基于信號共振稀疏分解的轉子早期碰摩故障診斷方法

陳向民 于德介 羅潔思

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

0 引言

近年來，旋轉機械不斷向著柔性化、高速化的方向發展，為了提高機組效率，轉子與定子之間的間隙越來越小。當轉子的振動幅值大于轉子與定子之間的間隙時，必然會發生動定件碰摩。轉子碰摩輕則引起機械異常振動、磨損，重則會導致斷軸等惡性事故，造成巨大的經濟損失。因此，轉子動定件早期碰摩故障診斷技術研究具有重要意義。

當轉子系統中出現動靜碰摩故障時，由于轉子與定子的周期性碰撞，故障信號中常常伴有周期性瞬態沖擊。但當出現早期碰摩時，沖擊脈沖微弱，淹沒在轉子自身強背景噪聲環境中，不易察覺。由于瞬態沖擊信號成分包含了轉子早期碰摩故障的重要信息，因此，如何從強背景噪聲環境中提取振動信號中的瞬態沖擊成分是早期轉子碰摩故障診斷的關鍵。

近年來，許多學者致力于轉子碰摩故障診斷研究，取得了較多的研究成果。孫云嶺等［1］提出利用共振解調法提取轉子早期碰摩中的故障特征，該方法首先利用IFFT方法進行定子固有振動信號的分離，再進行希爾伯特變換，得到包絡信號，通過對包絡信號進行譜分析進行故障診斷，但需要先驗知識來確定濾波的中心頻率和帶寬。小波具有多尺度特性和“數學顯微”特性，也已成功用于轉子早期碰摩故障特征的提取。李小彭等［2］利用小波時頻等高圖來診斷質量慢變轉子系統碰摩故障。彭志科等［3］利用小波尺度譜和相位譜研究了轉子碰摩故障診斷。宋友等［4］利用小波變換與多分辨分析理論，對振動信號進行多尺度分解，通過分析細節信號的能量分布研究振動信號中的碰摩特征。但小波變換缺乏自適應性，且小波基的選擇難以確定，影響了其進一步應用。EMD方法為一種自適應信號處理方法［5］，已成功應用于轉子碰摩的特征提取。Cheng等［6］用EMD方法對轉子振動信號進行分解，實現碰摩信號、背景信號和噪聲信號的分離，從而提取轉子系統局部碰摩振動信號的故障特征。但EMD本質上為一正交帶通濾波器組［7－8］，當持續振蕩的周期信號與瞬態沖擊信號頻帶相互重疊時，無法實現周期振動信號與瞬態沖擊的有效分離，且EMD在理論上存在過包絡、欠包絡、模態混淆等問題，有待進一步研究。

Selesnick［9］最近提出了信號共振稀疏分解方法，與傳統的基于頻帶劃分的信號分解方法不同，該方法根據瞬態沖擊信號與持續振蕩周期信號品質因子（定義為中心頻率與頻率帶寬的比值，用Q表示）的不同，將一個復雜信號分解成由持續振蕩成分組成的高共振分量和由瞬態沖擊成分組成的低共振分量。瞬態沖擊信號為寬帶信號，具有低的品質因子；持續振蕩周期信號為窄帶信號，具有高的品質因子，因而，根據品質因子的差異，可實現瞬態沖擊信號與持續振蕩周期信號的有效分離。信號共振稀疏分解方法首先根據待分析信號選擇兩種高低不同的品質因子，通過品質因子可調小波變換分別建立高共振分量與低共振分量的稀疏表示形式，再利用形態學分析方法建立稀疏分解目標函數，最后通過分裂增廣拉格朗日收縮算法優化求解，得到信號的高共振分量和低共振分量。

