一種降低碼構造復雜度的QSTBC設計

許冰祥，彭文杰

（河海大學 計算機與信息學院，江蘇 南京 211100）

隨著現代數字通信技術的不斷發展，相應的通信標準和產品對諸如傳輸質量、傳輸效率等移動網絡傳輸技術的要求也越來越高，為了盡可能地增加系統容量和提高數據的傳輸速率，多輸入多輸出（MIMO）技術以其顯著的傳輸優越性越來越被人們所關注[1]。

近年來有關MIMO多天線系統空時編碼技術的研究表明，空時編碼能同時利用時間和空間兩維信息來構造碼字，從而提高了系統的抗衰落特性；該技術還可以利用衰落信道的多徑傳播和發射分集以及接收分集來為用戶提供高速率、高質量的數據通信。在諸多MIMO空時編碼方案中，正交空時分組碼（OSTBC）[2]雖然能夠實現全分集特性，但是當傳輸天線數目超過2的時候，卻達不到滿速率；而準正交空時分組碼（QSTBC）不僅能夠達到滿分集，還能實現滿速率，因此得到了廣泛研究。

文獻[3]采用準正交空時分組碼，在八發一收天線條件下，將碼字映射到多維分圓格上，然后通過最大似然譯碼準則將信號還原，得出了采用分圓格進行碼字設計的優越性，即：滿分集很容易保證；分集上限直接取決于多維格點的最小歐氏距離（MED）；能達到更高的分集增益。但是，該文獻中原始的八發一收準正交空時分組碼的編碼矩陣過于繁瑣，并不利于系統的分析與設計。為了簡化這一碼字矩陣，本文依據分圓格思想設計了一種基于分圓格的四發四收準正交空時分組碼，新設計的四發四收準正交空時碼不僅具有良好的分集增益和編碼增益，在誤碼率、信道容量和中斷概率及算法復雜度方面皆具有較原設計較顯著的優越性。

1 系統模型

為研究方便，文中僅考慮準靜態平穩衰落信道中的傳輸情形。假設有一采用準正交空時編碼技術的nT×nRMIMO系統，其中nT為發射天線數，nR為接收天線數，信號接收模型為

其中，Y是一個T×nR的接收矩陣，ρ是每一個接收天線的信噪比，C是碼字矩陣，H是nT×nR信道矩陣，N是 T×nR噪聲矩陣，H和N中的元素獨立同分布，并且都服從于復高斯分布，即CN（0，1）分布。此處的T是每組碼中所包含的信號數。

本設計中的碼字矩陣依據Alamouti準則設為[4]：

碼字矩陣C4的能量為

其中，E表示期望，‖‖F表示F范數，式（3）將C4歸一化。

式（1）經過匹配濾波和噪聲白化后[4]得到的等效接收信號模型為：

y*是接收向量，K是一個實對角陣，x為發射信號，其中的每個元素對應一個單輸入單輸出信道，ω是一個滿足復高斯分布的噪聲矩陣，V是一個經奇異值分解后得到的酉矩陣。

2 基于分圓格的四發四收準正交空時分組碼設計

在介紹具體的基于分圓格準正交空時分組碼設計之前，首先根據古典代數理論，介紹2個有關分圓格的基本定義[5]。

定義一：一個整數環Z[ζm]上的四維復分圓格為：

其中，V=[V1V2V3V4]T即二維復分圓格的格點，b=[b1b2b3b4]T，G 是 4×4 復生成矩陣，m 是正整數；Z[ζm]={z|z=z1+z2ζm，ζm=e2πj/m，z1，z2∈ωZ}，其中，ωZ 是一個有范圍的整數集，ω 是一個正比例因數。 事實上，ω 是整數環 Z[ζm]的單位長度；（Z[ζm]）4是四維列向量的集合，向量中的元素屬于整數環Z[ζm]。

定義二：四維分圓格 Γ4（G）的最小乘積距離（MPD）由下式表示

其中 v，v′∈Γ4（G），Δv=v-v′=[Δv1Δv2Δv3Δv4]T并且 v≠v′。 標準化 dMPD=（dMPD）1/4。

定義發射信號向量s=[s1s2s3s4]T，并令x=V4s。在該傳輸系統中，將發送符號調制為四維分圓格中的格點。假如ΔC4=C4-C′4是2個不同碼字C4和C4的差矩陣，而C4和 C4則分別對應于兩不同向量或者說格點 s和 s′。 令 Δs=s-s′=[Δs1Δs2Δs3Δs4]T。

結合文獻[3]的內容，得到分集增益為：

隨后將選取所使用的格，此處采用最優的愛因斯坦分圓格[6]：

其中，β=ejπ/15，Γ4（G）基于整數環 Z[ζ6][6]。

根據式（6）和式（7），可以得到[3]：

其中，ω在文中第2節的定義一中已經定義。

接下來進行格壓縮過程，即將定義一中的ω最大化。令M=4來表示分圓格Γ4（G）的維數，R為每個信道周期的比特吞吐量（bpcu），令其值為2。再接下來的問題就是如何選取L=2RM=256個格點作為信號集合來獲取最大歐氏距離，此過程在文獻[3]中有詳細理論介紹。文中通過分析選取Θ={-2，-1，0，1}?z，再根據上述過程進行分析，用 MATLAB給出仿真結果。通過計算我們得到四維分圓格能達到的最大分集上界ε為 0.408 3。

表1 四發天線系統中傳統方法與格壓縮理論獲得的分集乘積上界比較Tab.1 Comparison of the upper bound of diversity product between the traditional method and the lattice compression theory obtained by four transmit antennas antenna system

