用于EBPSK系統的多徑信道小波變換線性均衡器

宋文慧 吳樂南

(東南大學信息科學與工程學院，南京 210096)

用于EBPSK系統的多徑信道小波變換線性均衡器

宋文慧 吳樂南

(東南大學信息科學與工程學院，南京 210096)

為解決EBPSK信號使用經典均衡算法消除多徑信道碼間干擾時，自適應迭代的收斂速度較慢的問題，針對EBPSK系統運用基于小波變換的線性均衡器，將輸入信號從時域變換到小波域后進行最小均方(LMS)線性均衡，同時根據不同信噪比仿真比較Haar小波、db6小波、sym6小波等經典小波的線性均衡器均衡效果.仿真結果表明:經過小波變換后輸入信號的自相關矩陣的最大特征值與最小特征值之比較大，因此基于小波的線性均衡比經典均衡算法的最小均方誤差(MSE)收斂速度明顯提高，迭代次數和計算量都有所降低，且均衡器選用不同小波函數在一定程度上會影響誤碼率，但不明顯，其中基于Haar小波比基于sym6小波和db6小波的LMS均衡算法的誤碼率要低.

多徑信道;EBPSK調制;小波線性均衡器;LMS均衡

可用無線頻譜資源的稀缺已成為制約無線通信發展的主要因素，因而通過壓縮帶寬以提高頻譜利用率的高效調制方法備受關注［1］，如擴展的二元相移鍵控(extended binary phase shift keying，EBPSK)調制［2］.短波是不可替代的遠程通信手段之一，但信號傳輸受到電離層的限制，且多徑和衰落影響較大，碼間干擾(inter-symbol interference，ISI)嚴重.由于EBPSK目前是單載波串行體制，在短波信道傳輸中如果未加任何措施，則效果并不理想，所以尋找能夠有效消除ISI的方法具有重要的理論價值和實際意義.

突發通信要求在傳輸較少的訓練序列內建立可靠通信，而經典均衡算法收斂速度較慢，無法消除ISI.因此，本文將針對EBPSK調制信號的特點設計適用的多徑均衡算法，以提高均衡器的收斂速度.

本文首先分析EBPSK系統通過多徑信道的接收機結構.然后分析經典線性均衡算法［3］收斂速度的限制，并針對EBPSK系統分析采用基于小波變換的線性均衡算法［4］提高收斂速度的可行性，以及小波函數和變換層數的選擇和計算量的比較.最后通過仿真比較適用于EBPSK系統的基于小波變換的LMS算法.

1 EBPSK系統多徑信道下的經典均衡

1.1 EBPSK調制和解調

設碼元長度T持續N個載波周期，傳統的BPSK調制通過在正弦載波的零相位處將其反相來實現0-1轉換，這種碼元對稱調制(即0和1的調制時段均為T)雖能完全抑制載波，但信號頻譜卻非最窄.若取相位調制時間τ持續K個載波周期，且K＜N，調相角 θ=π，并消除幅度調制，則EBPSK調制信號［1－2］的統一表達式可簡化定義為

由此可見EBPSK碼元“0”和“1”的調制區間不再相等，因而波形差異減小.為此，文獻［5］構思了數字沖擊濾波器在接收信號中“1”的相位跳變點處產生幅度沖擊，而“0”則沒有，其接收機框圖如圖1所示.該接收機可直接對每個碼元起始時刻的波形幅度進行門限檢測或積分判決，大大簡化了接收機結構.以3對共軛極點、1對共軛零點的沖擊濾波器為例，其傳遞函數為

式中

圖1 多徑信道下的EBPSK接收機

1.2 經典線性均衡算法

多徑信道下，EBPSK系統由于受ISI影響，傳輸性能將較大退化.通信系統中的常用方法為在接收端使用均衡器以降低或消除ISI.假設均衡器輸入數據向量為Xk，濾波器權向量為Wk，誤差輸出為εk，均衡器的估計輸出為yk，期望輸出為dk，則有

LMS算法在自適應迭代過程中使用簡單的梯度估值，可導出最速下降法的自適應算法，即

LMS算法的優點為結構簡單、計算量較小.但由于其系數收斂下降路徑是對權向量的估計，因此梯度估計中包含噪聲分量.

