數學方法在改善逆合成孔徑激光成像雷達信噪比中的應用

王晨陽，楊進華，劉智超

（長春理工大學 光電工程學院，長春 130022）

逆合成孔徑激光雷達（ISAIL，Inverse Synthetic Aperture Imaging Lidar）是逆合成孔徑雷達和激光雷達結合的產物。微波波段的逆合成孔徑雷達，成像分辨率被信號帶寬所限制，在遠距離或微小目標成像時不能提供足夠高的距離分辨率。為改善這個問題，將逆合成孔徑技術應用于激光波段成為了一種有效的措施。激光信號有帶寬大、波長短的特點，可以使ISAIL實現運動目標的超高分辨率成像。

信噪比（signal to noise ratio，SNR）是衡量雷達系統成像能力的重要指標之一。降低回波噪聲功率是改善ISAIL信噪比的一種方法，它可以通過信號處理的方法實現。本文將介紹兩種基于代數變換的信號降噪方法，分別為：固有值分解法（Eigen-Value Decomposition，EVD）和奇異值分解法（Singular-Value Decomposition，SVD），它們通過正交分解和投影的方法，將綜合的原始信號分別投影到純信號空間和噪聲空間，在去除噪聲相關子空間的同時，保持純信號空間，進而提高ISAIL的信噪比。

1 逆合成孔徑激光雷達的成像原理和信噪比

1.1 逆合成孔徑激光雷達的成像原理

逆合成孔徑激光雷達的成像模型如圖1所示。雷達相對于運動目標固定，通過發射大帶寬信號來獲得很好的距離分辨率，利用目標相對于雷達轉動產生的多普勒頻率變化來獲得好的方位向分辨率。距離－多普勒成像原理與雷達和目標運動的幾何關系有關［1］。復雜運動的目標，其相對于雷達的運動形式可分解為兩種簡單的運動：直線運動和自身的旋轉運動。將目標進行直線運動補償后，可將運動目標簡化成單純的旋轉運動。再通過相位補償校正，可得到目標的重構成像。

圖1 逆合成孔徑雷達成像模型

1.2 逆合成孔徑激光雷達的噪聲形式

從目標返回的回波信號不可避免的要和噪聲信號競爭。雷達的工作過程中噪聲源有兩種：一種是接收器接收到的外部噪聲，另一種是雷達自身的內部噪聲。內部噪聲主要是系統中的熱噪聲，但它產生的原因不只有系統內部的熱量，也有可能有外部的環境因素，如太陽光或地面、建筑物等的反射光。外部噪聲會隨雷達的接收方向變化而變化［2］。

由背景光子和隨機信號光子引發的散粒噪聲分別表示為［3］：

其中，e為電子電荷，Pb為背景光功率，γ為電流響應度，B為接收機帶寬。Ps為信號功率，G為探測器增益。

探測器噪聲主要包括產生—復合噪聲和暗電流噪聲。由載流子隨機產生和復合造成的產生—復合噪聲，其電流均方值可以表示為：

暗電流噪聲是探測器本身的暗電流引起的閃爍噪聲，探測器暗電流均方值可以表示為：

式中，ID為探測器的暗電流，Bj為接收機的帶寬。放大器噪聲是由放大器各電子元件帶來的噪聲可表示為：

式中，ηD為探測器的量子效率，H為普朗克常數，υ為激光信號的頻率。熱噪聲是由探測器的負載電阻中的電子熱運動引起的，其電流的均方值可以表示為：

式中，k為波爾茲曼常數，T為絕對溫度，Rk為探測器負載電阻，Bj為接收機的工作帶寬。

1.3 逆合成孔徑激光雷達的信噪比

雷達信噪比SNR定義為信號峰值功率與噪聲功率均方根的比值，即SNR=S/N。對于逆合成孔徑激光雷達，信噪比的表達式還可以寫成［4］

想要改善雷達的SNR，一是提高S，即提高信號的峰值功率；一是降低N，即降低噪聲的功率。前者需要通過改善系統配置來實現，比如增大激光器的發射功率，但這樣又面臨著新的問題：發射器的功率越大，其體積和重量也要隨之增加，不利于機載或星載的使用。后者可通過物理方法實現，如在系統中加入窄帶濾光片等，也可使用信號處理的方法，如匹配濾波，干擾抑制等。本文提出了兩種基于數學原理的降噪方法，分別為：固有值分解法和奇異值分解法。

2 兩種基于數學方法的降噪過程

2.1 基于固有值分解的降噪技術［5］

基于固有值分解的降噪方法中，接收信號經由Toeplitz矩陣變換，被分解成兩個子空間，分別為：噪聲相關子空間和純信號子空間。降噪的過程就是在去除噪聲相關子空間的同時，保持純信號子空間來完成的。

固有值分解，或稱為Karhunen-Loève變換，使用信號相關法來降噪。N個樣本帶噪信號y(t)的相關矩陣為Toeplitz矩陣，由T表示：

將矩陣T進行本征向量分解

其中，λi是矩陣T的本征值，行向量P為T的本征向量。將矩陣的本征向量和本征值進行整理：使最大的本征值在矩陣的第一列，并保證本征向量和本征值一一對應。Karhunen-Loève變換的目標是用投影的方法除去噪聲。通過矩陣的特征分解，在主空間內，信號y(t)可被分解成兩個正交的子空間：純信號子空間Sx和噪聲子空間Sb。去噪的方法是將y(t)投影到純信號子空間，進而得到無噪聲的原始信號，如圖2所示。

