基于Monte-Carlo仿真的制導系統多準則決策設計方法

張一航，侯明善

（西北工業大學 自動化學院，陜西 西安 710072）

制導系統是制導武器系統的核心，其設計應兼顧系統精度、子系統的協調性、成本等多種準則要求[1-2]。同時，在實際運行狀態下的系統參數往往和設計值之間有一定的偏差，即參數漂移。通過確定性方法決策出的最優系統，在參數發生漂移時，不一定能保持原有性能。近年來，針對復雜系統的總體設計問題，系統工程領域的多準則決策方法受到越來越多的重視。多準則決策方法通過將設計問題轉化為決策問題，能夠同時考慮多個決策準則，有效進行系統總體設計，縮短系統設計周期。但傳統的多準則決策方法只能解決確定性決策問題，對不確定性問題無能為力[3-7]。本文利用Monte-Carlo仿真，將不確定性信息以概率分布函數的形式建模，并與決策矩陣融合，結合多準則決策方法，對制導系統的不同備選方案進行決策。

1 制導系統模型

考慮平面攔截制導問題，彈目相對運動關系為

式中，R表示彈目距離、q表示彈目視線角、VM和VT分別表示導彈和目標的速度，θM和θT分別表示導彈的彈道傾角和目標的航跡角。

導彈彈道傾角θM與其法向加速度θM、目標航跡角θT與其法向加速度aT滿足關系

考慮如圖1所示的制導系統結構，它由目標動力學、彈目相對運動關系、導引頭動力學、制導律、制導指令限幅和導彈動力學組成。

圖1 制導系統結構圖Fig.1 Structure diagram of guidance system

設制導系統制導律為比例導引，導彈法向加速度指令受彈體最大可用過載約束，設過載限幅值為nzm，則附加限幅的加速度指令為：

其中N為比例導引導航比。

導引頭動力學特性用帶延遲環節的一階慣性環節描述，其傳遞函數為

這里τ是純延遲環節的延遲時間，TS表示導引頭動態時間常數，q˙M是導引頭測量的視線角速率，其輸入是彈目視線角速率q˙。

導彈彈體和目標飛行器的動力學等效模型用二階環節描述，其傳遞函數分別為：

式中TM、ξM分別表示彈體動力學模型的時間常數和阻尼比，TT和ξT分別表示目標動力學模型的時間常數和阻尼比。

2 設計參數和決策準則的選取

前面給出了導彈制導系統的模型，系統共涉及5個主要設計參數：分別是彈體等效時間常數TM和阻尼比ξM，導引頭延遲時間τ，比例導引導航比N和導彈法向加速度指令限幅值nzm。這5個設計參數的每一種取值組合，就是制導系統設計中的一種備選設計方案。

在決策準則的確定中，主要考慮以下3個因素：

1）不同發射初值下的脫靶量應盡可能小：即脫靶量樣本均值md和樣本方差Sd應最小；

2）比例導引導航比N不應過大，以保證制導系統的穩定性；

3）導引頭的延遲時間τ和導彈法向加速度指令限幅值nzm應盡量小，以降低制導控制系統的元器件成本和控制能量成本。

上述5個決策準則是5個設計參數的函數，當設計參數確定時，決策準則也應當確定。但是，在實際的產品生產和操作過程中，設計參數會在原設計值基礎上發生漂移，使得決策準則產生隨機波動。這樣，在確定性準則下性能優異的方案，可能在發生漂移后性能變差，使得決策失敗。

為使決策方案對參數漂移具有魯棒性，將5個設計參數設為相互獨立的正態隨機變量，均值為該參數的設計值，標準偏差為該參數設計值的5%，這樣，每個隨機變量的域即是該參數設計值的。這5個設計參數組成了一個隨機向量

其均值向量μX和協方差矩陣KX為

隨機向量X的概率密度函數為

這樣，我們就將系統參數的不確定性引入了導彈制導系統模型中，由于系統參數是隨機變量，按某備選方案配置的導彈制導系統在不同初始條件下的脫靶量均值和方差也是隨機變量。這兩個隨機變量的分布函數無法直接求出，因此，利用Monte-Carlo方法建立這兩個隨機變量的經驗概率分布函數（ecdf），以代替隨機變量的概率分布函數（cdf）。