本文將信號共振稀疏分解方法引入轉子早期碰摩故障診斷，提出了基于信號共振稀疏分解的轉子早期碰摩故障診斷方法。當轉子系統發生早期碰摩故障時，重要的故障信息往往包含在瞬態沖擊信號中。信號共振稀疏分解方法根據背景噪聲與瞬態沖擊品質因子的不同，將信號分解成包含背景噪聲的高共振成分和包含沖擊成分的低共振成分，通過分析低共振成分中的瞬態沖擊成分進行故障診斷。算法仿真和應用實例驗證了本文方法提取轉子早期碰摩沖擊信號的有效性。

1 信號共振稀疏分解方法

1.1 信號的共振屬性

信號的共振屬性用品質因子Q越大，信號的頻率聚集性越好，具有越高的共振屬性；反之，信號的時間聚集性越好，具有越低的共振屬性。圖1表示了信號共振屬性的概念。圖1a、圖1c為信號時域波形圖（用采樣點數N間接表示時間），所示的信號為單周期脈沖信號，品質因子Q較小，定義為低共振信號；圖1b、圖1d為對應的幅值譜圖，所示的信號為持續多個周期的脈沖信號，品質因子Q較大，定義為高共振信號。圖1a與圖1c所示的信號之間，以及圖1b與圖1d所示的信號之間可通過時間尺度的變化互相轉化，時間尺度的變化會引起脈沖信號頻率發生變化，但對信號的共振屬性沒有影響，即具有相同的品質因子。所以高低共振信號都可能同時包含了低頻信號和高頻信號。高共振信號可通過具有高Q的基函數來實現稀疏表示，而低共振信號則可通過具有低Q的基函數來實現稀疏表示。

圖1 不同品質因子信號的時域波形及頻譜

傳統的線性濾波方法按頻帶劃分對信號進行分解，但當信號中多個分量的中心頻率相近且頻帶相互重疊時，如圖1a與圖1b、圖1c與圖1d所示信號的中心頻率重疊在一起，此時線性濾波方法就會失效，而信號共振稀疏分解方法從信號共振屬性角度出發，綜合考慮了信號中心頻率與頻率帶寬因素，能有效分離中心頻率相近且中心頻率帶相互重疊但具有不同品質因子的信號分量。

1.2 品質因子可調小波變換

二進制小波變換作為一種恒Q變換（其Q值由所選基函數確定），在對分段光滑信號的稀疏表示中顯示了其有效性，但由于其品質因子相對較低，頻率分辨率不高，因而在對頻率分辨率要求較高的信號分析中，二進制小波不適用［10］。有理膨脹小波［10-11］本質上為一種過完備的二進制小波變換，相對于二進制小波具有更高的品質因子和更高的頻率分辨率。品質因子可調小波變換［12］與有理膨脹小波變換類似，具有完全離散、完美重構、適度完備、依賴于兩通道濾波器組并能利用離散傅里葉變換計算等特點。但相對于有理膨脹小波變換，品質因子可調小波變換概念更簡單；利用基為2的快速傅里葉算法，計算更加高效；品質因子和冗余度更容易量化。

信號共振稀疏分解方法利用品質因子可調小波變換分別獲取高Q變換與低Q變換的基函數庫，并計算其相應的變換系數。可調品質因子小波變換通過帶通濾波器組實現，其兩通道濾波器組如圖2所示。

圖2 兩通道濾波器組

圖2 中，β為高通尺度因子為低通尺度因子為冗余度。子帶信號v0（n）的采樣頻率為αfs，v1（n）的采樣頻率為βfs，其中fs為原信號x（n）的采樣頻率。

品質因子可調小波變換利用圖2a所示兩通道分解濾波器組以迭代的方式實現信號的分解，其信號的L層變換如圖3所示，其中為信號經過第j層變換得到的高頻系數為經過第j層變換得到的低頻系數，j＝1，2，…，L。

圖3 品質因子可調小波變換圖

圖4 a為品質因子Q＝3、冗余度r＝3、分解層數L＝12時品質因子可調小波變換的頻率響應圖，從圖中可以看出其頻率響應為一組非恒定帶寬的濾波器組，且相鄰頻帶并不正交。隨著分解層數L的增加，中心頻率

