基于Optistruct的重力壩拓撲優化應用研究

何成龍，涂興懷

（西華大學能源與環境學院，四川 成都 610039）

工程結構優化是隨著計算機技術和有限元技術的發展而迅速發展起來的，目的是使工程結構更加穩定，體積或材料分布達到最優，使結構在滿足剛度和耐久性等要求的同時，組件更加輕量化。工程結構優化類型主要包括拓撲優化、尺寸優化和形狀優化等幾類。尺寸優化作為工程結構優化中最低層次的優化類型，主要是通過調整結構的幾何尺寸使構件的結構達到最優。形狀優化一般是對表面節點進行較小的調整以減小局部應力集中，常用于產品外形需要微調的情況。但無論是尺寸優化還是形狀優化往往都無法使結構的性能達到最優，為此人們開始研究拓撲優化。拓撲優化作為最高層次的優化類型，開始于包含指定條件 （例如邊界條件和載荷）的初始設計，優化分析過程在符合優化約束 （比如最小體積或者最大位移）的前提下改變初始設計區域的單元密度和剛度，從而確定結構新的材料分布形式。拓撲優化相對于尺寸優化和形狀優化而言具有更多的設計自由度，能夠獲得更廣闊的設計空間。拓撲優化能使結構在設計階段減少設計次數，大大縮短設計時間，使開發和制造的成本得到最大節約。混凝土實體重力壩由于其施工簡單、方便取材和良好的耐用性等優點得到廣泛應用，但因其體積龐大使得筑壩材料耗費巨大，因而體積的合理優化對降低工程造價具有十分重要意義。

1 拓撲優化的理論方法與應變能優化準則

1.1 拓撲優化的基本理論

結構拓撲優化來源于拓撲學，它以材料分布為優化對象，通過拓撲優化可以在給定的結構設計空間內找出最優的材料分布。Optistruct是一個有限元結構分析和優化軟件，用于進行概念設計和精細設計[1-2]。采用Optistruct軟件進行拓撲優化，能在提供的優化方法中進行多種響應，比如靜態應變能、體積或體積百分比和應力應變等。

1.2 拓撲優化的基本方法

拓撲優化分為離散體結構拓撲優化和連續體結構拓撲優化，后者是結構優化領域中的熱點，目前對于連續體拓撲優化方法的研究方法主要有均勻化 方 法 （Homogenization Method）[3]、 變 密 度 法（Variable Density Method）[4]、 漸進結構優化法（Evolutionary Structural Optimization）[5]等。 其中， 均勻化方法和變密度法的研究相對較成熟，變密度法是在均勻化方法的基礎上發展起來的，但變密度法相對于均勻化方法來說，具有設計變量少、程序實現簡單等優點。

變密度法主要是通過描述材料的分布方式對結構進行優化，變密度法將單元的材料以一種假想的材料密度值作為設計變量，取值為0.0～1.0之間，其中0代表空，1代表實。這樣就可以定義一個經驗公式來表達密度和彈性模量間假定的函數關系，通過不斷調整結構中材料的假想密度值，在目標函數和約束前提下使密度與剛度能較好地匹配設計變量。變密度法通過引入懲罰因子對中間密度值進行懲罰，使密度值向0.0和1.0兩邊界聚集，最終能使模型更好地逼近實體或空洞。

1.3 應變能準則

為了實現拓撲優化，必須選擇收斂快速和計算簡便的優化準則，并且該優化準則能全面地考慮優化模型的剛度或者柔度。對于一個安全的結構，其剛度越大，安全性和穩定性就越好。一般可以認為應變能是結構剛度的倒數，通過刪減結構中某些未能充分應用的材料，使模型中結構的應變能密度趨于均勻化，結構的總應變能達到最小，即結構剛度最大，此時結構達到最優。