利用Monte-Carlo方法，在每組設計方案的基礎上按照（8）式的概率分布產生 500 組隨機參數，代入（1）～（5）式的模型中進行仿真，得到md，Sd的ecdf曲線，并取其上側α分位數，如圖2及圖3所示。α衡量了決策的風險程度，α越大，決策風險越大。

圖2 ma的取法Fig.2 Evaluation of ma

圖3 Sa的取法Fig.3 Evaluation of Sa

在文獻[8]中的34組方案基礎上，我們通過Monte-Carlo仿真得到風險程度為時的各決策準則值。當α=0.1時，決策準則值如圖4～圖8所示。這樣就得到如式（9）所示的決策矩陣D。

3 TOPSIS方法決策過程

TOPSIS方法基于如下思想：決策問題的一個有限解集中，最優解與理想最優解的歐氏距離最近，與理想最劣解的歐氏距離最遠[6]。TOPSIS方法通過對有限解集進行排序得到“最優解”。同時，在給定置信度條件下也能對隨機決策問題的解集進行排序。

根據文獻[6]，TOPSIS方法對決策矩陣D進行了如下6步操作：

步驟1:建立歸一化決策矩陣，使得不同決策準則之間具有可比性。方法是將D中的每個元素除以該元素所在列向量的2范數，如（10）式所示：

圖4 a=0.1時的maFig.4 mawith a=0.1

圖5 a=0.1時的SaFig.5 Sawith a=0.1

圖6 導引頭延遲時間Fig.6 Seeker delay time

圖7 比例導引導航比Fig.7 Proportional navigation ratio

圖8 法向過載限幅Fig.8 Maximal normal overload

步驟2:建立加權歸一化決策矩陣。決策過程往往受決策者主觀偏好的影響，決策者的主觀偏好通過權值向量引入到每個決策元素，權值向量形式如下：

對步驟1中得到的歸一化決策矩陣的每個列向量乘其對應的權值wj，就得到加權歸一化決策矩陣：

步驟3:確定理想最優解和理想最劣解。理想最優解A*對應的各決策準則使得系統性能最優，成本最低；而理想最劣A-解對應的各決策準則使得系統性能最差，成本最高。對選定的5個決策準則而言而言，參數值均是越小性能越好，成本越低；反之則性能越差，成本越高。對加權歸一化決策矩陣 V 因為有 0＜vij＜wj，因此

步驟4:計算各備選方案與理想最優解和理想最劣解之間的歐氏距離。備選方案與理想最優解和最劣解的距離為：

步驟5:計算備選方案與理想最優解的相對接近度。相對接近度定義為：

當 Ci*=1 時，ri=A*，當 Ci*=0 時，ri=A-。 備選方案與 A*越接近，Ci*越接近 1。

步驟6:對每個備選方案所對應的Ci*值降序排列，得到備選方案的優先級排序。從相對接近度的排序可以看出，方案23是在魯棒性意義下的多準則最優方案。

表1 權值向量取值Tab.1 Weight vector

圖9 不同權值方案相對接近度曲線Fig.9 Relative closeness curves of different weights

4 結 論

文中針對導彈制導系統在生產和工作過程中發生的參數漂移，設計了不確定性多準則決策方法，并用此方法進行了導彈制導系統的總體設計。建立了導彈制導系統考慮參數漂移的不確定性模型，利用Monte-Carlo方法建立了各決策準則的經驗概率分布函數，利用經驗概率分布函數在一定的風險程度下建立了決策矩陣，并利用 方法進行決策，選擇出魯棒性意義下的最優方案。分析發現，利用文中提出的不確定性多準則決策方法，能夠保證決策出的備選方案對參數漂移具有較強的魯棒性，在一定的魯棒性前提下，該備選方案在性能和成本能多準則意義下具有最優性。

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