基于屈服體積比的拱壩整體穩定尖點突變模型

李季瓊 ， 宋鵬 ， 王少偉 ， 劉 穎

（1.河海大學水文水資源與水利工程科學國家重點實驗室，江蘇 南京 210098；2.河海大學水資源高效利用與工程安全國家工程研究中心，江蘇 南京 210098；3.河海大學水利水電學院，江蘇 南京 210098；4.揚州市勘測設計研究院有限公司，江蘇 揚州 225007）

拱壩由于其力學性能優良和工程造價經濟的特點，已成為我國水電建設中的主要壩型之一。我國目前已建或在建的壩高超過100 m的拱壩有20多座， 如錦屏一級 （305 m）、 小灣 （294.5 m）、 溪洛渡 （285.5 m）等。這些工程大多位于西部地區，地形地質復雜、地震災害頻繁且地震烈度高，拱壩安全面臨嚴重威脅，給國民經濟和人民生命安全帶來隱患。因此，研究拱壩整體穩定分析方法，確定拱壩整體安全度對掌握工程安全狀況有重要意義。

根據現代力學的穩定性理論[3]，拱壩整體失穩破壞時系統由靜止狀態向可動狀態轉變，其中衡量拱壩整體穩定的指標是拱壩整體安全度。目前，研究拱壩整體安全度的主要方法有超載法、強度儲備法和綜合法等，拱壩是否達到失穩臨界狀態的判據包括收斂性判據和突變性判據[2]，前者以迭代計算過程不收斂作為失穩判據，后者根據 “位移-荷載”或“位移-強度”關系曲線的突變點，結合塑性區貫通情況進行判斷，但是，采用哪個節點或哪個方向的位移目前還沒有統一的認識，位移突變點和塑性區貫通指標的確定也缺乏量化標準，分析存在諸多不確定性。因此，筆者基于突變理論，將拱壩壩體的屈服體積比這一單值標量作為失穩考察量，建立拱壩整體穩定分析的尖點突變模型，用以確定拱壩整體安全度，實現失穩判據的量化。

1 尖點突變理論

突變理論是以分叉理論、奇異理論和拓撲學為數學工具，用以分析如巖石突然斷裂、橋梁突然坍塌、拱壩失穩等傳統的微積分方法不能解釋的不連續變化現象的數學分支[4]。拱壩一般在容許荷載作用下變位光滑連續，但是，當壩體或基巖剛度不足，拱壩或巖基會突然失穩，由一種連續狀態跳躍到不連續的狀態，該失穩突變過程具有多模型態、不可達性、突跳性、滯后性、發散性等特征[1]，可采用尖點突變模型予以判別，其幾何形狀如圖1所示。

圖1 尖點突變模型

尖點突變模型的標準勢函數[5]為

式中，x為狀態變量；u、v為控制變量。

該勢函數對應三維狀態空間，當勢函數有唯一的極值時，系統處于穩定狀態；當系統處于失穩狀態時，勢函數有多個極值。臨界點方程可由勢函數求一階導數得到

式（2）同時給出系統的平衡曲面，該曲面上、下葉對應穩定的平衡位置；對應于曲面中葉的平衡位置是不穩定的。對于u、v的任意變化，空間相點在平衡變化到達上葉或下葉的邊緣時會發生突變而越過中葉，在平衡曲面上將滿足：

由式（2）、（3）聯立求解，消去x可以得到勢函數的分叉集：

當Δ>0時，系統處于穩定狀態；當Δ=0時，系統處于臨界失穩狀態；當Δ<0時，系統處于非穩定狀態。式（4）即為系統整體穩定與否的判據。

2 拱壩整體穩定的尖點突變模型

采用強度折減法分析拱壩系統 （包括壩體和壩基）的整體穩定安全，隨著材料強度逐步降低，拱壩屈服破壞區域逐漸擴展，壩體的屈服體積比將不斷增大，直至結構喪失承載能力而發生整體失穩破壞。因此，拱壩失穩過程將伴隨壩體屈服體積比逐漸增大直至突變，可以將壩體屈服體積比作為失穩考察量，建立尖點突變模型評價拱壩整體穩定性。采用強度折減法進行非線性有限元分析，得到多級強度條件下的壩體屈服體積比，從而獲得屈服體積比與強度折減系數的對應關系。一般可以認為壩體屈服體積比是強度折減系數的連續函數，根據尖點突變理論，建立壩體屈服體積比Q與強度折減系數k的尖點突變模型勢函數

由于尖點突變模型的標準勢函數為四次多項式，考慮精度要求，取四次多項式進行擬合

式中， ai（i=0～4）為多項式系數。

采用Tschirnhaus變化，對式（6）作系數變換，轉化為尖點突變模型的標準形式。為此，引入狀態變量Y和中間變量L，令k=Y－L，可以得到

其中，

在式（7）中， 令

則得到尖點突變模型的標準勢函數為

刪除式（8）中的常數項E不改變V的性質，這樣可以得到形如式（1）的勢函數。因此根據尖點突變理論，拱壩系統整體穩定狀態的判別式為

當Δ>0時，拱壩系統處于穩定狀態；當Δ=0時，拱壩系統處于臨界失穩狀態；當Δ<0時，拱壩系統處于非穩定狀態。

3 工程實例

3.1 有限元計算模型

某碾壓混凝土拱壩壩頂高程1 274.5 m，最大壩高94.5 m，壩頂長252.3 m，寬6.0 m，壩底寬20.0 m。根據地質資料，以拱冠梁剖面為參考，向上游取1倍壩高，向下游取2倍壩高，沿頂拱壩肩向左、右岸各取1倍壩高，建基面以下取1倍壩高，建立三維有限元模型。有限元網格主要采用八節點六面體單元，局部區域以六節點五面體單元過渡，共劃分7 585個單元和8 228個節點，其中壩體單元2 860個，節點3 835個。模型底面為三向固定約束，上下游邊界和兩岸邊界分別施加法向約束。計算工況為正常蓄水位的基本作用組合，荷載包括壩體自重、水壓力 （正常蓄水位1 272.0 m）、溫降、淤沙壓力和揚壓力。采用強度折減法進行非線性有限元分析時，壩體和基巖各部位的材料均采用基于線性Mohr-Coulomb屈服準則的彈塑性本構模型。拱壩系統各部位材料的主要力學參數見表1。混凝土的熱膨脹系數為8.5×10-6/℃。

