基于決策函數(shù)及PSO優(yōu)化的SVM預(yù)測控制應(yīng)用研究

王 杰，陳鍇鵬

(鄭州大學(xué)電氣工程學(xué)院，河南鄭州450001)

0 引言

預(yù)測控制因其對模型的精度和表達(dá)形式要求不高而受到了廣泛關(guān)注，但是在面臨非線性控制對象時(shí)存在著模型失配、魯棒性差的問題.因此研究和改進(jìn)非線性預(yù)測控制是一個(gè)非常有意義的課題［1］.

支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)在解決非線性問題上與其它算法相比有泛化能力強(qiáng)、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)［2］.但是LeCun等人的在研究大規(guī)模樣本回歸時(shí)發(fā)現(xiàn)，SVM訓(xùn)練的速度要明顯慢于同等精度的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［3］.為了提高SVM的訓(xùn)練速度，筆者提出了一種基于簡化決策函數(shù)的SVM預(yù)測控制器，采用SVM對非線性對象進(jìn)行回歸建模，并通過矩陣變換對SVM的支持向量進(jìn)行約簡，加快了模型訓(xùn)練速度，將對象的SVM模型作為預(yù)測控制中的預(yù)測模型，通過粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)來確定 SVM的最優(yōu)參數(shù)和對預(yù)測控制的最優(yōu)控制律進(jìn)行滾動(dòng)優(yōu)化［4］.

1 SVM預(yù)測模型

1.1 決策函數(shù)約簡的SVM回歸問題

s.t.yi(〈φ ( xi)，w〉+b )≥1 － ξi，ξi≥0，i∈ N構(gòu)造決策函數(shù)K(·， ·)是將樣本向量映射至高維空間的核函數(shù).根據(jù)基礎(chǔ)線性代數(shù)理論，可以證明支持向量x(k)在特征空間Z中與其它支持向量是線性相關(guān)的，即有為標(biāo)量常數(shù).則決策函數(shù)的表達(dá)式可以寫成如下形式：

已知線性相關(guān)的向量可以用其它向量表示，因此，在表述決策函數(shù)的時(shí)候線性相關(guān)的支持向量是不需要的.所以，我們可以對支持向量進(jìn)行消減來簡化決策函數(shù).采取行階次消減的的形式來對決策函數(shù)進(jìn)行簡化［6］.

研究過程中發(fā)現(xiàn)，僅僅通過矩陣線性變換來約簡決策函數(shù)，效果不太明顯，為了提高簡化的效果，引入松弛變量Γ，在通過矩陣變換尋找依賴關(guān)系的時(shí)候，如果某一行的元素值全部小于Γ，則該樣本點(diǎn)對應(yīng)的支持向量可以刪除.合理選擇松弛因子的大小，使得訓(xùn)練誤差在可以接受的范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)決策函數(shù)的最簡化.由于決策函數(shù)復(fù)雜度降低，訓(xùn)練的速度得到了明顯提升.

1.2 PSO優(yōu)化SVM參數(shù)

采用Lagrange乘數(shù)法解決上述約束問題

式中：α為拉格朗日乘子.根據(jù)最優(yōu)性條件可以得到原問題的對偶問題：

公式(4)問題的求解通過訓(xùn)練數(shù)據(jù)集得到.

如何選取最佳的SVM參數(shù)，國際上還未出現(xiàn)一個(gè)公認(rèn)的最好方法，目前所用的方法是讓c和g在一定范圍內(nèi)取值，利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)來測試分類準(zhǔn)確率，利用分類準(zhǔn)確率來確定c和g的值［7］.如果遇到多組最優(yōu)的c和g，則采取c值最小的一組數(shù)據(jù).這樣可以避免c值過大引起的過學(xué)習(xí)情況.為了得到最佳的SVM參數(shù)，筆者采用PSO算法對SVM的懲罰參數(shù)c、不敏感損失系數(shù)g及核函數(shù)σ參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最終得到的SVM模型表達(dá)式為：

1.3 SVM模型線性化處理

為使廣義預(yù)測控制器能夠作用于SVM非線性模型，對式(5)進(jìn)行線性化處理：對第k個(gè)采樣周期，xk是相應(yīng)的回歸向量，取式(5)在xk處泰勒展開式，得到線性化模型［8］：

取回歸向量：x(k)=［xk(1)…xk(nu+ny)］=［u(k－1)…u(k－nu)y(k－1)…y(k－ny)］

令n=nu+ny，選取RBF核函數(shù)，式(6)可寫為

式(7)可作為預(yù)測控制的預(yù)測模型.

2 PSO滾動(dòng)優(yōu)化的預(yù)測控制

預(yù)測控制的任務(wù)就是使系統(tǒng)輸出y(t+j)盡可能逼近輸出設(shè)定值yr(t+j).性能指標(biāo)函數(shù)如下［9］：

式中：E{·}表示取數(shù)學(xué)期望，一般工業(yè)過程中最終輸出設(shè)定值為常值c，為了使輸出平穩(wěn)，令yr(k+j)=αjy(k)+(1－αj)c，α∈［0，1)為柔化因子;N1和N2分別為優(yōu)化時(shí)域的起始與終止時(shí)刻;nu為控制時(shí)域［10］.為了計(jì)算預(yù)測控制器的控制律，采用粒子群算法進(jìn)行迭代計(jì)算.