隨之降低，相應的帶寬

也隨之減小。因此，品質因子可調小波變換本質上也為一種具有一定冗余度的恒Q小波變換，但其品質因子可預先設定，并不依賴于基函數。圖4b為相應的小波時域波形圖，從圖中可看出，隨著分解層數的增加，小波的振動時間隨之變長。

圖4 Q＝3、r＝3、L＝12時的品質因子可調小波頻率響應與時域波形

1.3 高共振分量和低共振分量的分離

信號共振稀疏分解方法利用形態分量分析［13］將信號中各成分按振蕩特性進行非線性分離，建立起高共振分量和低共振分量各自的最佳稀疏表示形式。

假定觀測信號x可表示為兩個信號x1與x2之和：

形態分量分析的目的即是從觀測信號x中分別估計出源信號x1和x2。假定信號x1和x2可分別用基函數庫（或框架）S1和S2表示（S1、S2具有低的相關性），形態分量分析的一種目標函數可表示為式中，W1、W2分別表示信號x1、x2在框架S1、S2下的變換系數矩陣；λ1、λ2為規則化參數。

λ1、λ2的取值對分解出的高共振分量與低共振分量的能量分配有影響，給定λ1、增大λ2會使λ2所對應分量的能量減少；同時增大λ1、λ2的值，則會使殘余信號能量增大［9］。

在式（4）中，由于第一范數不可微，且參數較多，使得式（4）的求解變得困難［9］。信號共振稀疏分解方法利用分裂增廣拉格朗日搜索算法［14-15］，通過迭代更新變換系數W1、W2，使目標函數J最小化，最終實現高共振分量和低共振分量的有效分離。

假設目標函數J最小時，對應的高共振和低共振變換系數矩陣分別為W＊1、W＊2，則求取的高共振分量和低共振分量的估計值分別表示為

2 信號共振稀疏分解在轉子早期碰摩故障診斷中的原理及步驟

當轉子系統中出現動靜碰摩故障時，由于轉子與定子的周期性碰撞，故障信號中常常伴有周期性瞬態沖擊。但當出現早期碰摩時，沖擊脈沖微弱，淹沒在轉子自身強背景噪聲環境中，不易察覺。信號共振稀疏分解方法根據轉子信號中諧波成分與沖擊成分品質因子的不同，將轉子早期碰摩故障信號分解成包含以轉子轉頻及諧波的高共振分量、包含瞬態沖擊成分的低共振分量。由于瞬態沖擊信號成分中包含了轉子早期碰摩故障的重要信息，因此，可通過對低共振分量中瞬態沖擊成分的分析進行轉子早期碰摩故障診斷。基于信號共振稀疏分解的轉子早期碰摩故障診斷的步驟如下：

（1）根據轉子早期碰摩故障信號x，選取高共振品質因子Q1、低共振品質因子Q2（Q1與Q2的相 關 性 公 式 為：ρmax（Q1，Q2） ＝一般取Q2≈1［9］）；高品質因子變換冗余度r1、低品質因子變換冗余度r2（r1、r2一般取3或4即可［12］）；高品質因子變換分解層數L1、低品質因子變換分解層數L2（隨著分解層數的增加，對低頻段成分的分解將越細微，但計算時間將增加。 最大分解層數公式為信號長度）。本文中取Q1＝4，Q2＝1，r1＝r2＝3，L1＝27，L2＝6。

（2）根據步驟（1）中的參數，分別獲取高品質因子可調小波變換與低品質因子可調小波變換的基函數庫S1、S2（S1、S2的獲取可參考文獻［12］），并利用基函數庫分別對待分析信號x進行變換，獲取初始變換系數W1、W2。

（3）確定規則化參數λ1、λ2（本文中取λ1＝λ2＝0.5）；建立如式（4）所示的目標函數J，利用分裂增廣拉格朗日收縮算法估計出最優的變換系數并利用式（5）分別計算高共振分量和低共振分量及殘余信號，即信號重構誤差