表1 拱壩系統不同部位材料的物理力學參數

3.2 成果分析

3.2.1 基于屈服體積比的拱壩整體安全度評判

在強度折減法計算過程中，等比例降低壩體和基巖的材料抗剪強度，強度折減系數從1開始，以0.1為間隔，逐級遞增。采用經過折減的材料強度參數對拱壩系統進行有限元計算，得到各級強度條件下的壩體屈服體積比。根據屈服體積比與強度折減系數關系曲線 （如圖2a所示）的變化特征初步判斷拱壩系統的整體安全度在1.70~1.90之間。因此，從k=1.70開始，以0.01為間隔，再次逐級降低材料抗剪強度進行計算，得到屈服體積比與強度折減系數的關系曲線如圖2b所示。

當強度折減系數為ki從1.70開始時，對前i個k與相應的壩體屈服體積比Qi進行四次多項式擬合，通過式（6）~（9）可求得不同折減系數ki對應的突變特征值Δi。 Δi將隨著ki增大而逐漸減小， 當Δi=0時， 認為拱壩系統處于穩定臨界狀態，此時的ki即為強度儲備安全度。

當折減系數k取1.81時， 對ki（i=1~12）和相應的壩體屈服體積比Qi（i=1~12）進行四次多項式擬合，得到

由式（8）通過系數變換，建立尖點突變模型的標準勢函數為

根據式（9）可以得到壩體屈服體積比的突變特征值為

據此可以認為拱壩系統處于穩定臨界狀態，整體強度儲備安全度為1.81。圖3、4分別為k=1.40和k=1.81時壩體及壩基屈服區的分布情況。k=1.40時，壩體中低高程上游壩面兩側拱端受拉屈服，下游壩面兩側拱端受壓屈服；建基面中低高程壩踵和壩趾部位出現屈服區。隨著壩體和基巖材料強度降低，上、下游壩面的屈服區向上部延伸，并沿壩厚方向向壩體內部擴展；建基面壩踵、壩趾部位的屈服區逐漸擴大，在中低高程開始局部貫通，并沿岸坡向上部延伸。k=1.81時，左右壩肩中下部已全部屈服貫通，建基面中低高程的壩肩巖體全部屈服貫通，根據塑性屈服區貫通判據，拱壩系統已處于失穩狀態。因此，該拱壩系統的整體強度儲備安全度為1.81。

圖3 k=1.40時壩體和建基面塑性屈服區分布

圖4 k=1.81時壩體和建基面塑性屈服區分布

3.2.2 拱壩整體穩定的位移突變分析

位移突變法根據計算域內某一部位位移與強度折減系數關系曲線的變化特征確定拱壩整體安全度。該方法物理意義明確，但是對于位移考察點的選擇目前還沒有統一認識。筆者選取拱壩拱冠梁壩頂順河向位移、左岸1/4拱圈壩頂順河向位移、右岸1/4拱圈壩頂順河向位移作為考察量，根據上述位移與強度折減系數關系曲線的突變點評價拱壩整體安全度，得到如圖5為所示關系曲線。從圖中可以看出：右岸1/4拱圈壩頂順河向位移在k=1.80時產生突變，左岸1/4拱圈壩頂和拱冠梁壩頂順河向位移均在k=1.81時產生突變。據此可以判斷拱壩整體強度儲備安全度為1.80，且位移的突變是從右岸壩體開始的，然后逐漸擴展至左岸壩體，位移考察點的選取對拱壩整體安全度的計算結果有較大影響。

圖5 壩體順河向位移與強度折減系數關系曲線

綜上所述，采用基于屈服體積比的尖點突變模型和位移突變法研究某拱壩系統的穩定安全，得到拱壩的整體強度儲備安全度分別為1.81和1.80。結果表明：兩種方法評價結果基本一致，以屈服體積比作為失穩考察量，物理意義明確，評判結果唯一；采用位移突變法研究拱壩整體安全度，位移考察點的選取對計算結果影響較大，位移突變點往往依據經驗確定，受人為主觀因素影響較大；基于屈服體積比的尖點突變模型可以實現拱壩整體失穩的量化判定。

4 結語

采用強度折減法對拱壩系統進行非線性有限元計算，以壩體屈服體積比作為拱壩整體穩定狀態的考察對象，建立了拱壩整體穩定尖點突變模型。將拱壩整體穩定性判別歸結為突變特征值 的正負問題，有效避免了已有評價方法中人為因素的影響，實現了系統穩定性態的量化判定，且評判結果與已有的定性評價方法一致。另外，拱壩的壩體屈服體積比為單值標量，以其作為失穩判據，受局部材料強度和結構特征的影響較小，可以避免塑性貫通判據尚無客觀指標和位移突變判據中失穩控制點選擇的問題，結果唯一，便于分析和應用。

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