多元LDPC碼與二元LDPC碼的性能分析

陳明陽(yáng)，高興龍，王中訓(xùn)，顏飛，殷熔煌

（煙臺(tái)大學(xué) 光 電信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 山東 煙 臺(tái) 2 64005）

隨著近幾年來(lái)現(xiàn)代通信技術(shù)，軟件無(wú)線電技術(shù)、處理器技術(shù)的不斷發(fā)展，編譯碼算法被提上了日程，如何找到適應(yīng)現(xiàn)代通信的好碼，是信息理論界不斷探索的課題。Gallager提出的LDPC碼一直被認(rèn)為是最接近Shannon限的好碼。近年來(lái)二元LDPC碼得到了極大地發(fā)展[1-5]，多元LDPC碼也在發(fā)展當(dāng)中。多元LDPC碼與二元LDPC碼有著重要的聯(lián)系，然而多元LDPC碼在性能上相比二元LDPC碼更具有優(yōu)勢(shì)。本文分別從檢驗(yàn)矩陣、Tanner圖和BP譯碼算法方面比較LDPC碼的性能，論證了多元LDPC碼的確是性能優(yōu)異的好碼，需要我們花大力氣去研究。

1 多元LDPC碼與二元LDPC碼的構(gòu)建

眾所周知，二元LDPC碼定義為二元域上的校驗(yàn)矩陣H的零空間，矩陣H的結(jié)構(gòu)具有如下的性質(zhì)：1）每行有定常重量ρ；2）每列有定常重量r；3）沒(méi)有兩行或兩列有多余一個(gè)位置上是1，即其對(duì)應(yīng)的Tanner圖無(wú)四環(huán)，從而保證譯碼的性能。這樣的H被稱為（γ，ρ）規(guī)則的。被H的0空間定義的碼稱為（γ，ρ）規(guī)則LDPC碼。其H矩陣具有如圖1所示的形式。

多元LDPC碼由取自有限域GF（q）元素形成的校驗(yàn)矩陣H定義，本文在驗(yàn)證LDPC碼性能將二元矩陣中的非零行用中的非零元素替代。其矩陣具有如圖2所示的形式。

2 LDPC碼多元矩陣二元矩陣之間的聯(lián)系

圖1 校驗(yàn)矩陣HFig.1 Parity-check matrix H

圖2 多元LDPC碼校驗(yàn)矩陣HFig.2 Parity-check matrix H for nonbinary LDPC codes

多元LDPC碼校驗(yàn)矩陣的元素基于GF（q），而二元LDPC碼校驗(yàn)矩陣中的元素基于 GF（2），若 q=2^M，則 GF（q）中任意一個(gè)元素都可以用M個(gè)二進(jìn)制位表示，因此可以找到對(duì)應(yīng)多元矩陣的等價(jià)二維矩陣[6]，其有如圖3所示的形式。

圖3 多元LDPC碼與二元LDPC碼校驗(yàn)矩陣關(guān)系圖Fig.3 Relational graph between nonbinary LDPC codes and binary LDPC codes

對(duì)應(yīng)的Tanner圖如圖4所示。

圖4 多元LDPC碼與二元LDPC碼二分圖之間的關(guān)系Fig.4 Relationship of the bipartite graph between nonbinary LDPC codes and binary LDPC codes

由以上tanner圖和LDPC碼的校驗(yàn)矩陣可知多元LDPC碼的等價(jià)二元矩陣存在四環(huán)，這就從一定程度上降低了譯碼性能。

對(duì)于給定的譯碼器，當(dāng)校驗(yàn)矩陣H的列重量（固定常數(shù)）足夠大，碼長(zhǎng)充分大時(shí)，LDPC碼的性能可以接近shannnon限，即大重量的列有助于譯碼器的快速糾錯(cuò)，然而若增加列重量會(huì)造成相應(yīng)的雙向圖中循環(huán)數(shù)目急劇地增加，從而導(dǎo)致迭代譯碼的性能下降。而在GF（q=2^P）（q＞2）上構(gòu)造的LDPC碼可以很好地解決這個(gè)問(wèn)題。增加它校驗(yàn)矩陣Hq的列重量（即增加與其對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制校驗(yàn)矩陣H2中的列重量），而他們進(jìn)行譯碼的雙向圖是相同的。GF（q）上不會(huì)造成結(jié)點(diǎn)之間循環(huán)路徑數(shù)目的增加，從而使譯碼性能得到顯著地提高。

