新型3－RPC柔性精密平臺的剛度與動力學分析

李仕華 龔 文 李富娟 姜 珊

燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，066004

0 引言

并聯機構滿足了微動機器人運動分辨率高（納米級）、響應快（數十赫茲）、體積小、精度高等要求［1］，因此微動機器人多采用并聯機構，通常以柔性鉸鏈代替傳統運動副，來消除機械摩擦和間隙對精度的影響。

柔性并聯機構剛度的理論分析對設計、制造一個柔性機構至關重要。當前，對柔性機構的剛度分析主要集中在柔性鉸鏈的剛度分析［2－4］和平面柔性機構［5］的剛度分析，對空間柔性機構［6－7］剛度分析的研究成果并不多。對于空間柔性機構，通過建立其剛度的數學模型來獲得良好的剛度性能，滿足復雜工作條件下精確的操作要求。

在柔性機構動力學上，國內外大多數研究停留在對柔性機構的運動學分析及優化上，動力學方面的理論研究［8－9］不多，在一些需要高精度或振動環境的工況下，基于運動學的控制方法往往不能很好地達到實際應用要求。本文提出一種新型柔性機構，并在剛度分析的基礎上，對該柔性機構進行了動力學分析。

1 3－RPC柔性精密平臺模型

如圖1所示，新型3－RPC柔性精密平臺由固定平臺、動平臺及3個RPC分支組成，每個分支由柔性R副、柔性P副和柔性C副構成。為獲得空間立方體工作空間，3個分支采用空間正交布置方式，該平臺具有3個自由度，即沿著x、y、z軸的移動。該柔性精密平臺工作時由3路壓電陶瓷驅動器驅動，能完成空間微／納米級操作。該平臺具有結構緊湊、運動解耦、易于控制、精度較高等優點，具有很好的應用前景。

2 剛度分析

2.1 柔性運動副的剛度

組成分支的柔性運動副的基本柔性單元為半圓弧形柔性鉸鏈，如圖2所示，r為切口圓弧半徑，b為鉸鏈寬度，t為柔性轉動副最薄弱處的厚度。

圖2 半圓弧柔性鉸鏈

半圓弧柔性鉸鏈的柔度矩陣在圖2建立的坐標系中可表示為

元素c1～c8的具體表達式參見文獻［10］。

柔性P副采用的是柔性橋式微位移放大機構。該機構采用全對稱設計，由剛性梁和半圓弧柔性鉸鏈組成，并應用線切割技術在一塊金屬材料上加工而成。圖3中，l、a、a1分別為柔性移動副中兩柔性轉動副之間的長度、厚度和空隙長度，t1為柔性移動副中轉動副最薄弱處的厚度，r2為柔性移動副中轉動副的切口圓弧半徑。

圖3 結構Ⅰ簡圖

根據圖3，柔性鉸鏈在局部坐標系Aixaiyaizai（i＝1，2）下的柔度矩陣Ci可以通過坐標變換變換到坐標系Bixbiybizbi，轉換公式為

如圖4所示，柔性移動副由結構Ⅰ、結構Ⅱ、結構Ⅲ、結構Ⅳ組成，結構Ⅰ、結構Ⅱ串聯形成柔性移動副的右半部分，結構Ⅲ、結構Ⅳ串聯形成柔性移動副的左半部分，結構Ⅰ、Ⅱ與結構Ⅲ、Ⅳ以并聯形式連接固定端和輸出端。分別求出結構Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的剛度或柔度矩陣，通過柔度矩陣變換法，建立柔性微位移放大機構的剛度矩陣：