線性均衡器的收斂速度取決于輸入信號自相關矩陣的最大特征值與最小特征值之比，該比值越大，收斂越快.針對EBPSK信號，若采用線性均衡器，由于其碼率較高且采樣率較高，因而對收斂速度提出的要求更高.如何減小收斂時間、加快收斂速度是提高自適應均衡適用于EBPSK接收機的重點.

提高LMS收斂速度的策略大體分為2類:①增大輸入信號自相關矩陣最大特征值與最小特征值之比.文獻［6］提出利用信道特性來修改均衡器的輸入信號，但該方法對于AR信道效果并不理想;Goldstein等［7］首先提出多級維納濾波器(MSWF)，在低維子空間近似維納濾波，從而提高收斂速度.②通過改進權值收斂方式來提高收斂速度.文獻［8］用基于等位基因仿真原核生物交換(SPILL)算法的自適應均衡，通過在迭代過程中修改抽頭權值加速收斂速度，但計算量將增加.

小波變換［9－10］可靈活地在時間－尺度(時域－頻域)中任意變換，利用小波域多分辨率的特點，可增大輸入信號自相關矩陣最大特征值與最小特征值之比，且小波變換計算量不大.因此，小波變換可有效提高自適應線性均衡的收斂速度，且不會過多地增加計算量.

2 小波變換線性均衡

小波變換在時頻域都有表征信號局部特征的能力，即在低頻部分有較高的頻域分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分有較高的時間分辨率和較低的頻域分辨率，因此在信號分析方面表現出明顯優勢.在線性均衡中［11－12］，由于自適應收斂的速度與信號的自相關矩陣相關，因此通過變換到小波域，使信號在小波域的分量矩陣具有較快收斂速度，且噪聲分量較小.

在離散小波變換［10］中，設尺度函數為 φ(x)，對應的小波函數為ψ(x)，相應的二進制離散形式為

在數學上信號可以用Mallat算法［13］進行小波域分解，輸入信號X(k)可以表示為

與線性均衡器一致，小波變換均衡器的估計輸出y(n)可表示為輸入信號與均衡器抽頭權值的卷積［14］，即

式中，rj，k(n)是x(m)和 ψj，k(m)的卷積，而rj，k(n)可以通過rj，0(n－2jk)來表示，即

因此，小波變換線性均衡器可以表示為如圖2所示.

圖2 基于小波變換的線性均衡器結構［14］

小波變換的線性均衡器算法中，收斂速度和MMSE與小波函數的選擇有關.小波函數應滿足正交性、良好的時頻變換特點、奇異性和與原信號的相似性.其中當原信號與小波函數越相似(即原信號在小波域的值越大)，誤差較小.

3 EBPSK系統多徑信道下的小波變換線性均衡

文獻［15］通過改變EBPSK調制參數中N和K的關系，在主徑內產生保護間隔，從而消除ISI.但通常情況下，提高N會造成碼率下降和計算量增加.與傳統的BPSK相比，EBPSK每個碼元的采樣點較多，輸入均衡器的信號長度較長，若使用經典均衡算法，很難在接收較短訓練序列時快速達到穩定的收斂狀態.而通過把接收信號變換到小波域，使得信號在小波域的分量系數具有較大的最大特征值與最小特征值之比，即可提高收斂速度.

3.1 小波函數的選擇

小波變換時，若小波與給定的信號匹配，即匹配濾波器的輸出達到最大，則信號就能夠在小波某基函數空間獲得最大投影，即信號與該小波空間正交的噪聲最小，因而可減小噪聲誤差.小波與信號的匹配可分兩類:一類是波形匹配;另一類是統計意義上的能量匹配，在不同的應用領域，它們對小波的匹配要求也不同.

EBPSK均衡器的輸入為經過沖擊濾波的調制信號，因此應選擇與沖擊濾波器輸出信號波形“最匹配”的小波進行小波變換.

3.2 小波變換層數的選擇

由小波變換理論可知，層數的選擇決定分解的頻率.小波變換需在頻率和分辨率之間權衡.當層數較大時，則對應的分解頻率較小，分辨率較高;當層數較小時，則對應的分解頻率較大，分辨率較低［16］.