3 多元LDPC碼與二元LDPC碼譯碼性能的比較

多元LDPC碼與二元LDPC碼在譯碼思想上都采用傳統(tǒng)的后驗(yàn)概率譯碼思想，即BP算法。概率信息在校驗(yàn)節(jié)點(diǎn)與變量節(jié)點(diǎn)之間傳遞。所不同的是二元LDPC傳遞概率信息是兩個(gè)，而多元LDPC碼傳遞的概率信息是q=2^p個(gè)。多元LDPC碼的傳遞是將碼元信號(hào)轉(zhuǎn)化成p個(gè)二進(jìn)制序列在二進(jìn)制信道進(jìn)行傳遞 信道模型如圖5所示[7]。

圖5 信道模型Fig.5 Information channel model

很明顯一個(gè)多元碼字由p個(gè)二進(jìn)制比特組成，當(dāng)譯碼器糾正一個(gè)碼元時(shí)，不管錯(cuò)誤出現(xiàn)在其中的一個(gè)比特還是多個(gè)比特，譯碼器都將錯(cuò)誤碼元以為正確的碼元。因此當(dāng)多元碼字發(fā)生錯(cuò)誤時(shí)，其中的任何一個(gè)比特都有可能發(fā)生錯(cuò)誤，這樣多元LDPC碼就具備了更好的抗突發(fā)噪聲的性能。另外多個(gè)比特組成一個(gè)碼元，由于在編譯碼環(huán)節(jié)碼字的運(yùn)算都是采用多進(jìn)制的運(yùn)算規(guī)則，即一次運(yùn)算p個(gè)比特，因此很大程度上提高了編譯碼的效率。

具體的性能分析如圖6所示。

圖6 誤比特率（BER）與信噪比（Eb_N0）關(guān)系圖Fig.6 Relational graph on bit error ratio and signal to noise ratio（Eb_N0）

圖6是碼長(zhǎng)為200，碼率為0.5時(shí)的LDPC碼誤比特率（BER）與信噪比（Eb_N0）的關(guān)系圖。由圖中可以觀察到當(dāng)碼長(zhǎng)一定時(shí)，隨著所取的有限域元素的增多，其性能與與較少元素的矩陣對(duì)應(yīng)的LDPC碼基本吻合，某些地方只是略微有些下降。然而事實(shí)是矩陣的增大可以降低校驗(yàn)矩陣的構(gòu)造難度，可以較好的避免短環(huán)的出現(xiàn)。因此多元LDPC碼相比同等長(zhǎng)度碼長(zhǎng)的二元LDPC碼的確有優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié) 論

文章在檢驗(yàn)矩陣、Tanner圖和BP譯碼算法方面比較LDPC碼的性能，論證了多元LDPC碼的確是性能優(yōu)異的好碼，值得研究人員進(jìn)一步探究。

[1]Gallager R G.Low density parity check codes[D].Cambridge:MIT，1962.

[2]MacKay D J C，Neal R M.Near Shannon limit performance of low density parity check codes[J].Electronics Letters，1996，32（18）:1645-1646.

[3]Davey M C.Error-correction using Low-Density Parity-Check code[D].Cambridge:Gonville and Caius College，1999.

[4]Luby M，Mitzenmacher M，Shokrollahi M A.Practical lossresilient codes[C]//Proc.of 29th Annual ACM Symposium on Theory of Computing，1997:150-159.

[5]Luby M，Mitzenmacher M，Shokrollahi M A.Analysis of random processes via and-or tree evaluation[C]//Proc.of 9th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms，1998:364-373.

[6]符初生，周亮，文紅.LDPC碼原理與應(yīng)用[M].成都：電子科技大學(xué)出版社，2006.

[7]張譽(yù).多進(jìn)制LDPC碼譯碼算法的研究[D].湖南：國(guó)防科技大學(xué)，2011.