圖4 柔性移動副

其中，Ry（＊）為局部坐標系到坐標系O2x2y2z2下繞y軸的旋轉矩陣（下同），如圖4所示。

同理，可建立柔性C副的剛度矩陣，柔性C副由2條串聯分支EiFiGi組成，如圖5所示，每條分支包含柔性鉸鏈Ei、Fi、Gi，因此柔性C副的剛度矩陣為

圖5中，w為柔性圓柱副內部長度，l3為柔性圓柱副中兩轉動副之間距離，r3為柔性圓柱副中轉動副的切口圓弧半徑。

圖5 柔性圓柱副C

2.2 分支剛度矩陣

以分支1為例，分支1由1個柔性轉動副R、1個柔性移動副P、1個柔性圓柱副C組成。選擇動平臺中心P為參考點，如圖6所示，在每個柔性運動副建立局部坐標系，因此它們相對于參考坐標系的柔度變換矩陣可寫成

其中，l1為坐標系Pxyz原點到坐標系O1x1y1z1的距離；l2為坐標系O1x1y1z1原點到坐標系O2x2y2z2的距離；a0為柔性圓柱副兩側的厚度；h為正方體上平臺的邊長；rO1、rO2、rO3分別為O1O、O2O、O3O在局部坐標系O1x1y1x1、O2x2y2x2、O3x3y3x3下的表示，如圖6所示。

分支1的柔度矩陣為

式中，Jc1為分支1由局部坐標系到參考坐標系的變換矩陣；J1、J2、J3分別表示柔性R副、柔性P副、柔性C副建立的局部坐標系到參考坐標系的變換矩陣；Cd為分支1的柔

圖6 分支1柔度坐標系

參考坐標系Pxyz下，分支1的剛度矩陣為

同理，分支2和分支3柔度矩陣分別為

其中，柔度變換矩陣Jc2、Jc3由式（5）和分支2與分支3的具體參數推導而得。

參考坐標系Pxyz下，分支2和分支3的剛度矩陣為

2.3 整體剛度矩陣

3－RPC柔性精密平臺由3個相同分支以并聯形式組成，考慮到每個分支剛度模型的局部坐標系與整體剛度模型的參考系Pxyz重合，轉換矩陣Joj（從第j（j＝1，2，3）支鏈的局部坐標系Ojxjyjzj到參考坐標系Oxyz轉換矩陣）變為單位矩陣。整體剛度矩陣為

將整體剛度矩陣KP轉換到參考坐標系Hxyz中，參考坐標系的原點位于動平臺上表面的中心，則轉換后剛度矩陣KH為

參照表1、表2中參數和材料屬性，利用MATLAB計算參考點H剛度矩陣的KH：

表1 3－RPC并聯微動機構幾何參數 mm

表2 Ti－6Al－4V合金材料屬性

2.4 有限元分析

采用ANSYS對平臺的剛度進行了仿真分析。每個分支添加了2個固定約束，在動平臺的上表面施加1個作用力，材料屬性選擇鈦鋁合金，幾何結構參數見表1。

首先，施加外力Fy＝－1N作用在動平臺上表面的中心H，在H坐標系z軸負向取一點H1，并滿足HH1＝dz，dz為測量點在z方向的位移，如圖7所示。可測得點H、H1處的位移yH、yH1，得到

式中，KFy－uy為Fy引起的y方向位移所產生的剛度；KFy－θx為Fy引起繞y軸轉動所產生的剛度。

圖7 有限元分析模型

然后，施加外力Fy＝－1N作用于點H1處，將產生一力偶mx繞x軸轉動，點H、H1的位移yH、yH1測出后，通過下式計算剛度：

式中，Kmx－θx為mx引起的x方向轉動所產生的剛度。

具體的計算結果見表3。

表3 平臺的剛度

有限元結果和理論結果還存在8%左右的誤差，剛度建模將連接柔性單元的連桿等效為剛性桿，忽略了其柔性特性對剛度模型的影響，這是造成誤差的主要原因，但誤差在合理范圍內。