（4）對低共振分量＾x2中的瞬態沖擊成分進行分析，根據沖擊成分出現的周期即可診斷轉子早期碰摩故障診斷。

3 算法仿真

為了驗證信號共振稀疏分解方法提取信號沖擊成分的有效性，設置如下的沖擊信號：

其中，信號載波頻率為520Hz，衰減系數為－420。用頻率為100Hz的正弦信號對上述沖擊信號進行調制，即沖擊之間的時間間隔T＝0.01s，采樣頻率為4096Hz，采樣點數為2048，時長為0.5s，調制出的周期沖擊信號的時域波形如圖5a所示，相應的頻譜如圖5b所示。

對圖5a所示的周期沖擊信號加入頻率分別為440Hz、680Hz，幅值均為0.4的正弦信號（對比圖5b可知，此時沖擊信號與正弦信號頻率相互重疊），得到的合成信號時域波形如圖6所示，從圖中可以看出，沖擊信號已被淹沒。

用信號共振稀疏分解方法對圖6所示的合成信號進行信號共振稀疏分解，得到的分量如圖7所示。從圖7b中可看出信號中沖擊明顯，沖擊之間的周期T＝0.01s，與調制頻率f＝100Hz吻合，驗證了算法的有效性。圖7c所示的殘余分量為原始信號與高共振分量和低共振分量之差，即信號重構誤差，可以看出，殘余信號能量非常小，表明信號共振稀疏分解方法具有良好的重構性能。

圖5 周期沖擊信號及其頻譜

圖6 合成信號

為對比說明信號共振稀疏分解方法提取沖擊信號的有效性，利用EMD對圖6所示的合成信號進行分解，得到的IMF分量如圖8所示。從圖8可看出，信號能量集中在前兩個IMF中，但沖擊成分不明顯。其原因為EMD本質上為帶通濾波器組，當沖擊信號頻譜與正弦信號頻譜重疊時，無法將沖擊信號與正弦信號分離。

圖8 合成信號EMD分解分量圖

4 應用實例

為驗證基于信號共振稀疏分解的轉子早期碰摩故障診斷方法的有效性，進行了轉子單點碰摩實驗。轉子碰摩實驗裝置結構示意圖如圖9所示，圖中采用一個可調間隙的軸承（部件8）來實現碰摩故障的模擬實驗。

圖9 轉子碰摩實驗裝置結構示意圖

實驗中采用電渦流位移傳感器拾取位移信號，轉軸工頻為3000r／min，采樣頻率為6400Hz，采樣點數為2048。拾取的轉子動靜碰摩位移信號如圖10所示。

圖10 轉子動靜碰摩振動信號

對轉子原始振動信號進行信號共振稀疏分解，得到的分量如圖11所示。從圖11a中可以看出，信號變化平緩，其主要成分由轉頻及其諧波信號構成；從圖11b中可以看出，信號中存在明顯的周期沖擊，沖擊之間的時間間隔T≈0.02s，沖擊出現的頻率f＝50Hz，即說明轉子每轉一圈產生一個沖擊，與轉子單點碰摩故障特征相符，驗證了信號共振稀疏分解方法提取轉子碰摩沖擊信號的有效性。

圖11 轉子動靜碰摩振動信號信號共振稀疏分解

5 結論

（1）當轉子出現早期碰摩故障時，隨著動靜件的周期性碰撞，故障振動信號中往往包含瞬態沖擊成分，但由于瞬態沖擊成分能量較小，常淹沒在強背景噪聲環境中，不易察覺。

（2）與傳統的基于頻帶劃分的信號分解方法不同，信號共振稀疏分解方法根據瞬態沖擊與背景噪聲品質因子的不同，將信號分解成包含背景噪聲的高共振分量和包含瞬態沖擊的低共振分量，有效地實現了背景噪聲與瞬態沖擊的分離。

（3）利用本文方法對實測轉子振動信號進行了分析。結果表明，本文方法能有效地提取轉子碰摩故障特征。

［1］孫云嶺，張永祥，常漢寶.基于定子振動的轉子碰摩故障診斷方法研究［J］.振動工程學報，2009，22（4）：391－394.Sun Yunling，Zhang Yongxiang，Chang Hanbao.Method of Rotor Rub－impact Faults Diagnosis Based on Stator Vibration Signal［J］.Journal of Vibration Engineering，2009，22（4）：391－394.

