對(duì)微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生衍射極大值晶面的討論

何穎卓，丁朝華，李春芝

（內(nèi)蒙古民族大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼 028043）

通常用三厘米微波固態(tài)信號(hào)源開(kāi)展微波模擬晶體布拉格衍射實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中總可以測(cè)量到多個(gè)晶面的衍射極大值。國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中對(duì)該實(shí)驗(yàn)中可以產(chǎn)生衍射極大值的晶面只有（100）及（110）兩個(gè)晶面有報(bào)道［1-3］，其它可以產(chǎn)生衍射極大值的晶面尚未查到相關(guān)的報(bào)道。我們通過(guò)理論推導(dǎo)得出所有產(chǎn)生衍射極大值的晶面，并對(duì)這些晶面的特點(diǎn)進(jìn)行分析討論。掌握這些可以產(chǎn)生衍射極大值的晶面，有利于深入開(kāi)展微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)的教學(xué)與研究，也有利于更深入地了解和認(rèn)識(shí)X射線入射真實(shí)晶體衍射情況。為人們探索物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)奠定良好的基礎(chǔ)。

1 實(shí)驗(yàn)原理

微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)一般采用微波分光儀。其實(shí)驗(yàn)原理是當(dāng)微波以固定波長(zhǎng)λ入射到模擬晶體的晶面上，如果入射角滿足布拉格定律，則在晶面的反射線方向上發(fā)生衍射［4-6］。微波分光儀中的模擬晶體由金屬小球組成晶格常數(shù)為a=4.0cm的簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣；所用三厘米固態(tài)微波信號(hào)源，其波長(zhǎng)λ在3.0～3.5cm范圍內(nèi)可調(diào)節(jié)。

設(shè)密勒指數(shù)為(hkl)的晶面族［7-10］，其面間距為d(hkl)；入射波與晶面的夾角為θn，θn為第n級(jí)衍射的衍射角；n為衍射級(jí)數(shù)（n取1，2，3等整數(shù)）；當(dāng)θn滿足布拉格定律

時(shí)，在反射波方向（見(jiàn)圖1）上產(chǎn)生衍射［11］。

2 所有產(chǎn)生衍射極大值的晶面

2.1 產(chǎn)生衍射極大值晶面應(yīng)滿足的條件

圖1 (hkl)晶面族的微波布拉格衍射

一般微波分光儀都是在同一個(gè)水平面上進(jìn)行測(cè)量的。因此，本文只討論模擬晶體在同一個(gè)水平面（X—Y平面）上投影的晶面。則水平面中任意晶面的密勒指數(shù)為(hk0)（見(jiàn)圖2）。由于模擬晶體為立方晶系，其面間距為［4，11］

圖2 模擬晶體在X—Y平面上投影的部分晶面

其中，晶面密勒指數(shù) h、k值取0、±1、±2等整數(shù)，但由（2）式得出晶面密勒指數(shù)h、k不能同時(shí)取0。一組晶面密勒指數(shù)h、k取值確定后，相應(yīng)的晶面(hk0)就可以確定。本文中晶面面間距d(hk0)、微波波長(zhǎng)λ單位統(tǒng)一采用cm，故推導(dǎo)過(guò)程單位略。把（2）式代入（1）式經(jīng)整理得

由（4）式得出產(chǎn)生衍射極大值晶面應(yīng)滿足的條件：當(dāng)衍射級(jí)數(shù)及波長(zhǎng)確定后，只有密勒指數(shù)滿足（4）式條件的晶面才能產(chǎn)生衍射。

2.2 衍射級(jí)數(shù)與晶面密勒指數(shù)h取值的討論

由（5）式得出晶面密勒指數(shù)h可以取正值，也可以取負(fù)值。但當(dāng)h取正負(fù)值后，由（4）式k也取正負(fù)值時(shí)，它們所表示的晶面都是重復(fù)的。例如：當(dāng)h=±1、k=±1時(shí)，相應(yīng)的晶面為（110）、（11ˉ0）、（1ˉ10 ）、（1ˉ1ˉ0 ），其中，（110）與（1ˉ1ˉ0 ）、（11ˉ0 ）與（1ˉ10）為同一個(gè)晶面，因此，我們只討論h取正值時(shí)（110）、（11ˉ0）兩個(gè)晶面的情況即可。結(jié)合（5）式得出晶面密勒指數(shù)h的取值范圍為