設(shè)定待優(yōu)化的控制量u(k+1)為PSO算法中的位置向量，SVM預(yù)測輸出量為yM(k+j+1)，系統(tǒng)實(shí)際的輸出量和預(yù)測輸出量之間的偏差為e(k+j)=y(k+j)－yM(k+j)，誤差修正后估計(jì)輸出為yP(k+j+1)=yM(k+j+1)+e(k+j).PSO適應(yīng)度函數(shù)選取為預(yù)測控制的性能指標(biāo)函數(shù).輸出gbest為最優(yōu)控制量u(k+1).粒子更新的公式為［11］

式中：θini和θend為慣性權(quán)重的初始值和終值，c1和c2為學(xué)習(xí)因子，m為最大迭代次數(shù).慣性權(quán)重的大小代表算法的全局和局部的搜索能力.學(xué)習(xí)因子c1和c2反映了粒子群之間的信息交流［12］.

3 算法流程

基于以上算法的描述及分析，筆者算法流程如圖1所示.

圖1 筆者算法流程圖Fig.1 Algorithm flow chart this paper proposed

4 仿真研究

4.1 SVM決策函數(shù)約簡數(shù)學(xué)仿真

為了驗(yàn)證決策函數(shù)約簡對支持向量個(gè)數(shù)減少的效果，我們采用kinfamily數(shù)據(jù)庫中的4 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)來進(jìn)行驗(yàn)證，簡化后的結(jié)果如表1所示.

4.2 回轉(zhuǎn)窯數(shù)據(jù)預(yù)測控制仿真

為驗(yàn)證筆者方法在實(shí)際工業(yè)過程中的有效性，以水泥回轉(zhuǎn)窯窯尾煙室溫度模型為控制對象進(jìn)行控制仿真.選取分解爐出口溫度、預(yù)燃室下部溫度、入窯二次風(fēng)溫、五級(jí)筒出口溫度和窯尾煙室溫度歷史值5個(gè)變量為輸入量，輸出量為窯尾煙室溫度.數(shù)據(jù)采樣間隔為每分鐘采樣一次，選取水泥回轉(zhuǎn)窯連續(xù)正常工作3 d時(shí)5 000組數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，前4 000組用來建模，后1 000組用來測試.采取PSO算法來確定SVM的參數(shù)，Cbest=86.301 8，gbest=0.01模型的預(yù)測誤差由圖2所示.

表1 RBF核函數(shù)SVM決策函數(shù)簡化結(jié)果Tab.1 Results of SVM decision functions simplification using RBF kernels

圖2 SVM建模誤差Fig.2 modeling error rate of SVM

由圖2可以看出LSSVM建立的模型誤差基本在－0.05～+0.05之間.根據(jù)相關(guān)工藝經(jīng)驗(yàn)，窯尾煙室的最佳溫度為1 200℃左右.因此設(shè)定期望輸出值c=1 200，優(yōu)化時(shí)域?yàn)镹2－N1=10，控制時(shí)域nu=5，μ=0.9，PSO算法中粒子數(shù)m=10，θ=0.5 最大迭代次數(shù)為 200，c1=1.6 ，c2=1.5.系統(tǒng)響應(yīng)圖為圖3.從圖3中可以看出在對回轉(zhuǎn)窯窯尾煙室溫度模型的控制過程當(dāng)中，筆者所采用的方法能夠有效地減少系統(tǒng)的超調(diào)量，加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度.

圖3 筆者方法與傳統(tǒng)GPC控制效果對比Fig.3 Control effect of GPC and method we proposed

5 結(jié)論

采取對決策函數(shù)進(jìn)行約簡的方式來對SVM進(jìn)行改進(jìn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明這種方法能夠在不影響模型精度的情況下有效地減少SVM的支持向量個(gè)數(shù).廣義預(yù)測控制具有對模型精度要求不高的特性，因此約簡后的模型精度上完全滿足預(yù)測模型的精度要求，實(shí)現(xiàn)了廣義預(yù)測控制對非線性模型的控制.通過對水泥回轉(zhuǎn)窯窯尾煙室溫度模型的仿真結(jié)果上表明該算法在實(shí)際工業(yè)過程中的適用性.

［1］席裕庚.預(yù)測控制［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1993.

［2］VAPNIK V N.Statistical Learning Theory［M］.New York：Wiley，1998.

［3］LECUN Y，JACKEL L，BOTTOU L.Comparision of learning algorithms for handwritten digit recognition［C］//International Conference on Artificial Neural Networks.P.Gallinari，1995.

［4］肖本賢，朱志國，劉一福.基于粒子群算法混合優(yōu)化的廣義預(yù)測控制器研究［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2007，19(4)：820 －824.

［5］COLLOBERT R，BENGIC S.SVMTorch：Support vector machines for large-scale regression problems［J］.Journal of Machine Learning Research.2001(1)：143 －160.

［6］TOM D，KEVIN E G，ANNETTE M.Exact Simplification of support vector solutions［J］.Journal of Machine Learning Research，2001(2)：293 －297.

［7］姜諳男.基于PSO－SVM非線性時(shí)序模型的隧洞圍巖變形預(yù)報(bào)［J］.巖土力學(xué)，2007，27(6)：1176－1179.

［8］LUCH T C C.Generalized predictive control using recurrent fuzzy neural networks for industrial processes［J］.Journal of Process Control，2007，17(1)：83－92.

［9］ALFI A.PSO with Adaptive mutation and inertia weight and its application in parameter estimation of dynamic systems［J］.Acta Automatica Sinica，2011，37(5)：541－549.

［10］郭巧，曹海璐.一種改進(jìn)的廣義預(yù)測控制方法及其應(yīng)用［J］.控制理論與應(yīng)用，2001，18(2)：310－313.

［11］穆朝絮，張瑞民，孫長銀.基于粒子群優(yōu)化的非線性系統(tǒng)最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測控制方法［J］.控制理論與應(yīng)用.2010，27(2)：164－168.

［12］賈嶸，洪剛，薛建輝，等.粒子群優(yōu)化－最小二乘支持向量機(jī)算法在高壓斷路器機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用［J］.電網(wǎng)技術(shù).2010，34(3)：197 －200.