小波變換用于均衡時，分解后并沒有消除非正交的噪聲分量，而只是將時域變換到小波域進行自適應迭代訓練.因此，小波變換層數的選擇對于迭代速度和MSE不會有影響.選擇層數時考慮迭代速度和計算量.根據EBPSK信號特點，取層數J=1時，迭代速度已較快，且計算量較小，因此，本文取層數J=1.

3.3 計算量

LMS的計算量為2nk次乘法，其中n為輸入信號長度，k為迭代次數.小波域LMS(WLMS)的小波變換過程將帶來計算量的增加，經過小波變換就相當于通過一組共軛鏡像濾波器組(PRQMF)［17］，若小波層數為J，則其計算量為nJ，因此WLMS的計算量為n(2k+J).由于小波分解層數J遠小于迭代次數k，且EBPSK均衡器輸入信號長度n較大，則當迭代次數k降低后，計算量將減小，迭代時間也將縮減.

4 算法仿真

設置EBPSK調制參數N=20，K=2，載波頻率為fc=5 MHz，碼率為250 Kbit/s，信噪比為1 dB.信道有 4 徑，時延矩陣為［0，0.7 ×10－6，1.5 ×10－6，2 ×10－6］，對應的幅度衰落為［1，0.75，0.5，0.25］.由于最大時延為2 μs，因此延時影響100 個采樣點，即L=100，則均衡器階數為n=LNns，其中ns=10為EBPSK接收機采樣率.根據EBPSK沖擊包絡信號的特征，小波函數取Haar小波，J=1，自適應均衡迭代取500次.

4.1 學習曲線

線性均衡的收斂速度是由步長參數控制的，均衡器抽頭迭代算法為

式中，Γ為均衡器輸入信號的自相關埃爾米特矩陣，Γ=UΛUH.U為Γ的歸一化矩陣，其對角元素等于Γ的特征值.所有極點位于單位圓內，即較小時，極點位置遠離單位圓，收斂迅速.其中，λk為Γ的特征值.因此，比值λmax/λmin決定收斂速度.

輸入信號經過離散小波變換得到小波的系數后求其自相關矩陣，與原輸入信號的自相關矩陣相比，其自相關矩陣特征值的最大值與最小值之比更大(見圖3).因此，當步長參數μ=0.09時，WLMS比LMS減少近200次迭代，具有更快的收斂速度，突發通信時可更快速地達到MSE收斂的穩定狀態，提高通信性能.比較圖4中LMS和WLMS的最終MSE可以看到，WLMS對于最終穩定時的MSE數值影響不大.由于WLMS算法只改變輸入信號在時頻域分量的投影，并不消除噪聲，因此穩定時的MSE不會減少.

圖3 自相關矩陣比較

圖4 MSE學習曲線收斂速度比較

4.2 誤碼率

圖5為由LMS和WLMS在相同參數下得到的誤碼率曲線，由圖可見，LMS均衡后誤碼率較均衡前提高約1 dB.由于小波變換后信號在小波域的投影系數比在時域投影系數更“集中”，因此小波基非正交的噪聲分量減少，WLMS均衡的誤碼率略低于LMS均衡;而不同小波的線性均衡器對誤碼率的影響不大.

圖5 誤碼率比較

5 結論

1)基于小波變換的輸入信號自相關矩陣的最大特征值與最小特征值的比值較大.

2)基于小波變換的LMS線性均衡EBPSK調制解調器比未均衡系統的解調性能提高1 dB，且多徑信道下的均方誤差收斂速度明顯提高.

3)均衡器使用不同小波函數在一定程度上會影響誤碼率，但不明顯，其中基于Haar小波比基于sym6小波和db6小波的LMS算法的誤碼率更低.

［1］吳樂南.超窄帶高速通信進展［J］.自然科學進展，2007，17(11):1467－1473.

Wu Lenan.The innovation of UNB transfer system［J］.Progress in Natural Science，2007，17(11):1467－1473.(in Chinese)

［2］Qi Chenhao，Feng Man，Wu Lenan.Analysis of transmission system based on phase locked loop［C］//The Third International Conference on Natural Computation.Haikou，China，2007，2:415－419.

［3］Tuchler M，Singer A C，Koetter R.Minimum mean squared error equalization using a priori information［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2002，50(3):673－683.

［4］Doroslovacki M，Fan Hong.Wavelet-based adaptive filtering［C］//IEEE International Conference on Acoustics，Speech，and Signal Processing.Minneapolis，MN，USA，1993，3:488－491.