中的整數(shù)。利用（6）式，給出衍射級(jí)數(shù)n及波長(zhǎng)λ的取值范圍，就可以確定晶面密勒指數(shù)h的取值范圍。

以下分別討論實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生不同級(jí)次衍射時(shí)晶面密勒指數(shù)h的取值情況。

2.2.1 產(chǎn)生一級(jí)衍射

2.2.2 產(chǎn)生二級(jí)衍射

2.2.3 大于二級(jí)衍射的晶面不存在

當(dāng) n＞2時(shí)，由（6）式得 h只能取0，再由（4）式得k也只能取0。由于晶面密勒指數(shù)h、k不能同時(shí)為0，因此，大于二級(jí)衍射的晶面是不存在的。

由以上討論可以得出：微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)只能產(chǎn)生一級(jí)、二級(jí)衍射，并且一級(jí)衍射晶面(hk0)的密勒指數(shù)h只能取0、1、2，二級(jí)衍射晶面(hk0)的密勒指數(shù)h只能取0、1。

2.3 產(chǎn)生衍射極大值的晶面

根據(jù)以上2.2中的討論結(jié)果再結(jié)合（4）式列出產(chǎn)生不同衍射級(jí)數(shù)的密勒指數(shù)h、k的取值及相應(yīng)的晶面（見(jiàn)表1）。具體方法是把不同衍射級(jí)數(shù)中的h值分別代入（4）式，再利用λ的取值范圍就可以得到相應(yīng)k的取值（見(jiàn)表1第3行），從而確定產(chǎn)生衍射極大值的晶面(hk0)（見(jiàn)表1第4行）。

表1 產(chǎn)生衍射極大值的晶面

表1說(shuō)明：

②只有（010）、（100）晶面可以產(chǎn)生二級(jí)衍射（見(jiàn)表1第5列、第6列）。由（1）、（2）式可以得出分別相當(dāng)于（020）、（200）晶面的一級(jí)衍射［13］。

由表1可以得出結(jié)論：微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生衍射極大值的晶面只有十個(gè)，分別為：（010）、（020）、（100）、（200）、（110）、（）、（120）、（）、（210）、（）。圖2繪出的是模擬晶體在X—Y平面上投影的部分晶面。

3 對(duì)產(chǎn)生衍射極大值晶面的分析討論

3.1 模擬晶體與真實(shí)晶體衍射情況的討論

對(duì)真實(shí)簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣晶體其結(jié)構(gòu)因子與晶面的密勒指數(shù)無(wú)關(guān)，發(fā)生衍射時(shí)不會(huì)產(chǎn)生點(diǎn)陣消光現(xiàn)象［13］，即所有滿足布拉格定律入射的X射線在其反射線方向上都可以測(cè)量到衍射極大值。實(shí)驗(yàn)用的模擬晶體也為簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣，因此，它的衍射也不會(huì)產(chǎn)生點(diǎn)陣消光現(xiàn)象，理論上這十個(gè)晶面的衍射極大值都能測(cè)量到。

模擬晶體與真實(shí)晶體的衍射由于種種原因存在很大差異。例如：模擬原子數(shù)量少；發(fā)生衍射晶面少（只有十個(gè)）；小球制作工藝；實(shí)驗(yàn)環(huán)境等。但采取一些措施是可以減小由于制作工藝、實(shí)驗(yàn)環(huán)境等因素造成的模擬晶體與真實(shí)晶體衍射的差異。為了使通過(guò)小球的反射波更均勻，小球制作要求大小一致，表面為球面且光滑，盡量調(diào)節(jié)金屬小球排列整齊；為了防止實(shí)驗(yàn)室環(huán)境對(duì)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生干擾，實(shí)驗(yàn)設(shè)備附近盡量不要放置金屬物品，實(shí)驗(yàn)過(guò)程實(shí)驗(yàn)人員應(yīng)少走動(dòng)以及適當(dāng)增大微波強(qiáng)度等。