［2］李小彭，姚紅良，李鶴，等.質量慢變轉子系統的碰摩故障小波分析［J］.中國機械工程，2006，17（14）：1528－1531.Li Xiaopeng，Yao Hongliang，Li He，et al.Wavelet A－nalysis of Rubbing Fault of Slow－varying Mass Rotor System［J］.China Mechanical Engineering，2006，17（14）：1528－1531.

［3］彭志科，何永勇，盧青，等.用小波時頻分析方法研究發電機碰摩故障特征［J］.中國電機工程學報，2003，23（5）：75－79.Peng Zhike，He Yongyong，Lu Qing，et al.Using Wavelet Method to Analyze Fault Features of Rub Rotor in Generator［J］.Proceedings of the CSEE，2003，23（5）：75－79.

［4］宋友，柳重堪，李其漢.基于小波變換的轉子動靜件碰摩故障診斷研究［J］.振動工程學報，2002，15（2）：319－322.Song You，Liu Zhongkan，Li Qihan.Research on Rubimpact Fault between Rotor and Stator Using Wavelet Transform［J］.Journal of Vibration Engineering，2002，15（2）：319－322.

［5］Huang N E，Shen Zheng，Long S R，et al.The Empirical Mode Decomposition and the Hilbert Spectrum for Nonlinear and Non－stationary Time Series Analysis［J］.Proceedings of the Royal Society of London A，1998，454：903－995.

［6］Cheng Junsheng，Yu Dejie，Tang Jiashi，et al.Local Rub－impact Fault Diagnosis of the Rotor Systems Based on EMD［J］.Mechanism and Machine Theory，2009，44（4）：784－791.

［7］Flandrin P，Rilling G，Goncalves P.Empirical Mode Decomposition as a Filter Bank［J］.IEEE Signal Processing Letters，2004，11（2）：112－114.

［8］Wu Zhaohua，Huang N E.A Study of the Characteristics of White Noise Using the Empirical Mode Decomposition Method［J］.Proceedings of the Royal Society of London A，2004，460：1597－1611.

［9］Selesnick I W.Resonance－based Signal Decomposition：A New Sparsity－enabled Signal Analysis Method［J］.Signal Processing，2011，91（12）：2793－2809.

［10］Bayram I，Selesnick I W.Frequency－domain Design of Overcomplete Rational－dilation Wavelet Transforms［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，2009，57（8）：2957－2972.

［11］Bayram I，Selesnick I W.Overcomplete Discrete Wavelet Transforms with Rational Dilation Factors［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，2009，57（1）：131－145.

［12］Selesnick I W.Wavelet Transform with Tunable Q－factor［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，2011，59（8）：3560－3575.

［13］Bobin J，Starck J L，Fadili J M，et al.Morphological Component Analysis：An Adaptive Thresholding Strategy［J］.IEEE Trans.on Image Processing，2007，16（11）：2675－2681.

［14］Afonso M V，Bioucas J M，Figueiredo M A T.Fast Image Recovery Using Variable Splitting and Constrained Optimization［J］.IEEE Trans.on Image Processing，2010，19（9）：2345－2356.

［15］Afonso M V，Bioucas J M，Figueiredo M A T.An Augmented Lagrangian Approach to the Constrained Optimization Formulation of Imaging Inverse Problems［J］.IEEE Trans.on Image Processing，2011，20（3）：681－695. （