表1給出了發射天線數為4時，采用文中分析的經典格壓縮理論獲得最大分集乘積上界與傳統方法獲得的分集乘積上界相比較的情況。可以看出，在碼元速率大于1之后，利用格壓縮理論能得到比傳統方法獲得更大的乘積上界，提升了系統的編碼增益性能。當碼元速率高于4之后，文獻[3]中所取256個格點組成的環不夠用，增大可選格點的范圍，即增加Θ的取值范圍，從而使其達到所需分析的最小格點數。當碼元速率高于4時，根據表1，格壓縮理論仍然適用，因此，在4發射天線的情況下，基于分圓格基礎的準正交空時分組碼比原始的復星座空間中的準正交空時分組碼有更大的分集乘積上界。

3 四發四收準正交空時分組碼優越性

基于分圓格的傳輸方式具有全分集的特性，因此可以推出4×4空時分組碼的分集增益為16，優于8×1空時分組碼的分集增益8。本節主要針對基于分圓格技術的準正交空時編碼系統的誤碼率和中斷概率進行分析。

首先對文中研究的基于分圓格的4發4收準正交空時編碼同文獻[3]中提出的8發1收準正交空時碼在誤碼率方面進行性能比較：

我們選取本文第1節介紹的信道模型，并且信道狀態信息（CSI）在接收端是已知的，但是在發送端是未知的。本文在瑞利衰落信道下，通過蒙特卡洛仿真，在100萬次條件下得到圖1所示。

如圖1所示，在同等信噪比的條件下，4發4收方案的誤碼率顯然比8發1收方案的小；當信噪比不斷增大的時候，兩條線之間的距離明顯增大。因此我們可以推出：信噪比一定時，本文所研究的4×4基于分圓格準正交空時編碼方案的誤碼率明顯低于文獻[3]的原始8×1編碼設計實例。因此本文研究的方案能更穩定、更高效地傳輸數據信息。

圖1 4×4QSTBC和8×1QSTBC誤碼率比較Fig.1 Comparison of code error rate between 4×4 QSTBC and 8×1 QSTBC

中斷概率是指系統瞬時信道容量比系統傳輸速率小的概率，它反映了系統無差錯傳輸性能，是系統性能的重要考核指標。在發射天線數為，接收天線數為的準靜態Rayleigh衰落MIMO信道系統中，其若接收端有良好的信道估計，且發射端在無信道狀態信息（CSI）的情況下：

準正交空時分組碼的信道容量公式為[7]：

準正交空時分組碼能達到的中斷概率Pout定義為信道容量IQ小于某一特定傳輸速率R的概率：

中斷概率的下界公式為[7]：

中斷概率的上界估算為[7]：

圖2中，加“Δ”的曲線表示4×4準正交空時分組碼的信道容量曲線，標記“*”的曲線表示8×1準正交空時碼的信道容量曲線。從圖中看出，10%中斷概率的情況下，4×4準正交空時分組碼信道容量大于8×1準正交空時分組碼。觀察曲線的斜率可以推出其傳輸速率會隨著SNR的增大，與8×1準正交空時分組碼傳輸速率之間的間隔越來越大，或者說本文的4×4傳輸方案比文獻[3]8×1方案有更好的信道容量。根據圖3，在發射天線數為4的情況下，4接收天線的信道容量比小于4接收天線時的信道容量要大，適合數據傳輸，且4接收天線的天線陣列安排并不是很復雜，可見4發4收系統能取得較好的信道容量。

圖2 4×4QSTBC和8×1QSTBC信道容量比較Fig.2 Comparison of channel capacity between 4×4 QSTBC and 8×1 QSTBC

圖3 10%中斷概率下發射天線數為4的準正交空時分組編碼信道容量比較Fig.3 Comparison of channel capacity among 4 transmit antenna with QSTBC in outage probability of 10%

圖4 本文方案與原始設計實例中斷概率比較Fig.4 Comparison of outage probability between this paper program and original design example

圖4則為本文4×4設計方案與文獻[3]原始8×1設計實例中斷概率仿真比較結果，根據圖4的仿真曲線可以看出，當信噪比一定時，本文研究方案的中斷概率始終低于原始設計實例。因此本文的方案能更穩定、更高效地傳輸數據信息。

由于在碼字矩陣設計方面，本文選用的是4×4分圓格碼字矩陣，由于它的傳輸只需要4個時隙，對信道穩定性要求比較低，而文獻[3]中8×8碼字矩陣的傳輸需要8個時隙，對信道的穩定性要求較高。尤其在譯碼方面，原始的8×1方案需對分為2個獨立4×4的信道矩陣分別進行奇異值，而新方案只需一次奇異值分解，故計算復雜度可降一半。另外本文采用的是4接收天線，相比文獻[3]中的1接收天線，我們可以先通過最大比合并（MRC）以提高信噪比，然后再譯碼就可以提高譯碼準確度。綜上所述，本文研究的四發四收方案不論在計算復雜度、還是在系統誤碼率以及信道容量和中斷概率方面都優于原始設計實例，因而能更高效更穩定地傳輸數據。

4 結 論

文中研究了一種降低編碼矩陣構造復雜度的簡化型四發四收準正交空時分組碼設計方案，研究結果表明，該簡化設計方案不僅可以比未采用格壓縮理論的四發四收方案獲得更大的分集乘積上界，而且與已有文獻中的八發一收設計實例相比，在誤碼率、信道容量和中斷概率及算法復雜度方面皆顯示出其優越性。

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