Winkler地基上黏彈性輸流管的參數共振穩定性

張計光，陳立群，錢躍竑

(1.上海市應用數學和力學研究所，上海 200072;2.日照職業技術學院，山東 276826;3.上海大學 力學系，上海 200444)

輸流管道的振動問題在航空航天、海洋工程、石油能源工業、水利工程、生物工程等相關領域中有廣泛的應用［1］。管道內流體的流動一般是通過水泵加壓作為動力，而由這種脈動動力產生的脈動流引起的管道振動在工程問題中非常普遍且更具有破壞性。

Ariaratnam等［2］對兩端支承輸流管道的線性方程用辛變換方法和平均法研究了系統的次諧波共振和組合共振。Pa?doussis等［3］用實驗和線性分析的方法研究了脈動流激勵下的管道失穩區域和參數共振現象。Yang等［4］采用梁模型，利用多尺度方法討論了管道的穩定性問題。

本文研究了黏彈性輸流管在Winkler地基上的參數共振穩定性問題。利用直接多尺度方法討論了輸流管的參數穩定性及通過可解性條件得到組合和次諧波共振的穩定性邊界。通過數值算例，得到了質量比、黏彈性系數、平均軸向速度、彈性地基對穩定性邊界的影響。

圖1 輸流管道的物理模型Fig.1 The physical model of pipe conveying fluid

1 數學模型

本文主要研究如圖1所示的輸流管道，其彈性地基模型為Winkler模型，管道為黏彈性材料，其本構關系采用Kelvin模型。假設管內流體為不可壓縮且無黏性流體，忽略重力、管道的剪切變形、截面轉動慣量影響的黏彈性輸液管［5-6］，在Winkler彈性地基上的控制方程:

其中:EI為管道的彎曲剛度，α為管道的黏彈性阻尼系數，μ為無量綱的滯后阻尼系數，C為管外流體或氣體對管道的粘性阻尼系數，Ω為頻率，m為管道單位長度的質量，M為管道內流體單位長度的質量，U為管內流體流速，Y(X，T)為管道的橫向變形，X和T分別表示軸向坐標和時間，L為管道的長度，K為地基反力系數。

引入如下新的無量綱變量:

得到在Winkler彈性地基上黏彈性輸流管的無量綱形式運動微分方程和簡支邊界條件為:

2 多尺度分析

管道內流體的流速受到周期小擾動:

將式(5)代入式(3)，得:

對式(4)、(6)應用直接多尺度方法，設其一階近似解為:

式中:T0=t和T1=εt分別為由于固有頻率導致的快時間尺度和因阻尼及速度小擾動而引發的振幅、相位變化的慢時間尺度。將式(7)代入式(6)，分離ε0和ε1不同階量，得到:

輸流管道內流體的脈動頻率ω接近系統某階固有頻率的兩倍或者某兩階固有頻率之和時，就會發生共振的現象。引入調諧參數σ，表示脈動頻率ω在ωn+ωm附近變化，即:

其中:ωn和ωm分別表示式(8)的第n階和第m階固有頻率。為分析和式組合共振的響應，設式(8)的解為:

其中:cc表示等式右端之前各項的共軛復數。把式(10)和式(11)代入式(9)，并把右端的三角函數表示為指數形式得到:

其中:符號上的點及撇分別表示對慢變時間T1及無量綱軸向坐標x的導數，NST表示不會給解帶來長期項的所有項。若要所得解不存在長期項，則可解性條件要求方程式(12)的非齊次部分與其伴隨方程的齊次解正交［7］，即:

其中:在區間［0，1］上，復方程的內積定義如下:

應用內積的分配律，由式(13)得到:

其中:系數為:

它們由方程式(8)的模態函數和固有頻率所決定，與流體速度的脈動量無關。

將振幅寫成極坐標形式，做如下變換:

把式(17)代入式(15)中，得自治方程:

易知，式(18)有零解。分析式(18)的非零解情況，設其非零解為:

其中:bn和bm為實數，λ為要確定的復數。把式(19)代入到式(17)，并取第二式的共軛，可以得到:

如果方程(20)有非零解，則它的系數矩陣的行列式為零，即:

如果λ有正實部解，則系統解不穩定，如果λ全部為負實部，則系統穩定。

經數值驗證cnm和cmn均為實數，將 λ，dnm和dmn分離為實部及虛部:

把式(22)代入式(21)，并分離實虛部，得到:

把λR代入式(23)并消去λI得到:

式(24)就是和式組合共振響應失穩區域的邊界，即組合或諧波共振失穩的臨界條件。當m=n，式(24)簡化為n階諧波共振的臨界條件:

3 在兩端鉸支下輸流管道的失穩區域邊界及參數影響

設式(8)的解是:

其中:φn(x)和ωn是輸流管道的第n階模態和第n階固有頻率。

將(26)式代入(8)式及邊界條件，化簡得:

式(27)是四階常微分方程，其解可以寫為如下形式:

把式(29)代入式(27)、(28)有:

為使原問題有非零解，則線性代數方程(31)的系數矩陣的行列式必須有零解，從而得:

以質量比Mr=0.6，k=20，u0=2.0，c=0.01，φ=0.000 103，μ=0.001 01 的彈性地基輸流管道為例，其固有頻率為 ω1=8.6950，ω2=37.8439，而模態函數(32)中，第一階有 β11=3.7010，β21=-2.3152，β31=-0.6929+2.4513i，β41=-0.6929-2.4513i，第二階有 β12=6.8677，β22=-5.6599，β32=-0.6039+5.9971i，β42=-0.6039-5.9971i。在和式組合共振響應失衡區域邊界(24)中，通過數值計算可以得到當m=1，n=2，即第一階、第二階和式共振時c12=0.0109，c21=0.1021，d12= -0.2039-2.5097i及d21=-0.0581-0.7150i。在次諧波共振響應失衡區域邊界式(25)中，當m=n=1 有c11=0.0109，d11=-0.2039-2.5097i;當m=n=2 有c22=0.1021，d22=-0.0581-0.7150i。

4 數值驗證及結果

利用微分求積法對前面運用直接多尺度法得到的近似解析結果進行驗證，在數值驗證中，取ε=1。輸流管的計算區域為0≤x≤1，x方向的網點數為N=11，網點的分布采用非均勻網點布置。表1給出了當Mr=0.6，k=20，c=0.01，φ =0.000103，μ =0.00101 時，在不同速度下用不同方法得到的線性派生系統前兩階固有頻率的比較，通過比較發現，用這兩種方法得到的結果吻合的非常好。

表1 不同方法下第1階和第2階固有頻率的結果比較Tab.1 The comparison for the variation of the first two-order dimensionless natural frequencies of the linear generating system

圖2 不同質量比對前兩階模態共振失穩區域的影響Fig.2 The effect of mass ratios on the stability boundaries

圖3 不同流體速度對前兩階模態共振失穩區域的影響Fig.3 The effect of mass ratios on the stability boundaries

給定k=20，u0=2.0，c=0.01，φ =0.000 103，μ=0.001 01，在不同的質量比下，圖2利用多尺度法給出了前兩階模態組合共振及諧波共振在σ–u1平面上的失穩區域。其中點線表示Mr=0.6，虛線表示Mr=0.4，實線表示Mr=0.2。從圖中可以看出，給定σ時，不論第一、二階組合共振還是次諧波共振，隨著流體與管道質量比的減小，系統的穩定范圍增加;而給定u1導致失穩范圍減小。

給定k=20，Mr=0.6，c=0.01，φ =0.000 103，μ=0.001 01，在不同的流體速度下，圖3利用多尺度法給出了前兩階模態組合共振及諧波共振在σ–u1平面上的失穩區域。其中點線表示u0=2.3，紅色虛線表示u0=2，實線表示u0=1.3。從圖中可以看出，給定 σ時，第一、二階組合共振和第一階次諧波共振隨著流體速度的減小，系統的穩定范圍增加;而第二階次諧波共振恰好相反。

5 結論

當同時考慮各種阻尼及彈性地基的影響時，本文研究了兩端鉸支輸流管道在脈動內流作用下的參數共振。對黏彈性輸流管道橫向振動的控制方程，應用直接多尺度法，得到了可解性條件，推導了包含各種阻尼、平均流速、質量比、彈性地基等參數影響的管道系統前兩階次諧波共振和組合共振的穩定性邊界條件，考察了系統的各種參數對穩定性邊界條件的影響，并且通過微分求積法和直接多尺度法得到的前兩階固有頻率結果進行對比。利用數值計算，發現流體與管道的質量比Mr對系統的穩定性有較大影響，質量比Mr越小，系統越穩定，并且對二階諧波共振的影響比一階諧波共振影響要大得多。

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