響在圖4中進行了對比分析.結合圖4(a)和4(c)可知，與高跨比影響相似，垂跨比的增加可以有效地增大結構的剛度.垂跨比從0增至8/120，即垂度從0 m增至3.2 m的過程中，上弦鋼梁用鋼量下降了近120 t，但對比選取僅增加同樣大小的高跨比或垂跨比，前者可以同比更節省鋼材.同時，從上弦梁用鋼量隨垂跨比增加的曲線走勢看出，曲線呈階梯狀，即垂跨比在1/40～1/30和1/24～7/120兩個區間內上弦梁用鋼量的變化很小.此外，與傳統觀念不同，雖然增加垂跨比會增大單根索的長度，但由于索應力的下降，下弦索用鋼量隨垂跨比的增加線性遞減，但就整個結構總用鋼量而言，其影響不大.同樣，次梁、撐桿和柔性支撐等次要構件也基本不會影響結構用鋼量隨垂跨比變化的總體走勢.由圖4(b)可以看出，在用鋼量優化過程中，跨中撓度始終是控制指標，隨著后期垂跨比的增加，鋼梁應力也會有所增加.

圖4(d)中橫坐標上點GriB表示交叉梁系空間鋼結構，其荷載傳遞方式和受力特點類似單層網殼，模型的建立方式與雙向張弦梁完全一致，僅去除了下弦索網單元;點Frame表示框架梁系空間鋼結構，其荷載傳遞路徑主要為單向，次梁主要起縱向支撐作用，模型建立的方式除將次梁各桿件與主梁的連接變為鉸接且去除下弦索網單元外，其他均與雙向張弦梁基準模型保持一致.從圖中曲線走勢不難看出，下弦預應力索網的存在對節省結構鋼材的作用是十分明顯的.相對于下弦索垂度為零時，不布置下弦預應力索網的交叉梁系空間鋼結構用鋼量將增大145.2%，框架梁系空間鋼結構的用鋼量則增大了91.1%.可見，相對于傳統空間鋼結構，空間預應力鋼結構的優勢是毋庸置疑的.

圖4 垂跨比對優化結果的影響

由于垂跨比的增加需犧牲建筑內部空間的凈高，加之結構用鋼量隨垂跨比的增加，下降速率不均勻，效果不如增加上弦鋼梁的拱高，因此增加拱高的優勢顯于增加下弦索垂度.

2.3 兩向間距比對優化結果的影響

選取基準模型，保持其他參數不變，僅改變x方向各榀張弦梁間的間距，取x方向各榀間距與y方向各榀間距之比分別為Sa/Sb=2/3、4/5、1、4/3、2，分析其對優化結果的影響，如圖5所示.此外，本節還與單向張弦梁進行了對比，單向張弦梁用Sa/Sb=8表示，模型為交叉梁系在y方向布置間距為6 m的7榀橫向張弦梁，x方向僅布置間距為12 m的3榀縱向梁的單向張弦梁結構.

結合圖5(a)、5(c)知，隨著x方向間距的增大，y方向張弦梁的榀數不斷減少，剛度減弱，因此y方向各榀張弦梁的截面積隨著兩向間距比的增加而增大，但從上弦鋼梁用鋼量曲線圖看出，整條曲線基本保持水平，差值在4%以內.與此類似，下弦索用鋼量隨兩向間距比的變化也不大.總鋼材用鋼量隨兩向間距比的增大呈現先減小后增大的趨勢，在兩向間跨比等于4/3時達到最小值，相對最大值減小了10%.從圖5(b)看出用鋼量的優化始終以跨中撓度為控制指標，兩向鋼梁的應力分布較為均勻.由圖5(d)、5(e)可知，當采用單向布索時結構用鋼量會有所增加，同時兩個方向上弦鋼梁的最大應力差值會較雙向張弦梁結構明顯增大.

圖5 兩向間距比對優化結果的影響

可見，對于中小跨度的雙向張弦梁，改變兩個方向各榀張弦梁的間距對結構的上弦鋼梁的用鋼量影響不大，但間距比過小或過大會增加支撐體系構件等次要構件的用鋼量.總體而言，雙向張弦梁結構體系開間的布置還是具備較大的自由性和靈活性的.