2.5 結構參數對剛度的影響

根據建立的平臺剛度模型，以剛度KFy－uy為指標，繪制了幾何結構參數a0、a、l1、l2、l3、l4、h、w改變時，剛度的變化情況，見圖8、圖9。

圖8 結構參數和剛度之間關系Ⅰ

從圖8、圖9可以看出，剛度KFy－uy隨著結構參數a0、a的增加而增大，當a0＝a＝4.5mm時出現了一個峰值，而后又逐漸減小（圖8a）；隨著結構參數a1、a2的增大而非線性增大（圖8b）；隨參數a3、a4的增加呈線性減小（圖8c）；隨結構參數l1、l2的增加而增大，在l1＝l2＝42mm達到一個峰值后又非線性遞減（圖9a）；隨參數l4、h0非線性遞減（圖9b、圖9c）；隨結構參數h、w的增加而增大，在h＝w＝52mm達到一個峰值后又非線性遞減（圖9d）。

3 動力學分析

3.1 動力學方程的建立

利用拉格朗日方法建立機械系統的動力學方程。該方法只需計算系統的動能和勢能，不需考慮約束力的影響。選取廣義坐標q＝［q1q2q3］T，平臺的動能和勢能可用選取的廣義坐標及其變化形式表示。

圖9 結構參數和剛度之間關系Ⅱ

柔性轉動副R的能量方程為

柔性移動副P的能量方程為

柔性圓柱副能量方程為

以第二分支為例，柔性圓柱副C的動能為

柔性圓柱副C的彈性勢能為

同理，其他2個分支的動能與勢能很容易求得。

機構的動平臺的勢能只來源于重力，因此動平臺的動能為

機構的重力勢能為

其中，m0～m7如圖6所示。

機構拉格朗日方程為

式中，LR、LP、LC分別為柔性轉動副R、移動副P、圓柱副C的能量表達式。

拉格朗日方程一般形式為

式中，qk為第k個廣義坐標；Fk為第k個驅動力。

根據式（18），再考慮各變量與廣義坐標之間關系，可推導出微動機構動力學方程為

式中，G為重力矩陣；F為驅動力矩陣；F1、F2、F3分別為第一、第二、第三分支的驅動力；A為放大器的放大倍數；k1為第i分支第一個柔性轉動副R的一個近似轉動剛度；k2為第i分支柔性移動副P的一個近似剛度；k3為第i分支柔性圓柱副C的一個近似剛度。

微動平臺的自然頻率為

3.1 模態分析和有限元仿真驗證

基于振動理論，對機構進行了模態分析和有限元仿真驗證。由有限元仿真可以分析得到表4的結果。通過表4所示的有限元結果與式（20）所計算的理論值進行對比，可以看出，理論值和有限值存在10.8%的誤差，原因是橋式位移放大器理論模型沒有考慮變形對柔性鉸鏈轉動慣量的影響，但誤差在合理范圍內，驗證了理論模型的合理性。

表4 機構前6階自然頻率 Hz

表4中的前3階振型是分別沿著3個坐標軸的移動，后3階振型是分別繞著3個坐標軸的轉動。由于機構結構的對稱性，前3階自然頻率相等，后3階自然頻率也相等。

自然頻率隨r1、r2、r3的增大而均呈現非線性遞減，隨r1的變化如圖10a所示；自然頻率隨b1、b2、b3的增大均呈現線性遞增，隨b1的變化如圖10b所示；自然頻率隨t1、t2、t3的增加均呈現非線性遞增，隨t1的變化如圖10c所示。柔性鉸鏈結構參數對頻率影響的研究有利于設計面向工程需要的三維微動平臺。

圖10 自然頻率與柔性鉸鏈參數變化曲線

4 結論

（1）提出了一種新型3－RPC并聯精密平臺，該平臺具有結構緊湊、運動解耦、易于控制、精度較高等優點，具有很好的應用前景。

（2）采用柔度矩陣變換法建立了新型空間并聯柔性精密平臺的剛度模型，并用有限元方法對剛度模型進行了驗證，討論了柔性鉸鏈結構參數對平臺剛度的影響。

（3）采用拉格朗日法建立了柔性精密平臺的動力學方程，并利用有限元對其進行了模態分析，得到了柔性精密平臺的前6階振動頻率；進一步討論了柔性精密平臺的自然頻率與柔性鉸鏈參數變化規律。

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