任意載荷作用下變截面柔性構件變形特性的分析與研究

劉慶玲

廊坊師范學院，廊坊，065000

0 引言

柔性機構以其體積小、無間隙、無機械摩擦、運動靈精度高、導向精度高等諸多優點，在精密機械和微機械等領域得到了廣泛的應用［1］。針對柔性機構中柔性鉸鏈的變形，各國學者做了大量研究，并取得了一定成果［2-3］。而對于柔性構件的變形，目前的分析方法尚不完善，其中的橢圓積分法，計算量大、推導復雜，只適用于簡單載荷條件下柔性構件的變形分析［4-8］;Howell［9］提出的偽剛體模型法也只適用于等截面柔性構件在集中載荷作用下的變形計算［10-11］。在很多實際應用中，柔性構件是變截面構件，且所受載荷為分布載荷，所以研究變截面柔性構件在任意載荷作用下的變形分析方法，具有一定的實際意義。

1 任意載荷作用下變截面柔性構件的變形分析

1.1 建立變形微分方程

本文設定沿變截面柔性構件的長度方向上，構件任意位置處的橫截面形狀均為矩形。構件左端固定，承受載荷如圖1所示。圖1中，Fx、Fy分別為作用在柔性構件末端的水平方向和垂直方向

圖1 變截面柔性構件受力示意圖

的集中載荷，qx(s)、qy(s)分別為作用在構件上水平方向和垂直方向的分布載荷，虛線為變截面柔性構件中性面上的中心線(其長度為s)，構件末端點為B。

變截面柔性構件在集中載荷、分布載荷的共同作用下，產生彎曲變形，利用其中性面上的中心線來表示變形前后的位置。圖2a中，虛線為變形前中心線的位置(末端點為B0)，實線為變形后中心線的位置，設末端點B的坐標為(a，b)。變截面柔性構件的初始長度為L。

在構件上取距離固定端為x的任意截面A，取截面A以右部分為研究對象，在截面A處所受水平、垂直方向的合力分別記為FH、FV，所受的力矩記為M(x)，局部受力如圖2b所示，由受力平衡可得

自截面A處取d s微段，其受力如圖2c所示，

圖2 任意載荷作用下變截面柔性構件的變形示意圖

對A點取力矩，由力矩平衡，整理可得

由 Bernoulli－Euler梁的基本變形方程［12］得

式中，E為彈性模量;I(x)為截面慣性矩。

變截面柔性構件任意位置處截面的慣性矩不是常量，有

式中，h(x)、b(x)分別為構件上距離固定端x處截面的厚度和寬度。

式(3)兩邊對s求導，有

變截面柔性構件中性面的中心線存在一個初始角度，記為θ0，受載后產生彎曲變形，產生的角變形記為θ，由圖2b可得

將式(1)代入式(2)，求得d M(x)，再代入式(4)，可得

將式(5)代入式(6)，可得

式(7)即為任意載荷作用下變截面柔性構件變形求解的二階非線性微分方程。

1.2 變形微分方程求解

針對上述非線性微分方程，本文采用離散化的數值計算方法進行求解，具體過程如下:

式(7)可寫為

由式(3)、式(4)可得θ(s)的一階、二階導數:

將其代入式(8)依次進行求導，可求得θ(s)的各高階導數。

采用多項式的形式表示變截面柔性構件的角變形，則角變形可寫為

由泰勒級數展開式，可得

將變截面柔性構件沿其長度方向n等分，設t為步長，則t=L/n，L為構件的總長度。

上述分析求解過程不僅適用于變截面柔性構件的變形分析，同樣適用于等截面柔性構件(梁)在集中載荷、分布載荷作用下變形的分析與求解。對于等截面柔性構件(梁)，其截面慣性矩I(x)為定值，故I(x)各階導數均為零，采用上述方法，即可求得等截面柔性構件(梁)變形的大小。