［5］馬力，馮熳，吳樂南.EBPSK數字接收濾波器設計［J］.科技創新導報，2008(28):28－29.

Ma Li，Feng Man，Wu Lenan.Digital receive filters based EBPSK system［J］.Science and Technology Innovation Herald，2008(28):28－29.(in Chinese)

［6］Lee G H，Choi J，Park R H，et a1.Modification of the reference signal for fast convergence in LMS-based adaptive equalizers［J］.IEEE Transactions on Consumer E-lectronics，1994，40(3):645－654.

［7］Goldstein J S，Reed I S，Scharf L L.A multistage representation of the Wiener filter based on orthogonal projections［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1998，44(7):2943－2959.

［8］Wang F，Wang Q G.A new adaptive equalizer based on gene SPILL algorithm image and signal processing［C］//Congress on Image and Signal Processing.Sanya，China，2008，1:41－44.

［9］Mallat S，Hwang W L.Singularity detection and processing with wavelets［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1992，38(2):617－643.

［10］Daubechies I.The wavelet transform，time-frequency localization and signal analysis［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1990，36(5):961－1005.

［11］Erdol N，Basbug F.Performance of wavelet transform based adaptive filters［C］//IEEE International Conference on Acoustics，Speech，and Signal Processing.Minneapolis，MN，USA，1993，3:500－503.

［12］Hosur S，Tewfik A H.Wavelet transform domain LMS algorithm［C］//IEEE International Conference on A-coustics，Speech，and Signal Processing.Minneapolis，MN，USA，1993，3:508－510.

［13］Mallat S.A theory for multiresolution signal decomposition:the wavelet representation［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1989，11(7):674－693.

［14］Liu Feng，Cheng Jun，Xu Jinbiao，et al.Wavelet based adaptive equalization algorithm［C］//Global Telecommunications Conference.Phoenix，AZ，USA，1997，3:1230－1234.

［15］吳樂南，常虹.一種短波變速通信系統和方法:中國，201110180604.5［P］.2011-07-03.

［16］Styvaktakis E，Gu I Y H，Bollen M H J，et al.Eventbased transient categorization and analysis in electric power systems［C］//IEEE International Conference on Systems，Man and Cybernetics.Washington，DC，USA，2003，5:4176－4183.

［17］Daubechies I.Orthonormal bases of compactly supported wavelets［J］.Communications on Pure and Applied Mathematics，1988，41(7):909－996.

Wavelet based linear equalizer in EBPSK multipath channel system

Song Wenhui Wu Lenan
(School of Information Science and Engineering，Southeast University，Nanjing 210096，China)

The adaptive iterative convergence of classic equalize algorithm to eliminate inter-symbol interference in the extended binary phase shift keying(EBPSK)modulation system is slow.In order to improve it，this paper uses wavelet based linear equalizer for EBPSK system，which transforms the input signal from the time domain into the wavelet domain，then uses least mean square(LMS)linear equalizer.Meanwhile，under various signal-to-noise ratios this paper compares the results of different classical wavelet based linear equalizer，i.e.，the Haar，db6，sym6 wavelet.Simulation results show that after wavelet transforming the ratio of the maximum and minimum eigenvalues of the autocorrelation matrix of the input signal is larger.Thus，the convergence speed of minimum mean square error

(MSE)based on wavelet-based linear equalizer is faster than that of the widely used classic equalization algorithm，and the number of iterations and computation cost are reduced.Selecting different wavelet function for equalizer affects the error rate to some extent，but the effect is not obvious，while the error rate based on Haar wavelet LMS equalization algorithm is lower than that of sym6 wavelet and db6 wavelet.

multipath channel;extended binary phase shift keying modulation;wavelet linear equalizer;least mean square(LMS)equalizer

TN911.2

A

1001－0505(2013)01-0012-05

10.3969/j.issn.1001－0505.2013.01.003

2012-04-05.

宋文慧(1988—)，女，碩士生;吳樂南(聯系人)，男，博士，教授，博士生導師，wuln@seu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(60872075).

宋文慧，吳樂南.用于EBPSK系統的多徑信道小波變換線性均衡器［J］.東南大學學報:自然科學版，2013，43(1):12－16.［doi:10.3969/j.issn.1001－0505.2013.01.003］