彈性體在受力后要發生變形，同時彈性體內將積蓄能量，這種伴隨彈性形變的增減而改變的能量稱為應變能。結構的整體總應變能為

式中，εTσ為微元結構體內存儲的應變能密度；V為設計材料總體積。對系統離散，取出單元體分析，則對于平面任意一點應力應變分別為

式中，D為彈性矩陣且DT=D；ue為f作用下節點的位移列陣；Be為單元應變矩陣。單元應變能密度為

從應變能出發研究結構的性能特性相對于應力、應變等單一指標來說更能夠全面的考慮結構中的應力和應變分量，且計算和分析都較方便。可以為整個結構的屬性或材料定義應變能，如果應用加權應變能作為優化響應，還可以對整個結構的屬性組或材料組定義應變能，能夠全面反映不同屬性或者不同材料的組合結構的性能指標。

2 工程實例

2.1 工程概況

某實體重力壩，壩高100 m，上游校核洪水位95 m，下游水位10 m。作用荷載有壩體自重，上、下游水壓力，上游淤沙壓力。泥沙淤積厚度30 m，淤沙內摩擦角14°，浮容重為8 kN/m3；揚壓力折減系數0.25，排水孔距上游壩踵10 m；壩體混凝土彈性模量2.5×1010Pa，泊松比0.16，密度2 700 kg/m3；壩基巖體彈性模量2.9×1010Pa，泊松比0.3，密度2 600 kg/m3；混凝土與基巖間的摩擦系數取0.7，用抗剪強度公式計算壩體沿壩基的抗滑穩定安全系數Kf。

2.2 優化思路及步驟

與傳統尺寸優化不同，optistruct的拓撲優化是根據模型的有限元分析數據設定響應，按優化目的將響應賦為優化目標、約束、變量三要素，然后由優化模塊進行優化。實例的具體拓撲優化步驟如下：

（1）根據壩體資料，應用實體重力壩設計原則設計理論壩體尺寸。

（2）應用CAD軟件參數化建立初始模型，包括模型的高和壩底寬度，并將壩體分為拓撲區和非拓撲區。

（3）將模型導入hypermesh進行前處理。施加上下游水位荷載、上游淤沙荷載、自重和揚壓力荷載，在此不考慮浪壓力、風壓力等其他影響小的荷載。

（4）在hypermesh中調出optistruct模塊，然后在模塊中設置拓撲優化卡片，定義靜態應變能、體積百分比、應力為響應，并進行拓撲優化。

（5）從優化后的圖形結果中提取出特征點，應用數值擬合方法擬合壩體斷面，并對其進行靜態分析。

（6）根據擬合壩體的靜力分析提取數據，包括最大壓應力、上游拉應力、壩體體積及應變能等。

2.3 具體優化步驟

（1）首先根據壩體基本資料，應用實體重力壩設計原則設計理論壩體尺寸。根據SL 319—2005《混凝土重力壩設計規范》，設定壩體上游面為鉛直面，壩底寬80 m，壩頂寬10 m，下游坡比m=1:0.78。壩體的斷面面積為4 141.03 m2。對斷面進行靜力分析，得到壩體抗滑穩定性安全系數Kf=1.35，壩踵豎向應力為-0.72 MPa，不存在拉應力，壩趾豎向應力為-1.87 MPa，未超過混凝土抗壓應力，表明采用該理論設計符合重力壩設計規范。

（2）建立參數化優化模型，根據壩頂寬度，將距大壩上游面10 m寬度區域定義為非拓撲區，其余為拓撲區，并設定初始壩堤寬76 m。上部是壩體區，下部是地基，地基上下游長度和高度均取壩高。

（3）建立有限元分析模型，并對模型劃分網格，根據多次模型試算，發現模型網格尺寸過小，優化時會出現較嚴重的棋盤現象，而網格尺寸過大，在有限元分析時，得出的應力分析不精確，因此最終劃分模型網格單元尺寸定為2 m×2 m的四邊形單元格，共9 000個。在模型的自重施加時應說明：應首先在optistruct中的LOAD卡片中設定荷載類型為GRAV，然后添加模型在豎向的重力加速度，重力加速度方向向下取-10 m/s2。