2.4 結構長寬比對優化結果的影響

選取基準模型，保持其他參數不變，僅改變x方向的總跨度，選取長寬比分別為La/Lb=0.5、0.75、1、1.25、1.5、1.75、2，分析其對優化結果的影響，同時還與相對應的單向張弦梁進行對比，如圖6所示.由圖6(a)～6(c)可知，雙向張弦梁結構最小用鋼量隨長寬比變化的優化過程始終以跨中撓度為控制變量，兩個方向上弦鋼梁的應力水平始終維持在50 MPa左右.隨著長寬比的增加，結構的豎向剛度逐漸減弱，需要以加大上弦鋼梁截面積來進行平衡.在長寬比不大于1時，上弦鋼梁截面積的增大速率較快，之后增大幅度漸趨平緩，但由于結構平面的增大，用鋼量的增漲幅度在長寬比大于1.25后與長跨比從0.5到1其間基本一致.長寬比在1～1.25之間時結構鋼材用鋼量出現一個水平過渡區.也就是說，對于中小跨度的雙向張弦梁，長寬為48～60 m是一個較為經濟的跨度.此外，下弦索材用量隨長寬比的增大也逐漸增加，但相對鋼材增幅基本可以不予考慮.

圖6 結構長寬比對優化結果的影響

為了直觀地比較單向張弦梁與雙向張弦梁，本節還考察了與基準模型各參數相同的交叉梁系單向張弦梁結構以及框架梁系單向張弦梁隨長寬比變化的結構用鋼量優化結果.交叉梁系單向張弦梁結構是指上弦鋼梁為交叉梁系，受力類似于單層網殼，索沿其中一個方向的梁軸線布置.框架梁系單向張弦梁是指上弦一個方向為連續梁，另一方向的次梁僅起縱向支撐的作用，也是現在工程中常用的單向張弦梁結構類型.由圖6(d)可以清晰觀察到，隨著結構長寬比的增大，結構的跨度不斷增加，使得結構的豎向剛度逐漸減弱，因此需要加大上弦鋼梁的截面尺寸予以平衡.優化結果顯示，結構長寬比小于1時交叉梁系單向張弦梁和框架梁系單向張弦梁的上弦鋼梁截面積都略小于雙向張弦梁;當結構長寬比大于1后，x方向梁(即不布置索的梁)截面積出現先減小后逐漸穩定或有所增大的現象，因為單向張弦梁是以單向傳力為主的結構，隨著x方向梁跨度的增大，這種傳力特點更為明顯，但當此方向梁跨度增大較多，即大于72 m后，由于豎向剛度減弱加大，為了保證正常使用狀態下的跨中位移限值，梁的截面積不能再減小甚至需要加大來提高梁跨間的剛度.更需要的重視的是，此時沿長跨方向布置的各榀張弦梁上弦鋼梁(y方向上弦鋼梁)截面積均表現為持續的急劇增大.由圖6(f)可知交叉梁系單向張弦梁結構和框架梁系單向張弦梁結構的用鋼量隨結構長寬比的增大呈現不斷增大的趨勢且速率逐漸加大.前者在長寬比小于1時用鋼量略小于雙向張弦梁結構用鋼量，當結構長寬比大于1后用鋼梁明顯大于雙向張弦梁結構，在長寬比等于2，即結構跨度為48 m×96 m時，交叉梁系單向張弦梁用鋼量相對雙向張弦梁增大了58%.后者就上弦鋼梁用鋼量而言，在長寬比達到1.75，即結構跨度為48 m×84 m后超過雙向張弦梁，但由于傳統的單向張弦梁結構單向傳力的特點尤為突出，需要有足夠的支撐系統，包括縱向支撐和周邊邊梁形成完整的空間工作整體，因此，從總鋼材用鋼量曲線上看到，在長寬比大于1.25后就趕上并逐漸超過雙向張弦梁結構，在長寬比等于2，即結構跨度為48 m×96 m時，框架梁系單向張弦梁總鋼材用鋼量相對雙向張弦梁增大了25%.雖然單向張弦梁結構的下弦索用料始終低于雙向張弦梁結構，但相對鋼材耗鋼量而言可以忽略不計.此外，從鋼梁應力分布來看，雙向張弦梁結構比交叉梁系或框架梁系單向張弦梁結構均勻得多，更有利于抵抗結構在非均布荷載等特殊工況下帶來的不利影響.

