基于MRP的航天器無角速度姿態控制算法

陸智俊，吳敬玉

（上海航天控制技術研究所，上海 200233）

0 引言

傳統航天器姿態控制系統通常需要航天器的姿態和角速度測量信息進行反饋控制［1］。但航天器運行過程中角速度信息并非總是可以測量的，如速率陀螺出現故障或航天器根本未安裝速率陀螺，此外現代航天器（如小衛星）對低成本和小型化提出了越來越高的要求，逐漸顯現無陀螺化趨勢［2］。因此，高效、實用的無角速度測量信息反饋的姿態控制器設計越來越受關注。近年來，國內外針對無角速度反饋的姿態跟蹤的研究已取得大量成果。文獻［3］研究了無角速度測量信息撓性航天器受正弦干擾作用時的姿態漸近穩定控制，基于無源性方法和內模原理設計了僅依賴姿態測量的動態控制器；文獻［4］研究了控制受限和角速度不可測條件下航天器姿態快速跟蹤，設計了包含實際誤差四元數和觀測誤差四元數的雙曲正切函數的非線性控制律。

MRP具有三參數、無冗余、無需歸一化、通過原參數與陰影參數的切換避免奇異的性質，因此非常適于描述航天器的姿態運動。基于MRP參數，本文用構建無源濾波器方法對航天器無角速度反饋時的姿態控制律進行了研究。

1 姿態運動學與姿態動力學

研究航天器姿態控制問題，首先要建立航天器的姿態運動學和動力學。基于MRP的剛體航天器的姿態運動學方程為

式中：σ，ω分別為航天器姿態和角加速度；I為單位陣；符號“×”表示反對稱叉乘陣。

設σ＊，ω＊分別為航天器期望姿態和期望角速度；δσ，δω分別為姿態誤差和角速度誤差。成立關系

式中：R為方向余弦陣。對式（4）求導可得

誤差運動學方程為

不考慮航天器的結構撓性，則可將航天器視為一剛體，航天器的姿態動力學可描述為

式中：J為航天器轉動慣量；u為施加于星體的控制力矩。綜合式（6）可得誤差動力學方程

當角速度和角加速度均為零，即

時，誤差動力學可簡化為

2 無角速度反饋姿態控制律設計

引理1：采用控制律

的系統式（7）、（9）在平衡點［0 0 0 0 0 0］T＝［ωσ］上全局漸進穩定［5］。此處：Ω＝R（δσ）ω＊；A為Hurwitz矩陣；B為任意滿秩矩陣。

證明：取Lyapunov方程

式中：P為一正定矩陣。可見V＞0。對Lyapunov函數求導，并由式（6）、（11）可得

根據式（4）和ω×ω＝0，由文獻［6］成立關系

則Lyapunov函數的導數可寫成

可見，只要設定參數A，P即可使≤0。因V為徑向無界，故其所有的解均為有界。

考慮集合E＝，可見＝＝0在這個集合中，則由式（12）可得，再根據誤差運動學式（7）可得δω＝0。綜合上述結果和式（4）、（11）、（12）可得δσ＝0。因A為Hurwitz矩陣，故由式（12）可得z＝0。因此，集合M＝｛（δω，δσ，z）∈E｜δω＝δσ＝z＝0｝為E的最大不變集。根據Lasalle引理，V為徑向無界，則閉環系統為全局漸進穩定［5、7］。

在航天器的實際運行中，飽和現象廣泛存在，考慮將飽和函數引入控制器并改善控制器的性能。

定義1：飽和函數satx是一個在區間［－a，a］（a＞0）上嚴格遞增的奇函數，且滿足條件sat 0＝0，sat－x＝－satx，×（satx1）x1≥0，?x，x1∈［－a，a］的函數。

在區間［－a，a］之外，飽和函數滿足條件satx＝sat－a，x∈（－∞，－a］，satx＝sata，x∈（a，＋∞）［8］。

定理1：設Ω＝R（δσ）ω＊，γ＞0，采用控制律

的系統式（7）、（9）在給定的平衡點［σω］T＝［0 0 0 0 0 0］T處全局漸進穩定。此處：β，γ為參數。

證明：取Lyapunov函數

此處：satx為滿足定義1的飽和函數。求導V，有

因z＝［z1z2z3］T，＝－γz＋γδσ，故

將式（20）代入式（18），可得

由式（15）可得

根據飽和函數satx的奇函數性質，有關系

推論1：期望角速度和期望角加速度為零時控制律

能使系統式（7）、（9）穩定。

分析和仿真表明飽和函數的閥限導致控制效果不理想，因此可尋求一新的函數在滿足在零的對稱鄰域內嚴格遞增且為奇函數的設計方法，而雙曲正切函數為在（－∞，＋∞）內嚴格遞增且處處可導的奇函數，故有

定理2：設Ω＝R（δσ）ω＊，采用控制律

的系統式（7）、（9）在給定平衡點［σω］T＝［0 0 0 0 0 0］T處局漸進穩定。

證明：選取Lyapunov函數

可見coshx≥1，V為正定函數。對Lyapunov函數求時間導數

根據式（15），整理式（28）可得

根據Lasalle引理可得系統在原點［σω］T＝［0 0 0 0 0 0］T全局漸進穩定。

推論2：當期望角速度和角加速度為零時（即ω＊＝＝0）控制律

能使系統式（7）、（9）穩定。

3 仿真驗證

設J＝，初始姿態σ0＝［0 0.683 8 0.227 9］T，初始角速度ω0＝［0 0 0］T，期望姿態σ＊＝［0 0.484 1 0.125 0］T，期望角速度和期望角加速度均為零，取控制律式（17）中飽和函數

參數a＝10，β＝1，γ＝10，z初值為［0 0 0］T，進行200s的姿態機動仿真，結果如圖1所示。

圖1 姿態響應（MRP）Fig.1 Attitude response（MRP）

對控制律式（25），取參數k＝1進行200s姿態機動仿真，結果如圖2所示。

圖2 姿態響應（MRP）Fig.2 Attitude response（MRP）

由仿真結果可知：本文的無角速度控制律可使系統在不具備自身角速度反饋的條件下穩定，其中采用雙曲余弦函數的控制效果較采用飽和特性函數方法的更理想，兩種方法均可通過參數調整獲得更好的控制效果。

4 結束語

本文對航天器姿控系統無角速度反饋條件下的控制進行了研究。鑒于MRP參數有較大的工程應用價值，提出了多種基于MRP參數的無需自身角速度反饋的姿態控制律，數學仿真結果驗證了所提控制方法的可行性。

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