2 變截面柔性構件變形的實例分析

2.1 集中載荷作用下變截面柔性構件的變形分析

變截面柔性構件結構如圖3所示。幾何參數如下:L=600μm，ha=50μm，hb=10μm。構件任意位置處的橫截面形狀均為矩形，厚度沿長度方向呈線性變化，寬度b=75μm，材料選用硅，彈性模量E=169GPa。構件端部承受集中載荷F，載荷F的具體數值見表1，分析構件末端的角變形。

圖3 承受集中載荷的變截面柔性構件示意圖

表1 不同集中載荷作用下變截面柔性構件末端角變形的分析結果

2.1.1 解析法求解

柔性構件上距離固定端x(μm)處的任意截面A，設截面厚度為h(x)，可得h(x)=-x/15+50，單位為μm。則截面慣性矩為

構件承受垂直方向的集中載荷，由式(7)可得角變形的微分方程:

該構件截面厚度呈線性變化，求得其中性面的中心線的初始角度θ0(s)=-3.814°，沿構件長度方向將其10等分，即n=10，步長t=60μm。依該構件變形的邊界條件有θ(0)=0，對式(13)依次求導，得到θ(s)的各階導數，代入式(12)即可求得構件上各點的角變形。θ(L)=θ(s10)為構件末端角變形，即最大角變形。求解結果列于表1。

2.1.2 有限元分析

在ANSYS環境下，建立該變截面柔性構件的有限元分析模型。對其末端施加集中載荷，分析不同載荷作用下末端角變形的大小，其有限元分析結果列于表1。

2.2 均布載荷作用下變截面柔性構件的變形分析

變截面柔性構件，厚度沿長度方向呈圓弧規律變化，其結構如圖4所示。幾何參數如下:圓弧半徑為 4520μm，圓心坐標位置為(600μm，4530μm)，L=600μm，ha=50μm，hb=10μm，構件寬度b=75μm，材料選用多晶硅，彈性模量E=169GPa，承受垂直方向的均布載荷作用，即qy(s)=q為定值，具體數值見表2，分析其末端角變形。

圖4 變截面構件承受均布載荷作用示意圖

表2 均布載荷作用下變截面柔性構件末端角變形的分析結果

2.2.1 解析法求解

柔性構件上距離固定端x處的任意截面A，設截面厚度為h(x)，可得

則其截面慣性矩為

構件承受均布載荷作用，由式(7)可得角變形微分方程:

構件的截面厚度呈圓弧變化，其中心線的初始角度可根據各等分點處圓弧曲線的斜率求得。利用上面的分析結果，沿構件長度方向將其10等分，即n=10，步長t=60μm。依該構件變形的邊界條件有θ(0)=0。對式(14)依次求導，得到θ(s)的各階導數，代入式(12)即可求得柔性構件上各點的角變形。θ(L)=θ(s10)為末端的角變形，即最大角變形。求解結果列于表2。

2.2.2 有限元法分析

在ANSYS環境下，建立變截面柔性構件的有限元分析模型，對其施加均布載荷，分析不同均布載荷作用下末端角變形的大小，分析結果列于表2。由表1、表2中的數據可明顯看出，采用本文建立的微分方程求解變截面柔性構件的角變形，所得變形結果與有限元法分析結果的相對誤差均在2%以內，充分表明該變形分析方法的正確性。

3 結論

(1)本文針對變截面的柔性構件在任意載荷作用下的變形進行了分析，以Bernoulli－Euler梁的基本變形方程為理論基礎，建立了求解任意載荷作用下變截面柔性構件變形的二階非線性微分方程，采用泰勒級數展開的離散化數值計算方法對其進行了求解，給出了具體的求解過程。

(2)利用本文提出的分析方法與建立的微分方程，對變截面的柔性構件在集中載荷與均布載荷作用下的變形分別進行了分析計算，同時采用有限元法對上述變形進行了模擬分析，將兩種方法所得的分析結果進行了對比，兩者的相對誤差在2%以內，具有較好的一致性，表明了本文提出的分析方法與所建立的微分方程的有效性與正確性。

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