綜上所述，一般業界認為正方形平面布置適宜采用雙向張弦梁結構而長方形平面布置采用單向張弦梁結構體系更優的觀點在本文的研究結果看來有失偏頗.對于小跨度，即結構跨度小于48 m的結構，采用單向張弦梁結構體系略省鋼材，但當跨度大于48 m后，無論是等邊的正方形平面布置還是不等邊的長方形或橢圓形平面布置均以采用雙向張弦梁結構體系更具優勢.

2.5 平衡荷載值對優化結果的影響

選取基準模型，僅改變平衡荷載值的選取大小，即分析平衡荷載值(節點力)F=18，27，36，45，54，63，72 kN時對優化結果的影響，如圖7所示.

由圖7(a)～7(c)可以看到，隨著所取平衡荷載值的變化，結構最小用鋼量的優化過程始終以跨中撓度控制，兩個方向上弦鋼梁的應力水平相近且較低.隨著所取平衡荷載值的增大，索的用材量變化不大，但最小用鋼量優化曲線和上弦鋼梁的截面尺寸優化曲線都會出現一個極值點.這是因為平衡荷載值決定著預應力度的取值，預應力的大小對結構在荷載態的剛度有著直接的影響.預應力取值過小，在最大豎向荷載作用下結構應力過大，需要加大截面尺寸以增大結構強度和剛度;預應力取值過大，在風吸力或預應力施工階段可能引起反向撓度過大或結構強度不夠，也需加大構件的截面尺寸.因此.只有當預應力取值合適，即平衡荷載值取值合適時才能得到最優結構方案.圖中顯示45 kN對于基準模型而言是個相對合適的平衡荷載取值.

圖7 平衡荷載值對優化結果的影響

如第1節中所述，由本算例的計算結果，基準模型在平衡荷載為每個節點45 kN(1.25 kN/m2)時優化后的結構自重為0.548 kN/m2，小于最小豎向荷載0.75 kN/m2，因此對于該優化后的結構平衡荷載值應取為(0.548+1.75)/2=1.149 kN/m2，即每個節點41.364 kN，該值與分析工況F=45 kN最為接近，因此圖中顯示45 kN時為極值點.

在以往對張弦梁結構的分析研究中對預應力的作用觀點不一.文獻［3-4］認為張弦梁結構隨著預應力的增大，結構內力應該增大.文獻［11-12］認為在預應力較小的情況下結構的內力是減小的，因此可減小截面尺寸.文獻［13］認為隨著預應力值的改變，結構用鋼量變化不大，預應力的主要作用在于調節結構在使用荷載作用下的變形.事實上，通過本文的分析發現，預應力的大小取決于平衡荷載值的大小，而平衡荷載值是存在最優值的，此最優值通過已知的結構自重、豎向最小荷載值和豎向最大荷載值即可確定.

3 結論

1)通過分析研究，建議48 m跨度以上的矩形平面結構均可優先考慮采用雙向張弦梁結構，受力更為合理.

2)在設計雙向張弦梁結構時，盡量增大高跨比是最合理經濟的方法;在不影響室內凈高的條件下加大垂跨比也是提高結構剛度、減小用鋼量的有效措施;可以根據建筑內部的開間大小和平面布置的需要來確定雙向張弦梁的兩向間距比.

3)雙向張弦梁結構預應力索中的預應力取值由平衡荷載的大小決定，而平衡荷載存在最優值，由結構自重、豎向最小荷載和豎向最大荷載三者確定.

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