3.2 微波模擬晶體的衍射圖譜

采用微波分光儀自動(dòng)測(cè)試系統(tǒng)測(cè)量反射波的電壓U（與微波場(chǎng)強(qiáng)成正比）隨出射角度θ的變化關(guān)系。實(shí)驗(yàn)時(shí)微波波長(zhǎng)調(diào)節(jié)為3.20cm；測(cè)量角度間隔為1°。相對(duì)（110）晶面入射角度為0°，出射角測(cè)量范圍為26°～150°。圖3是以U 為縱坐標(biāo)、θ為橫坐標(biāo)繪出的模擬晶體的衍射圖譜。由圖3得到A-C四個(gè)極值，通過(guò)對(duì)極值所對(duì)應(yīng)的出射角度和衍射角度比對(duì)分析（略）得到它們與（110）、（210）、（200）、（21ˉ0）晶面的衍射一一對(duì)應(yīng)。如果微波以滿足布拉格定律角度入射到晶面，就可以測(cè)量到相應(yīng)晶面的極大值。通過(guò)調(diào)節(jié)合適的入射角度還可以測(cè)量其它幾個(gè)晶面的衍射情況（略）。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也說(shuō)明微波模擬晶體沒(méi)有衍射消光現(xiàn)象與X射線入射真實(shí)晶體的衍射情況基本相符。

圖3 模擬晶體的衍謝圖譜

3.3 三個(gè)代表產(chǎn)生衍射極大值的晶面

以上得出在微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)中有十個(gè)晶面可以產(chǎn)生衍射極大值，但其中有些晶面發(fā)生衍射的性質(zhì)完全相同，實(shí)驗(yàn)中只要選出有代表性的晶面作為實(shí)驗(yàn)研究對(duì)象即可。

（010）與（100）之間的夾角為90°，兩個(gè)晶面是對(duì)稱等效晶面，性質(zhì)完全相同，用（100）可以代表這兩個(gè)晶面［4］。（020）、（200）也同樣可以用（200）代表。由于（100）的二級(jí)衍射相當(dāng)于（200）一級(jí)衍射，可以用（100）晶面的兩個(gè)衍射級(jí)次代表（010）、（020）、（200）這三個(gè)晶面。同理，（110）與（）也是對(duì)稱等效晶面，可以用（110）代表。由（2）式得出（120）、這些晶面的面間距相同，由（1）式又得出衍射角也完全相同，只是入射波及反射波的位置不同而已，性質(zhì)完全相同，可以選出一個(gè)晶面來(lái)代表四個(gè)晶面的衍射情況。我們選（110）、（100）晶面之間的（210）晶面代表（見(jiàn)圖2）。因此，只要研究（100）、（110）、（210）三個(gè)晶面的衍射情況，就完全可以代表所有產(chǎn)生衍射極大值的晶面。

4 結(jié)論

綜上所述，我們得出在三厘米微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)中的模擬晶體只能產(chǎn)生一、二級(jí)衍射，并且可以產(chǎn)生衍射極大值的晶面只有十個(gè)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)都可以測(cè)量到這些晶面的衍射極大值。但其中有些晶面的衍射性質(zhì)完全相同，用（100）、（110）、（210）這三個(gè)晶面（實(shí)際上它們也代表各自的晶面族［4］）完全可以代表所有產(chǎn)生衍射極大值的晶面作為該實(shí)驗(yàn)的研究對(duì)象，通過(guò)這三個(gè)晶面（晶面族）就能全面研究微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)。

［1］康偉芳，薛玉春，劉帥.布拉格衍射及其應(yīng)用［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2006，19（2）：19-21.

［2］李明標(biāo)，蕫海寬，史力斌.利用微波布拉格反射測(cè)量模擬點(diǎn)陣的晶格常數(shù)［J］.渤海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，32（4）：325-327.

［3］Helli well J R.Lecture demonstrations in a public lecture on‘X-ray crystal structure analysis：from W.L.Bragg to the present day’［J］.Journal of Applied Crystallography，2009，42（2）：365。

［4］林木欣.近代物理實(shí)驗(yàn)教程［M］.北京：科學(xué)出版社，1999：168-171.

［5］馬禮敦.近代X射線多晶體衍射—實(shí)驗(yàn)技術(shù)與數(shù)據(jù)分析［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2004：16-78.

［6］姜傳海，楊傳錚.材料射線衍射和散射分析［M］.北京：高等教育出版社，2010：53-56.

［7］陸棟，蔣平.固體物理學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2011：12-14.

［8］王矜奉.固體物理教程［M］.濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2010：1-9.

［9］田強(qiáng)，徐清云.凝聚態(tài)物理學(xué)進(jìn)展［M］.北京：科學(xué)出版社，2005：1-5.

［10］陳綱，廖理幾.晶體物理學(xué)基礎(chǔ)［M］。北京：科學(xué)出版社，1992：51-58.

［11］何元金，馬興坤.近代物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003：143-145.

［12］吳思成，王祖銓.近代物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1995：294.

［13］祁景玉.X射線結(jié)構(gòu)分析［M］.上海：同濟(jì)大學(xué)版社，2003：10-21.