圖2 信噪分解投影示意圖

選取一個最能準確表達純信號空間的本征向量，得到對應的本征值。求出一個新的矩陣A，該矩陣可在保持純信號本征向量不變的情況下將噪聲的本征向量化為0。這時，正交投影算子R可表示為：R=AAT。噪聲信號向量y(t)通過算子R的投影產生的新向量記為Y，即：S=RTY。這里S就是最終降噪后的信號。

2.2 基于奇異值分解的降噪技術

將Hankel形矩陣看做噪聲信號矩陣，構成如下的帶噪信號結構：

其中，N是樣本個數，L是矩陣行數，M是矩陣列數。此時，L和M的關系是：L+M=N+1，可知L＞M。然后，使用奇異值分解（SVD）選擇最合適的有效值：

U和V分別是左、右奇異向量，Σ1表示純信號子空間的奇異值，Σ2表示噪聲子空間的奇異值。有效值在噪聲信號矩陣中的對角線部分上，并且全部被提取為線性向量。根據應用的不同標準，只有一部分的有效值可以在Hankel矩陣近似法中使用。

選出合適的有效值后，構建一個新的矩陣，使對角線上的有效值矩陣變為零矩陣，從而重構一個奇異值向量，該向量包含最初獲得的矩陣U和V。這樣，便可以得到一個重建的信號矩陣。近似法重建的Hankel型矩陣的反對角線上的平均值給出了所有去噪信號元素。樣本則由重建信號中與其相對應的矢量給出。

3 計算機仿真與降噪效果分析

采用MATLAB軟件對上面介紹的兩種降噪方法進行仿真。原始目標為80×80像素的二值圖像，如圖3所示。模擬逆合成孔徑激光雷達的接收模式，對圖3中的物體加轉臺運動［6］，得到的理想回波圖像（純理想接收，無噪聲），如圖4所示。可以看到，理想接收情況下，目標回波是分辨率較高的點陣且目標邊緣外沒有任何噪聲。圖5為考慮系統噪聲和背景隨機噪聲的接收回波。從圖中可以明顯的看出，回波的點陣的規律性被破壞，目標以外的背景空間也產生了模糊。根據前文敘述的信噪比表達式（1），求出此時回波的信噪比為SNRorigin=0.5709。

圖3 原始目標圖像

圖4 ISAIL理想回波圖像

圖5 ISAIL含噪回波圖像

首先采用固有值分解的方法對圖5進行降噪。以原目標圖形為標準建立純信號空間的本征向量，并求出對應的本征值。將噪聲投影到與純信號空間成正交關系的信號子空間中，然后提取在純信號空間的投影分量，得到圖6的降噪結果。可以看到降噪后的分辨率比圖5提高了很多，而且點陣也得到了較好的恢復。此時降噪后圖像的信噪比SNREVD=0.7370。

然后，再采用與上面相似的步驟，對圖5進行奇異值分解的降噪，得到結果為圖7。與固有值分解法相比，奇異值法的對比度與理想回波圖像更為近似，且目標周邊的噪聲也比圖6小了很多。降噪后圖像的信噪比SNRSVD=0.8445。

但值得指出的是，奇異值的分解涉及到了三個矩陣的相乘，計算量較大，對計算機系統的要求也較高。

圖6 固有值分解降噪結果

圖7 奇異值分解降噪結果

由上面結果可以看出，固有值分解法和奇異值分解法都有一定的降噪效果，但是它們存在一定的差異。基于固有值的分解在降噪的同時也提高了原有信號的對比度，且周邊仍有較多的殘余噪聲。奇異值降噪法復原周邊背景的效果更好，并且沒有給目標信號本身帶來更大的對比度，總體的降噪效果要優于固有值法的降噪。

4 結論

本文在理論分析逆合成孔徑激光雷達噪聲模型和信噪比的基礎上，介紹了兩種基于數學方法的降噪原理，對它們分別進行了MATLAB的仿真，并對比了仿真的結果，找出了兩種降噪方法各自的特點：固有值分解法在降噪的同時提高了目標與背景的對比度，比較適用于目標和背景之間對比度較低的情況；奇異值分解法的降噪效果優于固有值法，且基本保持了目標信號原有的能量，但處理過程中計算量較大，比較適于目標和景物對比度明顯，但對目標細節恢復要求更高的場合。

［1］費智婷.機動目標的逆合成孔徑雷達成像研究［D］.四川：電子科技大學，2006.

［2］Caner Ozdemir.Inverse Synthetic Aperture Radar Imaging With MATLAB Algorithms［M］.Turkey：WILEY，2012：50-51.

［3］何勁，張群，楊小優，等.逆合成孔徑成像激光雷達系統建模及成像仿真［J］.系統仿真學報，2012，24（3）：634.

［4］戴永江.激光雷達原理［M］.北京：國防工業出版社，2001：14-15.

［5］CRESSEND Fabien，FAUCHARD Simon，FLOCH Julien.Algebraic methods contribution for ISAR processing［M］.France：ENSEIRB-MATMECA，2009：2-4.

［6］張利軍.典型目標逆合成孔徑雷達成像仿真［J］.甘肅科技，2009，25（8）：19-20.