（4）設定優化響應，定義靜態應變能最小為優化目標；體積百分比刪減率應根據SL 39—2005《混凝土重力壩設計規范》中壩基的抗滑穩定安全系數Kf=f（∑W-U）/∑P反推出壩體的拓撲區的理論刪除率應小于62.27%，設定初始刪除率為50%；應力約束，在optistruct拓撲優化中只能定義全局應力，定義最大豎向壓應力為10 MPa。優化后的拓撲如圖1所示。

圖1 優化后的拓撲

（5）提取下游面的特征點數據并進行回歸擬合，由圖1知道，拓撲優化后下游面呈上凸型曲線，所以壩體將按照傳統的直線壩形擬合、三次曲線壩形擬合和折線壩型擬合。傳統壩形下游直線方程為Y=-0.800 00X+76.000 00 （10≤X≤76）， 其相關系數的平方R2=0.990 00；三次曲線方程為Y=-0.000 17X3+0.01935X2-1.42575X+81.14336 （10≤X≤76）， 其相關系數平方R2=0.99700。折線擬合方程為Y=-0.670 00X+72.820 00 （10≤X≤46）， Y=-1.070 00X+91.220 00（46≤X≤76），其相關系數的平方R2=0.982 00。

（6）對擬合模型進行靜力分析，得到 Y方向的應力云圖，如圖2所示。并提取模型的位移、應力等參數如表1所示。根據SL 319—2005《混泥土重力壩設計規范》規定，用有限元計算的壩基應力，宜小于壩底寬度的0.07，或小于壩踵至帷幕中線的距離，本文取4 m寬處。對于豎向應力，規定：壓應力為負值，拉應力為正值。

表1 擬合后壩體靜力分析數據

2.4 優化結果分析

應變能隨迭代次數的變化過程如圖3所示，拓撲區體積變化率隨迭代次數的變化過程如圖4所示。

從表1中可知，對壩體斷面進行3種不同的擬合，3種方式的最大Vonsimes應力為均小于混凝土的最大破壞應力；距上游4 m壩寬處的Y方向應力均為負值，并未出現拉應力；壩基抗剪斷安全系數Kf均大于規范中的1.1，因此可得該拓撲優化模型均符合規范。3種壩形的斷面面積相對于初始斷面設計面積減小率分別為9.55%、10.07%、10.07%，可見優化后的壩體斷面面積相對于初始斷面設計面積來說減小率是非常大的。從表中還可知道，當壩體斷面擬合為三次曲線時，位移和豎向壓應力均小于傳統斷面，證明下游壩面擬合為曲面時更有利，但是曲面在施工支模時存在一定困難，因此將下游壩面擬合成折線，發現壩趾處豎向壓應力最小，并且各項參數符合規范要求，證明下游壩面擬合為折線是一個較好的優化斷面。

圖2 擬合后壩體在Y方向的應力云圖

圖3 應變能隨迭代次數的變化過程

圖4 拓撲區體積變化率隨迭代次數的變化過程

從圖3可知，隨著迭代步的不斷增加，模型應變能在不斷減小，因此壩體的剛度在不斷增大，壩體穩定性和應力約束更加滿足設定要求。并且從圖中可以看出其主要的優化迭代步驟在前幾步驟，這是因為optistrcut中通過結構響應的設計敏度分析使迭代解不斷逼近優化模型，使結構優化更加快速準確。

從圖4可知，模型在優化過程中不斷的調整拓撲區的體積百分比，當到第22次迭代步時優化后的體積為全拓撲區的43.31%，即刪除率為56.69%，小于62.27%，滿足初始設定約束。

3 結 語

本文以Optistruct為平臺，采用拓撲優化的變密度法，并結合應變能優化準則對實體重力壩剖面進行了優化分析，結果表明：優化后模型的應力和安全系數等參數均滿足規范要求，進一步說明了采用基于Optistruct拓撲優化的方法對實體重力壩的斷面進行優化設計是可行的。根據優化后的數據進一步對壩體斷面進行傳統直線、三次曲線和折線3種不同方式的擬合，發現下游面擬合為折線時，壩址處豎向壓應力最小，且參數可滿足規范要求。整個優化過程從建模到優化只需要2h左右，大大的縮短了設計周期，節約了設計時間和成本。

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